出现这种结果是由于冲击的净效应很小。双差分模型的形式也比较简单，本质上是线性回归。d是分组的虚拟变量。 研究事件和政策影响时，受冲击影响，个体I属于实验组，D=1，反之个体I属于对照组，D=0。 t是时间的虚拟变量，在发生一个事件或策略时，碰撞前T=0，碰撞后T=1。 D*T是群虚拟变量与时间虚拟变量的相互作用项，其系数反映了冲击的净效应。
百度知道双重差分模型显著但是系数小JinLaiOumask超过40用户采纳过TA的回答第一部分 模型简介1、模型应用背景2、模型运用前提条件3、稳健性检验第二部分 经典论文分析1、民族地区转移支付、公共支出差异与经济发展差距2、基于多期双重差分的分位回归及其应用第三部分 双重差分模型（DID）stata实例操作1、变量构造和基本命令2、平行趋势检验第四部分 经典论文推荐第五部分 专题预览估计政策效应常用的方法有：工具变量法、断点回归、倾向得分匹配法、双重差分法、合成控制法等。我们在这里介绍双重差分法。第一部分 模型简介1、模型应用背景现代计量经济学和统计学的发展为我们的研究提供了可行的工具。倍差法来源于计量经济学的综列数据模型，是政策分析和工程评估中广为使用的一种计量经济方法。主要是应用于在混合截面数据集中，评价某一事件或政策的影响程度。该方法的基本思路是将调查样本分为两组，一组是政策或工程作用对象即“作用组”，一组是非政策或工程作用对象即“对照组”。根据作用组和对照组在政策或工程实施前后的相关信息，可以计算作用组在政策或工程实施前后某个指标（如收入）的变化量（收入增长量），同时计算对照组在政策或工程实施前后同一指标的变化量。然后计算上述两个变化量的差值（即所谓的“倍差值”）。这就是所谓的双重差分估计量（Difference in Differences，简记DD或DID），因为它是处理组差分与控制组差分之差。该法最早由Ashenfelter（1978）引入经济学，而国内最早的应用或为周黎安、陈烨（2005）。2、模型运用前提条件 使用前提（1）政策不能是“一刀切”类型，即存在受政策影响的实验组和不受政策影响的对照组（2）至少两年的面板数据，如果是截面数据一般也别考虑了 模型前提（1）平行趋势（CT）假设：处理组和对照组有共同趋势，在政策干预之前，处理组和控制组的结果效应的趋势应该是一样的。（2）SUTVA条件：政策干预只影响处理组，不会对控制组产生交互影响，或者政策干预不会产生外溢效应；（3）线性形式条件：潜在结果变量同处理变量和时间变量满足线性条件。由此可见DID的使用条件较为严苛，并不能随意使用。3、稳健性检验为了证明所有的效应是由政策实施所引起的，必须做稳健性检验，主要体现在两个方面： 平行趋势检验如果是多
你好，经过我查阅相关资料得知双重差分模型显著但是系数小是因为:使用观测数据模拟实验研究设计，其基本思路是将调查样本分为两组：一组为被政策影响组，即实验组，一组为未被政策影响组，即对照组。首先计算实验组在政策前后某个指标的变化量，再计算对照组在政策前后同一指标的变化量，然后计算上述两个变量的差值，从而反映政策的净影响。
***统计方法的应用
第一部分 模型简介1、模型应用背景2、模型运用前提条件3、稳健性检验第二部分 经典论文分析1、民族地区转移支付、公共支出差异与经济发展差距2、基于多期双重差分的分位回归及其应用第三部分 双重差分模型（DID）stata实例操作1、变量构造和基本命令2、平行趋势检验第四部分 经典论文推荐第五部分 专题预览估计政策效应常用的方法有：工具变量法、断点回归、倾向得分匹配法、双重差分法、合成控制法等。我们在这里介绍双重差分法。第一部分 模型简介1、模型应用背景现代计量经济学和统计学的发展为我们的研究提供了可行的工具。倍差法来源于计量经济学的综列数据模型，是政策分析和工程评估中广为使用的一种计量经济方法。主要是应用于在混合截面数据集中，评价某一事件或政策的影响程度。该方法的基本思路是将调查样本分为两组，一组是政策或工程作用对象即“作用组”，一组是非政策或工程作用对象即“对照组”。根据作用组和对照组在政策或工程实施前后的相关信息，可以计算作用组在政策或工程实施前后某个指标（如收入）的变化量（收入增长量），同时计算对照组在政策或工程实施前后同一指标的变化量。然后计算上述两个变化量的差值（即所谓的“倍差值”）。这就是所谓的双重差分估计量（Difference in Differences，简记DD或DID），因为它是处理组差分与控制组差分之差。该法最早由Ashenfelter（1978）引入经济学，而国内最早的应用或为周黎安、陈烨（2005）。2、模型运用前提条件 使用前提（1）政策不能是“一刀切”类型，即存在受政策影响的实验组和不受政策影响的对照组（2）至少两年的面板数据，如果是截面数据一般也别考虑了 模型前提（1）平行趋势（CT）假设：处理组和对照组有共同趋势，在政策干预之前，处理组和控制组的结果效应的趋势应该是一样的。（2）SUTVA条件：政策干预只影响处理组，不会对控制组产生交互影响，或者政策干预不会产生外溢效应；（3）线性形式条件：潜在结果变量同处理变量和时间变量满足线性条件。由此可见DID的使用条件较为严苛，并不能随意使用。3、稳健性检验为了证明所有的效应是由政策实施所引起的，必须做稳健性检验，主要体现在两个方面： 平行趋势检验如果是多年面板数据可以通过画图或者回归的方法来检验平行趋势假设。（1）画图：画出实验组时期和对照组时期的时间趋势图，如果两条线的走势完全一致或基本一致，说明CT假设是满足的。（2）回归：将模型构造中dt项改为“年份虚拟变量”，政策实施前有a年就有a个年份虚拟变量，以及与du相乘的a个交互项。此时交互项反映的是“政策实施前年份，实验组和对照组的差异”。如果这a个交互项不显著，即说明政策实施前实验组和对照组不存在明显的差别，从而满足CT假设。一般，“都不显著”可以稍微放松，即便存在一两个显著的情况，但只要a个交互项联合不显著，也是满足CT假设。 安慰剂检验安慰剂检验核心思想即即虚构处理组进行回归。第一步：选取政策实施之前的年份进行处理，例如，政策发生在2014年，研究区间为2013-2015年。我们可以把研究区间向前移动到2011-2013年，并假定政策实施年份为2012年，然后进行回归。第二步：选取已知的并不受政策实施影响的群组作为处理组进行回归。如果不同虚构方式下的DID估计量的回归结果依然显著，说明原来的估计结果很有可能出现了偏误。此外还可以利用不同不同的对照组进行回归，看研究结论是否依然一致。或者选取一个完全不受政策干预影响的因素作为被解释变量进行回归，如果DID估计量的回归结果依然显著，说明原来的估计结果很有可能出现了偏误。注：以上如果回归结果显著，说明原结果是一定有问题的，而如果回归结果不显著，并不一定能表明原结果没问题。第二部分 经典论文分析1、民族地区转移支付、公共支出差异与经济发展差距双重差分法DID模型 趋势评分匹配的双重差分法PSM-DID模型针对民族地区的财政转移支付，是实行财政分权制度的多民族国家缓和民族矛盾、缩小地区差别的重要手段。基于最优政府间转移支付型和“净财政收益”概念，本文首先提出如下理论假说: 这类转移支付有助于减少民族地区与其他地区之间的公共支出差异和经济发展差距。然后使用1993—2003年中国县省两级数据，并采用基于趋势评分匹配的双重差分法( DID with Propensity ScoreMatching) ，检验上述理论假说。研究发现：（1）中国2000年底实施的民族地区转移支付政策，显著促进了民族地区公共支出水平的相对提高和公共支出结构的相对优化。不过，促进作用未显示出随时间不断增强的态势。（2）该项政策未显著缩小民族地区与其他地区之间的经济发展差距。本文的研。究结论表明，民族地区转移支付在中国发挥了均等化效应，但程度有限。2、基于多期双重差分的分位回归及其应用VAR 模型 单期双重差分模型 多期双重差分模型（DID） 分位回归方法针对房价的高速上涨，从2010 年起，中国政府开始采取一系列措施抑制房产泡沫、防止地产被过度炒作。