微积分对人类贡献论文

微积分对人类贡献论文

微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。 前面已经提到，一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样。 不幸的是，由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余，在提出谁是这门学科的创立者的时候，竟然引起了一场悍然大波，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前，因而数学发展整整落后了一百年。 其实，牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究，在大体上相近的时间里先后完成的。比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼茨早10年左右，但是正式公开发表微积分这一理论，莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。他们的研究各有长处，也都各有短处。那时候，由于民族偏见，关于发明优先权的争论竟从1699年始延续了一百多年。 应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说。这些基础方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生。 直到19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。 任何新兴的、具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者。在微积分的历史上也闪烁着这样的一些明星：瑞士的雅科布·贝努利和他的兄弟约翰·贝努利、欧拉、法国的拉格朗日、柯西…… 欧氏几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是一种常量数学，微积分才是真正的变量数学，是数学中的大革命。微积分是高等数学的主要分支，不只是局限在解决力学中的变速问题，它驰骋在近代和现代科学技术园地里，建立了数不清的丰功伟绩。

数学微积分论文范文

微积分是高等数学的一部分知识，关于微积分的论文有哪些？接下来我为你整理了数学微积分论文的 范文 ，一起来看看吧。

摘要：初等微积分作为高等数学的一部分，属于大学数学内容。在新课程背景下，几进几出中学课本。可见初等微积分进入中学是利是弊已见分晓，其重要性不言而喻。但对很多在岗教师而言，还很陌生，或是理解不透彻。这样不利于这方面的教学。我将对初等微积分进入中学数学背景，作用及教学作简单研究.

关键词：微积分;背景;作用;函数

一、微积分进入高中课本的背景及必要性

在数学发展史上，自从牛顿和莱布尼茨创建微积分以来，数学中的很多问题都得以解决。微积分已成为我们学习数学不可或缺的知识。其在经济、物理等领域的大量运用也使之成为解决生活实际问题的重要工具。但牛顿和莱布尼茨创建的微积分为“说不清”的微积分，也就是连他们自己也说不清微积分的理论依据，只是会应用。这使得很多人学不懂微积分，更不用说让中学生来学习微积分。

柯西和维尔斯特拉斯等建立了严谨的极限理论，巩固了微积分基础，这是第二代微积分，但概念和推理繁琐迂回，对高中生更是听不明白。近十年来，在大量的数学家如：张景中，陈文立，林群等的不懈努力下，第三代微积分出现了相比前两代说得清楚，对高中生而言，也更容易理解。这为其完全进入高中课本奠定了基础。从内容来看，新一轮的课改数学教材在微积分部分增加了定积分的 概念及应用(求曲边梯形面积，旋转体体积，以及在物理中的应用)，可能考虑到中学生的认知能力，人教版新教材与北师大版在这方面有所不同。即利用定积分求简单旋转体体积在北师大版教材中出现了，但人教版没有。

从课标和考试大纲(参考2011年高考考试大纲)上看，初等微积分所占比重也是越来越重。回顾历届高考，微积分相关题型分值越来越高。但就我个人观点，初等微积分在中学数学中的作用还没有真正全面发挥。我认为，它是学生中学数学和教师教学的一条线索，它是我们研究中学函数问题的统一 方法 ，也是联系中学与大学数学知识的纽带!

二、微积分在中学数学中的作用

1.衔接性与后继作用。微积分本是大学高等数学范畴，是大学开设的课程。让现在中学生提前学习部分微积分知识，这便为其以后升入大学学习微积分打下良好的基础，这也使数学知识从小学到大学从内容上衔接得更加紧密。也不会再出现很多大学生认为的大学数学知识在高中数学教学中没有任何作用的观点.