过行政手段抑制需求的“限购令”是否真的抑制了房价的过快上涨？其效果如何？如何进行评估？实证的方法主要有VAR 模型和单期双重差分模型，本文将利用70 个大中城市在三个不同调控期的房地产相关数据，采用多期双重差分模型（DID）动态、精准地分析限购政策的长期动态效果。同时，考虑到70 个大中城市的房价差异非常明显，本文还将采用分位回归方法进一步探索限购令对住宅价格的影响，从而为相关部门制定进一步的房地产调控政策提供理论依据。将双重差分模型应用到限购对房价的影响问题上，具体思路为：将实施限购的城市作为处理组，将未实施限购的城市作为对照组，时间段分为政策出台前与政策出台后。据此可以设置两个虚拟变量Di 和Dt , Di 代表是否实施了限购令，Dt 代表政策实施前后，若某个城市实施了限购令，则Di = 1 ，否则Di = 0 ；Dt = 1 代表该时间段为某城市实施限购令之前，Dt = 2 代表该时间段为某城市实施限购令之后。据此，两个变量的交互项乘积Di*Dt 即可在一定程度上反应政策的实施效果。在因变量的选择上，本文选择了国家统计局发布的全国70 个大中城市的月度房屋销售价格指数作为研究对象，该指数的计算是基于各地房管局的网签数据，能够较为有效地避免现实交易中出现的阴阳合同问题。控制变量的选取从供求理论出发，以上期的供给量和需求量为控制变量，将供求因素纳入模型从而剔除其对房价造成的影响，直接体现限购对房价的影响效果。通过研读以往研究房价影响因素的文献，由于房地产市场反应不够灵敏，本文认为当期商品住宅需求主要可以从城市的整体经济水平（以上一期城市所在省份的工业增加值同比增长率为指标）以及上一期商品住宅销售面积同比增长率中反映出来，以上一期商品住宅投资额的同比增长率反映供给的基本水平。同时为了更全面地消除城市自身特征（如地理位置、人口因素等）对房价增长率造成的影响，本文将滞后一期的房价同比增长率也作为控制变量。第三部分 双重差分模型（DID）stata实例操作 1、变量构造和基本命令**调用数据use ' ', clear**设置虚拟变量，政策执行时间为1994年gen time = (year>=1994) & !missing(year)**生成地区的虚拟变量gen treated = (country>4) & !missing(country)**产生交互项gen did = time*treated**第一种回归设计**回归Estimating the DID estimatorreg y time treated did, r显然在10%水平上，政策实施有显著的负效应。*第二种DID回归设计reg y time##treated,r**方法三下载外部命令方法ssc install diff**估计DIDdiff y, t(treated) p(time)2、平行趋势检验以上的基准回归只有当地区在政策前足够相似才能够保证DID提取的是政策的因果效应，所以研究者需要知道两组地区在政策前有多大差异。实现这一目标的方法是将年份虚拟变量乘以实验组虚拟变量，这一交互项就可以捕捉两组地区在每一年份的差异。如果两组地区的确有着平行趋势的话，那么预期在1994年前的那些交互项的回归结果将不显著，而1994年后的将显著。**平行趋势检验**生成年份虚拟变量与实验组虚拟变量的交互项(此处选在政策前后各3年)gen Dyear = year-1994gen Before3 = (Dyear==-3&treated==1)gen Before2 = (Dyear==-2&treated==1)gen Before1 = (Dyear==-1&treated==1)gen Current = (Dyear==0&treated==1)gen After1 = (Dyear==1&treated==1)gen After2 = (Dyear==2&treated==1)gen After3 = (Dyear==3&treated==1)**将以上交互项作为解释变量进行回归xtreg y time treated Before3 Before2 Before1 Current After1 After2 After3 , feest sto reg可以看出Before3 Before2 Before1 的系数均不显著，After1的系数负向显著采用coefplot命令进行绘图，观察是否1994年前的回归系数均在0轴附近波动，在1994年后回归系数显著为负。coefplot reg,keep(Before3 Before2 Before1 Current After1 After2 After3) vertical recast(connect) yline(0)结果发现系数在政策前的确在0附近波动，而政策后一年系数显著为负，但很快又回到0附近。这说明实验组和控制组的确是可以进行比较的，而政策效果可能出现在颁布后一年，随后又很快消失。第四部分 经典论文推荐[1]Matching As an Econometric Evaluation Estimator. The Review of EconomicStudies,1998,65(2):261-294.(note:最早提出者)[2]胡宏伟，“城镇居民医疗保险对国民健康的影响效应与机制”,《南方经济》,2012年第10期[3]毛捷，“民族地区转移支付公共支出差异与经济发展差距”,《经济研究》,2011年增2期[4]CompulsoryLicensing:Evidence from the Trading with the Enemy Act，AER，2012[5]交通基础设施质量与经济增长：来自中国铁路提速的证据，世界经济，2012年第1期[6]新型农村社会养老保险政策效果评估》，经济学（季刊），2014年第14卷第1期财政“省直管县”改革与基层政府税收竞争，经济研究，2015年第11期[7]税收分成、税收努力与企业逃税，管理世界，2016年第12期[8]政企合谋与企业逃税：来自国税局长异地交流的证据，经济学(季刊)，2016年第15卷第4期[9]出口改善了员工收入吗？，经济研究，2011年第9期[10]西部大开发：增长驱动还是政策陷阱，中国工业经济，2015年第6期[
你好，经过我查阅相关资料得知双重差分模型显著但是系数小是因为:使用观测数据模拟实验研究设计，其基本思路是将调查样本分为两组：一组为被政策影响组，即实验组，一组为未被政策影响组，即对照组。首先计算实验组在政策前后某个指标的变化量，再计算对照组在政策前后同一指标的变化量，然后计算上述两个变量的差值，从而反映政策的净影响。
百度知道双重差分模型显著但是系数小JinLaiOumask超过40用户采纳过TA的回答第一部分 模型简介1、模型应用背景2、模型运用前提条件3、稳健性检验第二部分 经典论文分析1、民族地区转移支付、公共支出差异与经济发展差距2、基于多期双重差分的分位回归及其应用第三部分 双重差分模型（DID）stata实例操作1、变量构造和基本命令2、平行趋势检验第四部分 经典论文推荐第五部分 专题预览估计政策效应常用的方法有：工具变量法、断点回归、倾向得分匹配法、双重差分法、合成控制法等。我们在这里介绍双重差分法。第一部分 模型简介1、模型应用背景现代计量经济学和统计学的发展为我们的研究提供了可行的工具。倍差法来源于计量经济学的综列数据模型，是政策分析和工程评估中广为使用的一种计量经济方法。主要是应用于在混合截面数据集中，评价某一事件或政策的影响程度。该方法的基本思路是将调查样本分为两组，一组是政策或工程作用对象即“作用组”，一组是非政策或工程作用对象即“对照组”。根据作用组和对照组在政策或工程实施前后的相关信息，可以计算作用组在政策或工程实施前后某个指标（如收入）的变化量（收入增长量），同时计算对照组在政策或工程实施前后同一指标的变化量。然后计算上述两个变化量的差值（即所谓的“倍差值”）。这就是所谓的双重差分估计量（Difference in Differences，简记DD或DID），因为它是处理组差分与控制组差分之差。该法最早由Ashenfelter（1978）引入经济学，而国内最早的应用或为周黎安、陈烨（2005）。2、模型运用前提条件 使用前提（1）政策不能是“一刀切”类型，即存在受政策影响的实验组和不受政策影响的对照组（2）至少两年的面板数据，如果是截面数据一般也别考虑了 模型前提（1）平行趋势（CT）假设：处理组和对照组有共同趋势，在政策干预之前，处理组和控制组的结果效应的趋势应该是一样的。（2）SUTVA条件：政策干预只影响处理组，不会对控制组产生交互影响，或者政策干预不会产生外溢效应；（3）线性形式条件：潜在结果变量同处理变量和时间变量满足线性条件。由此可见DID的使用条件较为严苛，并不能随意使用。3、稳健性检验为了证明所有的效应是由政策实施所引起的，必须做稳健性检验，主要体现在两个方面： 平行趋势检验如果是多
出现这种结果是由于冲击的净效应很小。双差分模型的形式也比较简单，本质上是线性回归。d是分组的虚拟变量。 研究事件和政策影响时，受冲击影响，个体I属于实验组，D=1，反之个体I属于对照组，D=0。 t是时间的虚拟变量，在发生一个事件或策略时，碰撞前T=0，碰撞后T=1。 D*T是群虚拟变量与时间虚拟变量的相互作用项，其系数反映了冲击的净效应。
英文wiki有Kane Shee-Gong Yee (born March 26, 1934) is a Chinese-American electrical engineer and mathematician. He is best known for introducing the finite-difference time-domain method (FDTD) in research interests include numerical electromagnetics, fluid dynamics, continuum mechanics and numerical analysis of partial differential was born on March 26, 1934 in Guangzhou, Republic of China. He received his . and . in electrical engineering from University of California, Berkeley in 1957 and 1958, respectively. He has completed his PhD in applied mathematics department at the same university under the supervision of Bernard Friedman in 1963; his dissertation involved the study of boundary value problems for Maxwell's equations. From 1959 to 1961, he was employed at Lockheed Missiles and Space Company, researching diffraction in electromagnetic 1966, Yee published a paper on the use of a finite difference staggered grids algorithm in the solution of Maxwell's equations. Yee was initially motivated by his self-studies in Fortran to develop the method. Appearing on IEEE Transactions on Antennas and Propagation, the article received little attention at the time of its release. The incorrect numerical stability conditions on Yee's paper were corrected by Dong-Hoa Lam in 1969 and Allen Taflove and Morris E. Brodwin in 1975. The method was subsequently renamed as finite-difference time-domain method in 1980. FDTD is also referred as Yee algorithm, with its specific discretized grid being known as Yee lattice or Yee 1966 and 1984, Yee became a professor of electrical engineering and mathematics at the University of Florida and later at Kansas State University. He became a consultant to Lawrence Livermore National Laboratory in 1966, working on microwave vulnerability problems at the same institute from 1984 to 1987. In 1987, he became a research scientist at Lockheed Palo Alto Research Lab, working on computational electromagnetics problems and retiring in 1996.
本文用与频率有关的时域有限差分法((FD)~2TD法),分析了在考虑人体色散特性时,脉冲电磁场与人体的作用。根据人体组织复介电常数实验原始数据在10MHz～3GHz的特性,提出一种2类组织(脂肪/骨/软骨、肌肉)简化色散模型,并与用12类组织色散模型的结果比较,验证了在分析人体内感生电流和比吸收量(SA)时,简化模型同样有效。计算结果显示,持续时间小于85ns、电场强度最大值达65kV/m的核爆炸典型脉冲作用下,人体内最大比吸收量(15ml/kg)小于ANSI/IEEE 标准限值()约三个量级。
杨顶辉
（石油大学地球科学系，北京100083）
滕吉文张中杰
（中国科学院地球物理所，北京100101）
摘要快速有效地模拟地震波在各向异性介质中的传播在现今勘探地震学中具有重要的意义。一种算法的稳定性分析对于加快计算速度非常必要。本文首先利用矩阵和向量来描述波传播方程，针对二维和三维一般各向异性介质中的弹性波方程，提出了一种快速且占用内存少的有限差分方法；然后系统地研究了二维均匀、非均匀各向异性情况下波动方程有限差分格式的稳定性条件；进一步给出了某些特殊各向异性情况下有限差分方法的稳定性具体公式。最后，本文也对三维有限差分格式的稳定性问题进行了研究。
关键词弹性波方程有限差分稳定性各向异性介质
1引言