2.解决数学相关知识的作用。高中数学函数在整个中学数学内容中，不论从高考所占比重还是自身难度来说都应该排在首位。对学生来说永远是最难学的，得分率也相对比较低。很多学生讨厌数学就是讨厌函数，提到数学中的函数就头晕。由于应试 教育 的关系，学生又不得不学习函数，而函数思想本身也是高中数学学习的一条线索。微积分的进入对学生学习函数问题找到了统一的方法。高中阶段我们所研究的函数问题一般是以一些基本初等函数为媒介研究函数的定义，图像和性质，当然也有应用。但随着课改的深入，函数应用问题逐渐在淡化。而初等微积分知识即研究函数的重要工具，如：微积分可以求函数的单调性，最值。最重要的是它可以画出函数的图像，其实，当函数图像画好后，几乎函数所有性质都可以解决。学生只要学好微积分便掌握了研究函数的统一方法，那么高中阶段的二次函数，指数函数，对数函数，三角函数等所有初等函数的学习就可以统一，既节约了教学时间又学习了先进的数学思想。对提高学生的数学修养打下坚实的基础。我相信还可以激发其学习数学的兴趣。另外，在高中阶段，初等微积分还可以解决不等式问题，求二次曲线的切线问题，求曲边梯形的面积等很多数学问题。利用微积分不仅可以使问题简化，并能使问题的研究更为深入、全面。

3.提高数学在其他学科的应用能力。作为自然学科的数学本身已应用于社会经济、技术等各个领域。而作为中学数学，它对中学 其它 学科的推动作用也是毋庸置疑的。如物理，化学，地理等学科也离不开数学。在高中阶段往往会因为数学的教学进度而影响其它学科的进度。如地理中要学习地球的经度，纬度等知识就需要先学习数学中球体相关知识和解三角形相关知识。当微积分进入中学数学后，数学这个学科的作用就更加重要了。特别像物理中匀加速直线运动位移，瞬时速度，加速度等问题利用微积分的导数求解起来更加简单，容易理解。新课程人教版数学教材选修2-2中专门加入了利用定积分求变速直线运动的路程一节。另外，微积分解决生活中的优化问题也进入中学课本。可见，微积分进入中学教材，对促进学科间知识的整合起到了至关重要的作用。

三、国际上一些教材对微积分知识的处理

以苏联中学为例，苏联中小学为十年制，从九年级(1)(相当于我国高中一年级)中讲了数学归纳法和排列组合以后，就介绍无穷数列和极限。然后介绍函数极限和导数，所有这些都在讲解三角函数，幂函数，指数、对数函数之前。随即介绍导数在近似计算，几何(求切线)和在物理中的应用(研究速度，加速度)以及导数在研究函数问题中得应用(求函数极值，最值，单调性等)。到九年级末及十年级(2)再讲三角函数， 利用导数可以研究三角函数的性质。然后介绍不定积分和定积分。接着在指数函数，对数函数和幂函数一章介绍指数函数的导函数，再利用反函数求得对数函数的导函数。在十年级(3)中利用微积分知识研究几何问题，用积分推导锥体，球体等的体积公式。还把球的表面积定义为球的体积V(R)对R的导数，从而立即求得球的表面积公式。可见，苏联课本中及早分散引入导数及积分的概念和计算，而不是到最后整块讲解。这样处理，可以使微积分知识结合研究函数问题，几何问题以及研究物理问题中都得到应用。

当然，还有比如台湾中学教材对微积分处理和我过现行教材区别不大，就不再介绍。而上诉对微积分的处理情况是一种在欧洲中学教材中较普遍的处理方式。其优点主要就是充分发挥了微积分在中学数学教学中的作用。使中学数学知识更加连贯，更加易懂!

摘 要：微积分是高等院校管理类专业的重要数学基础课，第一堂课是上好微积分的关键。通过三个方面就如何上好微积分绪论课做些探讨。

关键词：微积分;起源;内容;方法

微积分是门基础课，这门课的学习直接影响到今后专业课的学习，而绪论课对这门课的学习有着引导的作用，在整门课中有特殊的地位和作用。绪论课应包含下面几个部分的内容：

一、微积分起源的介绍

微积分包括两方面的内容：微分与积分。微积分的创立源于处理17世纪的科学问题。先引入微积分学的创始人之一费马研究的一个问题：假设一个小球正向地面落去，求下落后第5秒时小球的速度?若是匀速运动，则速度等于路程除以时间，然而这里的速度是非均匀的，那能不能把非均匀速度近似看成均匀速度?用什么方法?这就是微分学问题，再引入古希腊人研究的面积问题：计算抛物线y=x2与坐标轴x轴在0≤x≤1间所围成的面积。能不能将面积切割成n个小面积，再将小面积用小矩形来代替，由n个小矩形的面积得到所求面积?这里所用的方法就是积分问题。很早以前就有人研究过微分与积分，而微积分的系统发展是在17世纪开始的，从此逐渐形成了一门系统完整且逻辑严密的学科。微积分通常认为是牛顿和莱布尼茨创立的。这一系统发展关键在于认识到微分和积分这两个过程实际上是彼此互逆地联系着。