地震波传播的数值模拟在地球科学中具有重要的意义。在各向异性地震模拟的各种方法中，基于Kennett研究工作[11,12]的反射率方法是最流行的数值技术之一。基于走时方程渐近解的射线追踪方法是模拟地震各向异性的另一种有效方法[5,6]。Kosloff等[13]利用Fourier方法模拟了地震各向异性。而Chen[7]则使用有限元方法模拟非均匀各向异性问题。虽然有限差分方法已被广泛应用于各向同性介质中的弹性波模拟，但是利用这种方法来模拟地震各向异性问题并不普遍。Tsingas等[16]利用有限差分算子发展了一种模拟算法以求解横向各向同性介质中的偏微分方程，这种算法是基于MacCormack型的分离格式[2]。Faria等[8]基于交错网格格式[17]，利用有限差分算法模拟了二维横向各向同性问题。最近，Igel等[9]基于褶积算法给出了一种模拟一般地震各向异性的有限差分算法。
快速和少存贮量是有限差分方法的优点。随着大尺度波场模拟的需要和大规模并行计算的发展，复杂介质或高维（二维和三维）模型的有限差分地震模拟不可避免。虚谱法因其空间算子准确地达到Nyquist频率而深受欢迎，然而虚谱法需要富利叶变换，从而对于三维各向异性模拟非常耗时。同时，采用富利叶变换意味着每一个网格点与其它的点相互影响。在某种意义上，这与动力学的局部弹性性质不一致。因此当我们为地震模拟设计有限差分格式时，考虑差分算子的局部性是必要的。另一方面，考虑差分算子的局部性对于提高算法的并行性非常重要。因为最邻近网格点间的信息交换最快，因而对于各向异性大尺度模型波场的模拟是可行的。
基于上述原因，本文针对一般各向异性介质中的地震波传播问题，给出了一种快速且占用内存少的有限差分方法。事实上，这是算法[10,18]的一种推广。
通常地，时间推进算法被使用于地震波传播的数值模拟中，为了保证算法稳定，时间增量受算法稳定性条件的限制。选择合适的时间步长不仅能保证数值计算稳定，而且能加快计算速度。否则的话，不但会产生非物理数值振荡，甚至会导致错误的结果。合理时间增量的选取决定于差分格式和描述介质特征的介质参数或速度，换句话说，决定于差分格式的稳定性条件。因此有限差分格式的稳定性问题在数值计算中十分重要。尽管这一问题在文献[10,18]中针对某些特殊情况作过研究，但他们并没有对一般各向异性问题的有限差分格式及其稳定性做过详细、系统的研究。我们的目的就是针对这一问题给出一般的有限差分格式及其稳定性条件，进一步地给出某些特殊各向异性情况下的稳定性公式。结果表明在各向同性情况下我们的结果与Aboudi[1]的结果是一致的。
2有限差分格式
三维各向异性
各向异性介质中的运动平衡方程可成如下形式：
岩石圈构造和深部作用
其中：ρ是介质密度；fx,fy和fz分别表示力源在x,y和z方向上的分量；ux,uy和uz分别表示x,y和z方向上的位移分量。
应力应变关系为 ，其中弹性参数矩阵 ，并且ci,j=cj,i,i,j=1,2，…，6；
应力矩阵σ＝（σxx，σyy，σzz，σyz，σxz，σxy）T；
应变矩阵ε＝（εxx，εyy，εzz，εyz，εxz，εxy）T；
且应力与位移的关系为：
岩石圈构造和深部作用
令
岩石圈构造和深部作用
岩石圈构造和深部作用
那么方程（1）可写为：
岩石圈构造和深部作用
显然，A,E,Q,B+D,C+G和F+H是实的对称矩阵。在不考虑源项 的前提下，采用有限差分逼近方程（2），可得下列有限差分格式：
岩石圈构造和深部作用
其中：Δx，△y和△z分别表示x,y和z方向的空间步长，△t表示时间步长，并且，
岩石圈构造和深部作用
二维各向异性
类似地，二维各向异性介质中的波动方程可写为：
岩石圈构造和深部作用
并且有下列差分格式：
岩石圈构造和深部作用
3稳定性条件
均匀介质中二维有限差分格式的稳定性条件
均匀介质情况下格式（5）可简化为：
岩石圈构造和深部作用
根据Richtmyer和Morton的稳定性理论分析，我们令
岩石圈构造和深部作用
其中U0是一常数向量，方程（6）变为：]]
2I—2Pλ＋I）U0=0
其中I表示一单位矩阵，
岩石圈构造和深部作用
其中： ， ， ， ，
若系数行列式为0，则满足：
岩石圈构造和深部作用
定理1差分格式（6）稳定的条件是：
岩石圈构造和深部作用
其中函数F（α，β）和α，β为：
岩石圈构造和深部作用
岩石圈构造和深部作用
其中k=Δz/Δx
证明：据差分格式（6）的稳定性，方程（7）中的λ满足‖λ‖≤1。
根据（7）和引理2（见附录），有下列不等式：
岩石圈构造和深部作用
由A、Q和C+G的对称性，可知矩阵 也为对称的，则由引理3（见附录）和不等式（8），有
岩石圈构造和深部作用
由矩阵A，Q和C+G的元素的非负性，可令0≤α， ，则要使（9）成立，只须
岩石圈构造和深部作用
令
岩石圈构造和深部作用
并令偏导数
岩石圈构造和深部作用
根据波动方程的特性，有
‖A‖＞0,‖Q‖＞0,‖C+G‖＞0
所以（0，0）和（ ， ）可能为函数的极值点。显然，
f(0,0)=0
岩石圈构造和深部作用
下面我们讨论（α，β）≠（0，0）或（ ， ）的情况：
由（11）和（12）式，如果 ，那么
岩石圈构造和深部作用
其中α，β可能是f（α，β）的极值点，故稳定性条件为：
岩石圈构造和深部作用
否则 是函数的最大值点，且稳定性条件为：
岩石圈构造和深部作用
特别地，当Δx﹦Δz时，有下列简化的稳定性条件：
岩石圈构造和深部作用
其中α和β由（13）和（14）决定，且k=1。
非均匀情况下的稳定性条件
在非均匀情况下，对于差分格式（5）的稳定性条件是难以确定的。然而根据偏微分方程的数值方法理论[15]，我们可以采用“冻结系数”法[14]来分析其稳定性。进一步地，我们给出非均匀介质情况下差分格式（5）的稳定性条件。
事实上，如果介质参数函数为连续有界的，则通常我们可以近似地将一个小的计算区域看成是均匀的，那么差分格式（5）可以退化成格式（6），这样在小区域范围内，我们可以像均匀情况一样获得稳定性条件。进一步根据介质参数函数的连续有界特性，我们可以获得差分格式（5）的稳定性条件为：
如果 那么
岩石圈构造和深部作用
否则，
岩石圈构造和深部作用
其中H（α，β）、α和β为：
岩石圈构造和深部作用
某些特殊介质中差分格式的稳定性条件
显然，通过计算格式（6）中矩阵A、Q和C+G的范数，可以分别地获得各向同性和横向各向同性情况下的稳定性条件为：
各向同性
岩石圈构造和深部作用
或
岩石圈构造和深部作用
其中λ，μ为拉梅常数， 是P波速度。
显然，稳定性条件（15）与Aboudi[1]的结果一致。
横向各向同性
如果 那么 ≤p，否则
岩石圈构造和深部作用
其中，
岩石圈构造和深部作用
其中A,N,L,F和C为弹性常数。
类似地，我们可以获得非均匀和其它特殊各向异性介质（如：立方体各向异性、正交各向异性等介质）情况下的稳定性条件。
4三维各向异性情况下差分格式的稳定性条件
像前面二维情况一样分析可得如下稳定性条件：
定理2如果
max[k1·‖A‖＋k2·‖E‖＋k2·‖Q‖，f2（θ2，θ2，θ3）]≤1，那么均匀介质情况下差分格式（3）是稳定的。其中 ，函数f2（θ1，θ2，θ3）被定义为：
岩石圈构造和深部作用
其中： ， ， ， ， · ， ；
并且θ1，θ2，θ3满足：
岩石圈构造和深部作用
其中：a=4k1·‖A‖，b=4k2·‖E‖，d=4k3·‖Q‖，g=4k4·‖B+D‖，e＝4k5·‖C+G‖，f=4k6·‖F+H‖。
对于三维非均匀介质情况，经由“冻结系数”法可类似地分析其稳定性条件。
5总结和讨论
数值模拟地震波传播的有限差分方法是一种重要的工具，而其稳定性条件是提高计算速度的关键之一。然而对于一般二维和三维各向异性介质情况，系统深入地研究其差分格式和稳定性条件尚少，本文给出了一种快速且占有内存少的有限差分格式，并系统地分析和推导了一般均匀和非均匀各向异性情况下差分格式的稳定性条件。我们相信本文获得的结果有助于各向异性数值模拟的发展，并为有限差分方法的广泛应用提供理论依据。
参考文献
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[8] and modelling in transversely isotropic ～289.
[9] and wave propagation through finite-difference ～1216.
[10] and seismograms:A finite-difference ～27.
[11] reflection seismograms for an elastic ～321.
[12] wave propagation in stratified University Press,1983.
[13] and modelling by a Fourier ～1412.
[14]陆金甫，顾丽珍，陈景良.偏微分方程差分方法.北京：高等教育出版社，1988.
[15] and methods for initial value York:Interscience,1967.
[16] and wave propagation in transversely isotropic media using finite ～949.
[17] wave propagation in heterogeneous media:Velocity-stress finite-difference ～901.
[18] al..Simulation of 3-component seismic records in a 2-dimensional transversely isotropic media with ～56.
附录：引理
引理1对于实系数方程λ2—2dλ＋1=0,｜d｜≤1是它的根λ满足∣λ｜≤1的充分必要条件。
引理1的证明参见文献[14]。
引理2若A∈Rn×n且A=A′，I是一个单位矩阵，则对于下列方程
∣λ2I—2Aλ＋I∣＝0，
‖A‖≤1是方程的根λ满足∣λ｜≤1的充分必要条件。
证明：充分性
因为A为实对称矩阵，存在T-1、T∈Rn×n使得
T-1AT=diag（d1,d2，…，dn）
根据引理2中的方程及上述等式，可获得
（λ2—2d1λ＋1）…（λ2—2dnλ＋1）=0
由‖A‖≤1和ρ（A）≤‖A‖，有‖ρ（A）‖≤1
根据 ，有
故对满足方程的任一根λ有∣λ∣≤1。
必要条件：因∣λ∣≤1且A为实对称矩阵，故由引理1可获得：
∣di∣≤1,i=1,2，…，n
即ρ（A）≤1。
又因A为正矩阵，所以ρ（A）＝‖A‖，即‖A‖≤1。
引理3如果A∈Rn×n，并且A=A′，那么
（i）如果‖I—A‖≤1，则‖A‖≤2;
（ii）如果‖A‖≥0，则‖A‖≤2是‖I—A‖≤1成立的充分必要条件。
证明：（i）因为A为实对称矩阵，故存在T-1、T∈Rn×n使得T-1AT=diag（d1,d2，…，dn）≡D
根据‖I—A‖≤1，有‖T（I—D）T-1‖≤1
显然，I—D为一正规矩阵，所以‖T（I—D）T-1‖＝‖I-D‖≤1
即
所以， ，即‖D‖≤2。
又因为A为正规矩阵，所以
‖A‖＝‖TDT-1‖＝‖D‖，即‖A‖≤2
（ii）必要条件已在（i）中证明，下面证明充分条件。
由（i）的证明过程可知：
‖A‖＝‖D‖
因为‖A‖≤2并且‖A‖≥0，有0≤‖D‖≤2，即max∣di｜≤2
所以我们可获得 。
即：‖I—D‖＝‖T-1（I—A）T‖≤1
由A的对称性可得‖I—A‖≤1。
写论文常用的研究方法介绍如下：
（1）调查法：
调查法是科学研究中最常用的方法之一。它是有目的、有计划、有系统地搜集有关研究对象现实状况或历史状况的材料的方法。一般是通过书面或口头回答问题的方式获得大量数据，进而对调查中收集的大量数据进行分析、比较、总结归纳，为人们提供规律性的知识。
（2）观察法：
观察法是指人们有目的、有计划地通过感官和辅助仪器，对处于自然状态下的客观事物进行系统考察，从而获取经验事实的一种科学研究方法。
（3）实验法：
实验法是指经过精心设计，在高度控制的条件下，通过操纵某些因素，从而发现变量间因果关系以验证预定假设的研究方法。核心在于对所要研究的对象在条件方面加以适当的控制，排除自然状态下无关因素的干扰。
（4）定量分析法：
定量分析是对事物或事物的各个组成部分进行数量分析的一种研究方法。依据统计数据，建立数学模型，并用数学模型计算出研究对象的各项指标及其数值。常见的定量分析法包括比率分析法、趋势分析法、数学模型法等等。
（5）定性分析法：
定性分析法是对研究对象进行“质”的方面的分析。运用归纳和演绎、分析与综合以及抽象与概括等方法，对获得的各种材料进行思维加工，揭示事物运行的内在规律，包括因果分析法、比较分析法、矛盾分析法等。
调查法、观察法、实验法、文献研究法、实证研究法、定量分析法、定性分析法、跨学科研究法、个案研究法、功能分析法、模拟法（模型方法）、探索性研究法、信息研究方法、经验总结法、描述性研究法、数学方法、思维方法、系统科学方法
关于论文写作常用研究方法指导
毕业论文的写作方法种类比较多，而常用的有调查研究法、定量分析法、实证研究法、文献研究法。具体选择方法根据自身论文的专业和学科领域做选择，文科论文和理工科论文的使用研究方法还是很大区分的，接下来就由我带来论文写作常用研究方法指导，希望对你有所帮助！
第一种：调查研究法
此研究方法是科学研究之中运用最多的方法之一。它的主要方式有访谈形式、电话调查形式问卷调查形式等，这个是对研究对象进行周密和系统的了解并收集大量的资料进行比较、分析、归纳从而总结出规律性的内容。而这之中问卷调查是运用的极为普遍的，它是以书面形式的问题，通过调查收集得到最为贴切实际的结果然后整理和统计研究。但是此调查研究法的缺点是测试者由于某些原因会对问题作出虚假或者错误的回答。
第二种：观察研究法
这是指研究者根据研究的对象用自己的感官和其他辅助工具去探究被研究对象，从而获得资料的一种方式。科学研究法具有一定的目的性、计划性、系统性、重复性。常用的有自然观察法和设计观察法。由于人的感官有一定的局限性所以我们都通过其他现代工具和手段进行研究。如：照相机、录像机等来辅助观察。此研究方法的缺点是：时间有局限性、收观察的对象有限制、受观察者的本身有限制、观察法不适用于大范围调查、只能观察外部和结构无法观察到事物的思想和本质。
第三种：实验研究法
实验研究方法是研究者通过自然和社会现象和现象之间普遍存在着的一种因果关系的体现。通过控制和变革来发现事物之间的联系。它的方法有：主动变革实验、控制实验、因果实验。主动变革实验：观察者在不干预研究对象的情况下去认识研究对象来发现问题的存在，而实验则主动控制条件人为的改变对象的变化过程和存在方式，使得能从科学认知方面得到解释。控制实验：借助各种技术，消除减少各种影响能让科学无关的东西从而简化、纯化的情况下认识研究对象。因果实验：用实验发现事物之间的因果联系有效工具和必要的途径。
第四种：文献研究法
通过采集、整理文献并对其研究形成事实的科学认知方法，此方法是最古老而又富有科学研究生命力的方法。它是根据研究目标和课题通过文献获得资料进行正确全面的研究问题，文献研究法被利用于各科学科中。它能然跟我们认识到问题的现状和过去，来帮助确定研究课题。能对研究对象形成初步印象有助于我们进一步观察和深入。能从现实直接的资料信息中做比较，更能全面的了解研究对象。
第五种：实证研究法