介绍提及的人物牛顿和莱布尼茨的相关轶事，例如创建微积分优先权的争论。牛顿于1665～1687年把研究出的微积分相关结果告诉了他的朋友，并将短文《分析学》送给了巴罗，但期间没有正式公开发表过微积分方面的工作。莱布尼茨于1672年访问巴黎，1673年访问伦敦时，和一些知道牛顿工作的人通信。1684年莱布尼茨正式公开发表关于微积分的著作。于是有人怀疑莱布尼茨知道牛顿具体的工作内容，莱布尼茨被指责为剽窃者。在两个人死了很久后，调查证明：牛顿很多工作是在莱布尼茨前做的，但是莱布尼茨是微积分思想的独立发明者。

二、介绍微积分内容及方法

微积分学研究的对象是函数，极限是最主要的推理方法，它是微积分学的基础。微积分内容有四类：一是已知物体移动的距离是时间的函数，怎样由距离得到物体在任意时刻的速度和加速度;反过来，已知物体的加速度是时间的函数，怎样求速度和距离。二是求曲线的切线。三是求函数的最大最小值问题。四是求曲线的长度、平面曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心。

三、为什么要学习高等数学

微积分在自然科学、经济管理、工程技术、生命科学等方面都有应用，是各门学科强有力的数学工具。学好微积分，可以增加语言的严密性、精确性，可以从中锻炼人的 理性思维 ，并感受到美的艺术。例如黄金分割，无理数的■与π的表达式：

微积分的绪论课是整个教学的第一课，绪论教学能使学生对这门课有个快速大致的认识与了解，好的绪论课可以引导学生主动、积极地学习。

前　言

21世纪，科学、技术和社会都发生了巨大的变化。高等数学作为高等院校的基础课程之一，在其他各个领域及学科中发挥出越来越大的作用。尤其是微积分教学，是目前数学教育的一大课题。

一、我国微积分教学改革的现状

目前的数学实验中，微积分教学改革的现状中仍然存在一些主要问题。

首先，优秀人才的培养重视不够。在微积分教学中，重视的是教育大众化的人才，而一些顶尖的、优秀的人才的培养却重视不够。

其次，过度应试化。过度重视应试教育在微积分教学中越来越明显，轻能力重考试已成为一种倾向。

再次，学生差异大，素质下降。学生人数的激增带来学生差异的强化，面对这一情况，如何规划班级，如何区别对待学生是微积分教学面临的问题。

二、微积分课改的必要性

随着高等数学改革的不断深入，微积分教学的改革成为其中的重要部分。微积分教学的改革并不是空穴来风，而是一种必然。

(1)社会高度发展提出的要求

微积分作为高等数学的一部分，对技术文明的推动有重要作用，许多数学细想和数学的建树都离不开微积分。可以说，微积分在推进数学思想，推进社会进步，推进科学发展上有举足轻重的作用，是不可或缺的，它是人类思维的伟大成果，不仅是高等数学。而且是其他行业，其他专业，在不同范围和不同程度上对微积分的认识都是必要的。设想一下，如果取消对微积分的学习，那么技能的进步只是一句空谈，社会不会发展，智慧不会被充分开掘。所以，微积分教学的改革是十分必要的。

(2)科技的发展提出的需要

当今世界，是一个科学技术突飞猛进的时代，军事、贸易等激烈的竞争和市场经济，如果没有科技的推进，则会落后于他人。如何促进科学的发展呢?微积分起着重要的作用，它不仅为科学提供了精密的数学思想，也为科学的提供了理论支撑，它不但改变了数学面貌，还是其他学科的工具和方法，微积分在自然学科的各个方面都有运用。随着科技发展的时代，提高微积分教学的质量是势在必行的。