研究者要亲自收集观察对象的信息，为理论假设、检验理论假设进行研究，它的特点是具有直接性和鲜明性的。通常运用数理实证研究和案例实证研究这两种方法，不断的通过研究客观的了解世界。通过控制和观察记录与此相伴的想象变化来确定条件和现象之间的因果关系，其目的是在于说明自变量与某个因变量的关系。
第五种：定量分析法
通过定量分析法可以使我们对研究对象进一步深化，用科学的方法来解释科学规律，研究对象的本质把握和关系的理清来预测事物的发展趋势。
第六种：定性分析法
它是由预测人员对研究对象进行主观判断和分析，是从“质”的方面来研究，运用总结和演绎等方法对材料进行思维加工取之精华舍去伪表，这类方法主要适用于一些没有或不具备完整历史资料和数据的对象。常用的定性分析方法有：管理人员的判断、专家的意见、销售人员的估计、顾客调查和市场测试、小组讨论、集合意见法、德尔菲法、质—量分析法、吸引力指数。
第七种：跨学科研究法
通过现有的科学理论对课题进行综合研究，也就是我们所说的“交叉研究法”。目前我们有2000多种学科，而学科的划分还在不断的加剧中，同时各个学科之间的联系也更加精密。在语言、方法和某些概念方面，有日益统一化的趋势。
第八种：个案研究法
个案研究法是指对某一个对象进行较长时间连续性的研究从而得出其行为变化发展的过程，这种研究方法就是我们所说的案例研究法。基本类型有：个人调查、团体调查、问题调查。此个案研究方法特征有：研究对象的典型性、研究过程的深入性、研究成果的可操作性。
第九种：功能分析法
它是社会科学用来分析社会现象的一种方式，是社会调查常用的分析方法之一，通过社会现象说明怎么满足社会需求的一个系统，用来解释社会现象。它是自然科学和社会科学的结合，从而分析自然现象和社会现象的一种方式。
第十种：数量研究法
它也被称为“统计分析法”和“定量分析法”，通过对研究对象的规模、速度、范围、程度等数量关系进行研究从而得出事物之间的关系、变化规律、发展来达到研究对象的正确理解和预测方式。
第十一种：模拟法(模型方法)
模拟法和类比法很相似。就是在实验室里先设计出于某个被研究现象或过程(即原型)相似的模型，然后通过模型间接的研究原型规律性的实验方法。模拟法可分为物理模拟和数学模拟两种。
第十二种：探索性研究法
这个是高层次的科学研究方法，它是用我们已知的信息知识通过自己探索和创新得出新颖独到的理论和成果。
以上是几种常见的论文写作研究方法，当然还有其他各种研究方法了。实际也是要根据你自己的个人情况合理选择方法从而更好的完成自己的毕业论文。
拓展资料：
关于论文写作注意事项
科学研究的基本要求是研究结果能够被重复，而快速判定结果能否被重复的途径就是作者所描述的材料与方法。因此，当论文提交给同行评议时，审稿人通常会十分关注并仔细阅读“材料与方法”部分。如果评审人对作者是否采取了正确可行的研究方法或技术、或实验能否被重复高度怀疑，就会建议退稿，而不管研究结果是如何地激动人心。因此，材料与方法的表达至关重要。
材料与方法的写作要点如下：
1.对材料的描述应清楚、准确通常先对材料做概述，然后再详细描述材料的结构、主要成分或重要特性、设备的功能等。
材料描述中应该清楚地指出研究对象(样品或产品、动物、植物、病人)的数量、来源和准备方法。如果采用具商标名的仪器、化学试剂或药品时，还应包括对仪器进行精确的技术说明，并列出试剂或药品的主要化学和物理性质;有些甚至要求仪器和样品制造商的名称及所在地。
对于实验材料，应采用国际同行所熟悉的'通用名，尽量避免使用只有作者的本国同行才知道的专门名称。然而，如果已知有不同特性的产品，并且相互间有重要差别，如特定的微生物媒介(microbiological media)，就需要使用商标和制造商的名称(商标名的首字母应大写，如：Teflon)，以示与通用名的区别，并将通用的描述紧接在商标名之后，如Kleenex facial tissues。
实验用的动物、植物和微生物应准确地标识出(通常按属、种和世系名列出)，并说明其来源和特殊性质(年龄、性别、遗传学和生理学状态)、抽样的要求或标准等。
当需要描述多种微生物的种属或化合物的来源和特性时，可采用列表的形式;否则，在正文、表注或图注中简单描述即可。
如果研究对象是人(志愿者或病人)，则应特别注意拟投稿期刊的具体要求，应交代研究对象的选择标准，并根据情况兼顾一般性的重要统计特征(年龄、性别和身体状况)，以及其他与论文主题相关的统计信息(如体重、身高、种族等)。
2.对方法的描述要详略得当、重点突出方法即描述“研究是如何开展的?”。通常按研究步骤的时间顺序描述方法，其内容包括：实验环境或条件(如温度、电压、辐射、特殊的光线等);研究对象选择的方法;选用特定材料、设备或方法的理由;实验程序;所应用的统计分析方法等等。如果没有时间顺序，就按重要性程度描述实验步骤。
在“方法”的描述中应给出足够的细节信息以便让同行能够重复实验，避免混入有关结果或发现方面的内容。必要时，应该完整地描述选择某种特定方法的理由。如果方法新颖、且不曾发表过，应提供所有必需的细节;如果所采用的方法已经公开报道过，引用相关的文献即可，如果报道该方法期刊的影响力很有限，可稍加详细地描述。
对数据统计分析方法的详细描述通常表明作者是新近设计或获得该方法，并且作者认为读者需要这种解释;普通的统计方法无需评论或解释;先进或不常见的统计方法需要适当引用文献。
如果要描述的内容较多，可按层次使用子标题，并尽可能创建与结论中内容相“对应”的子标题，这种写法可保持文章内部的一致呼应，并且读者也可很快了解某特定方法和与其相关的结果。
杨顶辉
（石油大学地球科学系，北京100083）
滕吉文张中杰
（中国科学院地球物理所，北京100101）
摘要快速有效地模拟地震波在各向异性介质中的传播在现今勘探地震学中具有重要的意义。一种算法的稳定性分析对于加快计算速度非常必要。本文首先利用矩阵和向量来描述波传播方程，针对二维和三维一般各向异性介质中的弹性波方程，提出了一种快速且占用内存少的有限差分方法；然后系统地研究了二维均匀、非均匀各向异性情况下波动方程有限差分格式的稳定性条件；进一步给出了某些特殊各向异性情况下有限差分方法的稳定性具体公式。最后，本文也对三维有限差分格式的稳定性问题进行了研究。
关键词弹性波方程有限差分稳定性各向异性介质
1引言
地震波传播的数值模拟在地球科学中具有重要的意义。在各向异性地震模拟的各种方法中，基于Kennett研究工作[11,12]的反射率方法是最流行的数值技术之一。基于走时方程渐近解的射线追踪方法是模拟地震各向异性的另一种有效方法[5,6]。Kosloff等[13]利用Fourier方法模拟了地震各向异性。而Chen[7]则使用有限元方法模拟非均匀各向异性问题。虽然有限差分方法已被广泛应用于各向同性介质中的弹性波模拟，但是利用这种方法来模拟地震各向异性问题并不普遍。Tsingas等[16]利用有限差分算子发展了一种模拟算法以求解横向各向同性介质中的偏微分方程，这种算法是基于MacCormack型的分离格式[2]。Faria等[8]基于交错网格格式[17]，利用有限差分算法模拟了二维横向各向同性问题。最近，Igel等[9]基于褶积算法给出了一种模拟一般地震各向异性的有限差分算法。
快速和少存贮量是有限差分方法的优点。随着大尺度波场模拟的需要和大规模并行计算的发展，复杂介质或高维（二维和三维）模型的有限差分地震模拟不可避免。虚谱法因其空间算子准确地达到Nyquist频率而深受欢迎，然而虚谱法需要富利叶变换，从而对于三维各向异性模拟非常耗时。同时，采用富利叶变换意味着每一个网格点与其它的点相互影响。在某种意义上，这与动力学的局部弹性性质不一致。因此当我们为地震模拟设计有限差分格式时，考虑差分算子的局部性是必要的。另一方面，考虑差分算子的局部性对于提高算法的并行性非常重要。因为最邻近网格点间的信息交换最快，因而对于各向异性大尺度模型波场的模拟是可行的。
基于上述原因，本文针对一般各向异性介质中的地震波传播问题，给出了一种快速且占用内存少的有限差分方法。事实上，这是算法[10,18]的一种推广。
通常地，时间推进算法被使用于地震波传播的数值模拟中，为了保证算法稳定，时间增量受算法稳定性条件的限制。选择合适的时间步长不仅能保证数值计算稳定，而且能加快计算速度。否则的话，不但会产生非物理数值振荡，甚至会导致错误的结果。合理时间增量的选取决定于差分格式和描述介质特征的介质参数或速度，换句话说，决定于差分格式的稳定性条件。因此有限差分格式的稳定性问题在数值计算中十分重要。尽管这一问题在文献[10,18]中针对某些特殊情况作过研究，但他们并没有对一般各向异性问题的有限差分格式及其稳定性做过详细、系统的研究。我们的目的就是针对这一问题给出一般的有限差分格式及其稳定性条件，进一步地给出某些特殊各向异性情况下的稳定性公式。结果表明在各向同性情况下我们的结果与Aboudi[1]的结果是一致的。
2有限差分格式
三维各向异性
各向异性介质中的运动平衡方程可成如下形式：
岩石圈构造和深部作用
其中：ρ是介质密度；fx,fy和fz分别表示力源在x,y和z方向上的分量；ux,uy和uz分别表示x,y和z方向上的位移分量。
应力应变关系为 ，其中弹性参数矩阵 ，并且ci,j=cj,i,i,j=1,2，…，6；
应力矩阵σ＝（σxx，σyy，σzz，σyz，σxz，σxy）T；
应变矩阵ε＝（εxx，εyy，εzz，εyz，εxz，εxy）T；
且应力与位移的关系为：
岩石圈构造和深部作用
令
岩石圈构造和深部作用
岩石圈构造和深部作用
那么方程（1）可写为：
岩石圈构造和深部作用
显然，A,E,Q,B+D,C+G和F+H是实的对称矩阵。在不考虑源项 的前提下，采用有限差分逼近方程（2），可得下列有限差分格式：
岩石圈构造和深部作用
其中：Δx，△y和△z分别表示x,y和z方向的空间步长，△t表示时间步长，并且，
岩石圈构造和深部作用
二维各向异性
类似地，二维各向异性介质中的波动方程可写为：
岩石圈构造和深部作用
并且有下列差分格式：
岩石圈构造和深部作用
3稳定性条件
均匀介质中二维有限差分格式的稳定性条件
均匀介质情况下格式（5）可简化为：
岩石圈构造和深部作用
根据Richtmyer和Morton的稳定性理论分析，我们令
岩石圈构造和深部作用
其中U0是一常数向量，方程（6）变为：]]
2I—2Pλ＋I）U0=0
其中I表示一单位矩阵，
岩石圈构造和深部作用
其中： ， ， ， ，
若系数行列式为0，则满足：
岩石圈构造和深部作用
定理1差分格式（6）稳定的条件是：
岩石圈构造和深部作用
其中函数F（α，β）和α，β为：
岩石圈构造和深部作用
岩石圈构造和深部作用
其中k=Δz/Δx
证明：据差分格式（6）的稳定性，方程（7）中的λ满足‖λ‖≤1。
根据（7）和引理2（见附录），有下列不等式：
岩石圈构造和深部作用
由A、Q和C+G的对称性，可知矩阵 也为对称的，则由引理3（见附录）和不等式（8），有
岩石圈构造和深部作用
由矩阵A，Q和C+G的元素的非负性，可令0≤α， ，则要使（9）成立，只须
岩石圈构造和深部作用
令
岩石圈构造和深部作用
并令偏导数
岩石圈构造和深部作用
根据波动方程的特性，有
‖A‖＞0,‖Q‖＞0,‖C+G‖＞0
所以（0，0）和（ ， ）可能为函数的极值点。显然，
f(0,0)=0
岩石圈构造和深部作用
下面我们讨论（α，β）≠（0，0）或（ ， ）的情况：
由（11）和（12）式，如果 ，那么
岩石圈构造和深部作用
其中α，β可能是f（α，β）的极值点，故稳定性条件为：
岩石圈构造和深部作用
否则 是函数的最大值点，且稳定性条件为：
岩石圈构造和深部作用
特别地，当Δx﹦Δz时，有下列简化的稳定性条件：
岩石圈构造和深部作用
其中α和β由（13）和（14）决定，且k=1。
非均匀情况下的稳定性条件
在非均匀情况下，对于差分格式（5）的稳定性条件是难以确定的。然而根据偏微分方程的数值方法理论[15]，我们可以采用“冻结系数”法[14]来分析其稳定性。进一步地，我们给出非均匀介质情况下差分格式（5）的稳定性条件。
事实上，如果介质参数函数为连续有界的，则通常我们可以近似地将一个小的计算区域看成是均匀的，那么差分格式（5）可以退化成格式（6），这样在小区域范围内，我们可以像均匀情况一样获得稳定性条件。进一步根据介质参数函数的连续有界特性，我们可以获得差分格式（5）的稳定性条件为：
如果 那么
岩石圈构造和深部作用
否则，
岩石圈构造和深部作用
其中H（α，β）、α和β为：
岩石圈构造和深部作用
某些特殊介质中差分格式的稳定性条件
显然，通过计算格式（6）中矩阵A、Q和C+G的范数，可以分别地获得各向同性和横向各向同性情况下的稳定性条件为：
各向同性
岩石圈构造和深部作用
或
岩石圈构造和深部作用
其中λ，μ为拉梅常数， 是P波速度。
显然，稳定性条件（15）与Aboudi[1]的结果一致。
横向各向同性
如果 那么 ≤p，否则
岩石圈构造和深部作用
其中，
岩石圈构造和深部作用
其中A,N,L,F和C为弹性常数。
类似地，我们可以获得非均匀和其它特殊各向异性介质（如：立方体各向异性、正交各向异性等介质）情况下的稳定性条件。
4三维各向异性情况下差分格式的稳定性条件
像前面二维情况一样分析可得如下稳定性条件：
定理2如果
max[k1·‖A‖＋k2·‖E‖＋k2·‖Q‖，f2（θ2，θ2，θ3）]≤1，那么均匀介质情况下差分格式（3）是稳定的。其中 ，函数f2（θ1，θ2，θ3）被定义为：
岩石圈构造和深部作用
其中： ， ， ， ， · ， ；
并且θ1，θ2，θ3满足：
岩石圈构造和深部作用
其中：a=4k1·‖A‖，b=4k2·‖E‖，d=4k3·‖Q‖，g=4k4·‖B+D‖，e＝4k5·‖C+G‖，f=4k6·‖F+H‖。
对于三维非均匀介质情况，经由“冻结系数”法可类似地分析其稳定性条件。
5总结和讨论
数值模拟地震波传播的有限差分方法是一种重要的工具，而其稳定性条件是提高计算速度的关键之一。然而对于一般二维和三维各向异性介质情况，系统深入地研究其差分格式和稳定性条件尚少，本文给出了一种快速且占有内存少的有限差分格式，并系统地分析和推导了一般均匀和非均匀各向异性情况下差分格式的稳定性条件。我们相信本文获得的结果有助于各向异性数值模拟的发展，并为有限差分方法的广泛应用提供理论依据。
参考文献
[1] simulation of seismic ～821.