(3)人类思维发展的需要

微积分中蕴藏着很多重要思想，比如辩证的思想，常量与变量，孤立与发展，静止变化，有限与无限等，还有“直”与“曲”，“局部”与“整体”的辩证关系，其实。哲学最处就是与数学密切相关的，所以，数学，尤其是微积分思想充满了逻辑与辩证，微积分的学习。不仅是知识、理论的学习，更是一种思维的训练。因此，微积分教学的完善有利于培养人类思维，使人类思维获得一个飞跃，更有效地解决问题。

三、微积分课改的内容

根据新的教学大纲的修改，微积分教学重新设计了课程内容、教学理念、 教学方法 等，以学生为主体，更直观形象，而且在教学方法上也进行了革新。全面促进了微积分教学的改革。

1、课程基本理念的改革

微积分教学的改革能否成功关键在于观念的转变，过去是偏重理论，现在则要注重应用激发初学者的学习兴趣，尽早把握微积分的基础知识，把抽象难懂的微积分理论转变为学生容易接受、容易理解的微积分教学方式，比如说，极限是微积分知识中的难点，极限概念、运动、辩证思想等对于学生来说是十分抽象，不容易理解，从而没有激发学生的学习兴趣，课堂变得枯燥无味，理论严谨，逻辑性很强，学生上手难。微积分教学大纲的修订也体现出教学理念的更新，新的微积分教学中，适当降低了难点知识。重视对微积分本质的认识，以直观、实例来提高学生的微积分学习兴趣和学习效率，使学生学习的主动性回归到自身，体现以人为本的思想，重视学生的情感态度、生活价值的培养，根据学生自身的特点因材施教，为学生提供更好的学习条件和基础。

2、课程内容的改革

根据《标准》大纲的修订，微积分教学首先是对课程内容和教学大纲的精简、增加、删改。修订后的教学内容比原来的教学大纲更精练，更科学。比如，原来12学时的“极限”在修订大纲中被大面积的删减。并在修订大纲中，引入导数这一很有判断意义的概念，因为导数是微积分初步了解的第一个概念，对导数概念的理解起到基础性的作用。而且，修订的课本内容中，对导数的讲解时直观形象的，应用性很强，又有许多实例来帮助学生加深理解。因此，微积分教学的新课改减轻了学生的学习负担，降低了概念的理解难度。

3、课程设计的改革

原来的课程是从极限、连续、导数、导数应用，再到不定积分、定积分这样的次序设计的，并在“导数和微分”的前面一章给“极限”设计了许多定义，以及对“极限”的求法和运算做了讲解。修订后的大纲对课程设计做了调整，尤其是微积分讲解的路线，发生了变化，从瞬间速度，变化率，导数、导数应用再到定积分。对人文社科方面的高校微积分课程的设置，则多数是作为选修课来处理的，并与生活十分贴近，应用性很强，使非数学专业也对数学有一定的基础了解和学习兴趣。

4、教学方法的革新

(1)数学思想方法的渗透与运用。数学思想方法是多种多样的，在生活中也取得有效地运用。微积分耶是高等数学的一个方面，因此，在微积分教学中引入数学思想方法是科学的。其中，数学分析，也叫微积分，是17世纪出现的十分重要的数学思想，不仅在17世纪有非常重要的地位，即使是在今天，这种思想方法在成功解决无限过程的运算方面，即极限运算有很大的帮助。数学思想的运用已成为各国比较重视一项革新项目。

(3)加强实例分析和应用性。数学是一种逻辑推理。但也是来源于生活的，也最终给应用于生活，因此，数学的教学不能和现实相脱离。修订后的微积分教学大纲明显注重了实际应用性。即使是书上一个很简单的概念，也时刻穿插一些实用性的图片，在习题的练习中，也是紧密结合生活实际，不是空中楼阁。比如说，用指数函数来看银行存款和人口问题，还有对数函数中涉及放射性、分贝、地震级的问题。微积分数学应用于生活中实际问题的解决。