[2] and fourth-order accurate finite-difference scheme for the computation of elastic ～1132.
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[6] and modelling and inversion of travel-times of seismic body waves in inhomogeneous anisotropic ～51.
[7] numerical model of elastic wave in anisotropic inhomogeneous media:finite element 54th SEG Annual Meeting Expanded Abstracts,Houston,～632.
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[10] and seismograms:A finite-difference ～27.
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[13] and modelling by a Fourier ～1412.
[14]陆金甫，顾丽珍，陈景良.偏微分方程差分方法.北京：高等教育出版社，1988.
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[17] wave propagation in heterogeneous media:Velocity-stress finite-difference ～901.
[18] al..Simulation of 3-component seismic records in a 2-dimensional transversely isotropic media with ～56.
附录：引理
引理1对于实系数方程λ2—2dλ＋1=0,｜d｜≤1是它的根λ满足∣λ｜≤1的充分必要条件。
引理1的证明参见文献[14]。
引理2若A∈Rn×n且A=A′，I是一个单位矩阵，则对于下列方程
∣λ2I—2Aλ＋I∣＝0，
‖A‖≤1是方程的根λ满足∣λ｜≤1的充分必要条件。
证明：充分性
因为A为实对称矩阵，存在T-1、T∈Rn×n使得
T-1AT=diag（d1,d2，…，dn）
根据引理2中的方程及上述等式，可获得
（λ2—2d1λ＋1）…（λ2—2dnλ＋1）=0
由‖A‖≤1和ρ（A）≤‖A‖，有‖ρ（A）‖≤1
根据 ，有
故对满足方程的任一根λ有∣λ∣≤1。
必要条件：因∣λ∣≤1且A为实对称矩阵，故由引理1可获得：
∣di∣≤1,i=1,2，…，n
即ρ（A）≤1。
又因A为正矩阵，所以ρ（A）＝‖A‖，即‖A‖≤1。
引理3如果A∈Rn×n，并且A=A′，那么
（i）如果‖I—A‖≤1，则‖A‖≤2;
（ii）如果‖A‖≥0，则‖A‖≤2是‖I—A‖≤1成立的充分必要条件。
证明：（i）因为A为实对称矩阵，故存在T-1、T∈Rn×n使得T-1AT=diag（d1,d2，…，dn）≡D
根据‖I—A‖≤1，有‖T（I—D）T-1‖≤1
显然，I—D为一正规矩阵，所以‖T（I—D）T-1‖＝‖I-D‖≤1
即
所以， ，即‖D‖≤2。
又因为A为正规矩阵，所以
‖A‖＝‖TDT-1‖＝‖D‖，即‖A‖≤2
（ii）必要条件已在（i）中证明，下面证明充分条件。
由（i）的证明过程可知：
‖A‖＝‖D‖
因为‖A‖≤2并且‖A‖≥0，有0≤‖D‖≤2，即max∣di｜≤2
所以我们可获得 。
即：‖I—D‖＝‖T-1（I—A）T‖≤1
由A的对称性可得‖I—A‖≤1。
国外与考研决策相关的文献有：《组织设计: 考研选择决策研究》、《研究生招生选择决策影响因素研究》、《考研决策研究：一种实证分析法》等。
很多的，可以看 国外研究生论文期刊参考资料 [1].国外研究生学术，国外工程管理硕士专业学位(MEM)设置对我国的启示，《国外论文参考文献格式:国外蒙学文献》 ，英文论文参考文献等文献的，有一定参考价值的。
英文wiki有Kane Shee-Gong Yee (born March 26, 1934) is a Chinese-American electrical engineer and mathematician. He is best known for introducing the finite-difference time-domain method (FDTD) in research interests include numerical electromagnetics, fluid dynamics, continuum mechanics and numerical analysis of partial differential was born on March 26, 1934 in Guangzhou, Republic of China. He received his . and . in electrical engineering from University of California, Berkeley in 1957 and 1958, respectively. He has completed his PhD in applied mathematics department at the same university under the supervision of Bernard Friedman in 1963; his dissertation involved the study of boundary value problems for Maxwell's equations. From 1959 to 1961, he was employed at Lockheed Missiles and Space Company, researching diffraction in electromagnetic 1966, Yee published a paper on the use of a finite difference staggered grids algorithm in the solution of Maxwell's equations. Yee was initially motivated by his self-studies in Fortran to develop the method. Appearing on IEEE Transactions on Antennas and Propagation, the article received little attention at the time of its release. The incorrect numerical stability conditions on Yee's paper were corrected by Dong-Hoa Lam in 1969 and Allen Taflove and Morris E. Brodwin in 1975. The method was subsequently renamed as finite-difference time-domain method in 1980. FDTD is also referred as Yee algorithm, with its specific discretized grid being known as Yee lattice or Yee 1966 and 1984, Yee became a professor of electrical engineering and mathematics at the University of Florida and later at Kansas State University. He became a consultant to Lawrence Livermore National Laboratory in 1966, working on microwave vulnerability problems at the same institute from 1984 to 1987. In 1987, he became a research scientist at Lockheed Palo Alto Research Lab, working on computational electromagnetics problems and retiring in 1996.