5、教学工具的革新。

现代教育技术，尤其是多媒体技术在微积分教学中的应用，对很好的实现教学理念，完善教学思想和教学方法很有意义，例如，作为重点和难点的“极限”概念和理论一直是教学中难以攻克的，因为它的抽象，所以老师再怎么讲解也难免有学生不理解，而多媒体教学的应用解决了这一难题，教师可用直观形象的动画来表现比如“无限逼近”的理论，给学生一个直观、感性的认知，还可运用多媒体设计可变参数的动画，让学生积极参与，自己动手设计，加深理解。又如导数概念的理解需要借助曲线来表现其某个点在某个时刻的瞬时速度，可以充分利用多媒体技术，画具有艺术性的示意图，设计动画，让学生在动画中领悟微积分的实质和导数的概念。值得注意的是，在运用多媒体技术时，要遵循学科本身的规律，反复渗透，循序渐进，结合教材，积极引导。

四、小结

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微积分的基本思想及其在经济学中的应用

摘要： 微积分局部求近似、极限求精确的基本思想贯穿于整个微积分学体系中，而微积分在各个领域中又有广泛的应用，随着市场经济的不断发展，微积分的地位也与日俱增，本文着重研究微分在经济活动中边际分析、弹性分析、最值分析的应用，以及积分在最优化问题、资金流量的现值问题中的应用。

关键词：微分   积分   基本思想   应用

微积分是人类智慧最伟大的成就之一，局部求近似、极限求精确的基本思想是进一步学习高等数学的基础。随着市场经济的不断发展，利用数学知识解决经济问题显得越来越重要，运用微分和积分可以对经济活动中的实际问题进行量化分析，从而为企业经营者的科学决策提供依据。

1. 微积分的产生、发展及其作用

微积分思想的萌发出现的比较早，中国战国时代的《庄子·天下》篇中的“一尺之锤，日取其半，万事不竭”就蕴涵了无穷小的思想。经查阅文献《晏能中.微积分——数学发展的里程牌》得知：到了十七世纪，欧洲许多数学家也开始运用微积分的思想来写极大值与极小值，以及曲线的长度等等。帕斯卡在求曲边形面积时，用到“无穷小矩形”的思想，并把无穷小概念引入数学，为后来莱布尼兹的微积分的产生奠定了基础。

随着数学科学的发展，微积分得到了进一步的发展，其中欧拉对于微积分的贡献最大，他的《无穷小分析引论》、《微分学》、《积分学》三部著作对微积分的进一步丰富和发展起了重要的作用。之后，洛必达、达朗贝尔、拉格朗日、拉普拉斯、勒让德、傅立叶等数学家也对微积分的发展作出了较大的贡献。由于这些人的努力,微分方程、级数论得以产生，微积分也正式成为了数学一个重要分支。

微积分的创立改变了整个数学世界。微积分的创立，极大的推动了数学自身的发展，同时又进一步开创了诸多新的数学分支，例如：微分方程、无穷级数、离散数学等等。此外，数学原有的一些分支，例如：函数与几何等等，也进一步发展成为复变函数和解析几何，这些数学分支的建立无一不是运用了微积分的方法。在微积分创设后这三百年中，数学获得了前所未有的发展。

2. 微积分的基本思想———局部求近似、极限求精确

微积分是微分学和积分学的总称，它的基本思想是：局部求近似、极限求精确。以下我们具体阐述微分学与积分学的思想。

2.1微分学的基本思想

微分学的基本思想在于考虑函数在小范围内是否可能用线性函数或多项式函数来任意近似表示。直观上看来，对于能够用线性函数任意近似表示的函数，其图形上任意微小的一段都近似于一段直线。在这样的曲线上，任何一点处都存在一条惟一确定的直线──该点处的“切线”。它在该点处相当小的范围内，可以与曲线密合得难以区分。这种近似，使对复杂函数的研究在局部上得到简化。

2.2积分学的基本思想

积分学的最基本的概念是关于一元函数的定积分与不定积分。蕴含在定积分概念中的基本思想是通过有限逼近无限。因此极限方法就成为建立积分学严格理论的基本方法。微分与积分虽然是微观和宏观两种不同范畴的问题，但它们的研究对象都是“非均匀”变化量，解决问题的基本思想方法也是一致的。可归纳为两步：a.微小局部求近似值；b.利用极限求精确。微积分的这一基本思想方法贯穿于整个微积分学体系中，并且将指导我们应用微积分知识去解决各种相关的问题。

3.微分在经济学中的应用

随着经济的发展及数学理论的完善,数学与经济学的关系越来越密切,应用越来越广泛.微积分作为数学知识的基础,介绍微积分与经济学的书也越来越多,然而大部分书或者着重介绍经济学概念或者着重介绍数学理论,很少有主要介绍微积分在经济学中的应用的书.本文将通过对一些简单的微积分知识在经济学中的应用,以使人们意识到理论与实际结合的重要性.

3.2弹性分析

在文献《蔡芷.财会数学》中，某个变量对另一个变量变化的反映程度称为弹性或弹性系数。在经济工作中有多种多样的弹性，这决定于所考察和研究的内容，如果是价格的变化与需求反映之间有关系，那么这个反映就称为需求弹性。由于具体商品本身属性的不同以及消费需求的差异，同样的价格变化给不同商品的需求带来的影响是不同的。有的商品反应灵敏，弹性大，涨价降价会造成剧烈的销售变动；有的商品则反应呆滞，弹性小，价格变化对其没什么影响。

4.积分在经济学中的应用

积分学是微分学的逆问题，利用积分学来研究经济变量的变化问题是经济学中的一个重要方法，不定积分是求全体原函数，定积分是求和式的极限。由边际函数求原函数，或求一个变上限的定积分，一般都采用不定积分来解决；如果求原函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决。对企业经营者来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的，不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角。

5.总结：

微积分局部求近似、极限求精确的基本思想方法贯穿于整个微积分学体系中，在经济日益发展的今天，微积分的地位也与日俱增，贷款、养老金、医疗保险、企业分配、市场需求等等金融问题越来越多地进入普通人的生活，利用微积分的知识有利于我们去解决各种相关的问题。

参考文献：

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为什么说微积分基本定理是人类精神的胜利

在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了，如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那正是在这里。——恩格斯
微积分早期的思想基础
在17世纪，两位数学家伽利略和开普勒的一系列发现,导致了数学从古典数学向现代数学的转折。
在25岁以前的伽利略就开始作了一系列实验，发现了许多有关物体在地球引力场运动的基本事实，最基本的就是自由落体定律。 开普勒在1619年前后归纳为著名的行星运动三大定律。这些成就对后来的绝大部份的数学分支都产生了巨大影响。伽利略的发现导致了现代动力学的诞生，开普勒的发现则产生了现代天体力学。他们在创立这些学科的过程中都感到需要一种新的数学工具，这就是研究运动与变 化过程的微积分。
有趣的是，积分学的起源可追溯至古希腊时代，但直到17世纪微分学才出现重大突破。
积分思想的渊源
求积问题就是求图形的面积、体积问题。该问题的历史十分悠久，可以追溯到古代各个文明对一些简单图形进行的求面积和体积，比如求三角形、四边形、圆或球、圆柱、圆锥等等的面积或体积，以及17世纪欧洲人对圆面积、球体积、曲边三角形、曲边四边形等的面积的计算。这些问题直到牛顿和莱布尼兹建立微积分才从根本上得到了解决。求积问题是促使微积分产生的主要因素之一。
在积分思想发展的过程中，有一批伟大的数学家为此做出了杰出的贡献。古希腊时代伟大的数学家、力学家阿基米德，我国古代著名数学家刘徽，祖冲之父子等为积分思想的形成和发展做出了重要的贡献。
16，17世纪是微积分思想发展最为活跃的时期，其杰出的代表有意大利天文学家、力学家伽利
略和德国天文学家、数学家、物理学家开普勒，卡瓦列里等。他们的工作为牛顿、莱布尼兹创立微积分理论奠定了基础。
微分学思想的起源
微分学主要来源于两个问题的研究，一个是作曲线切线的问题，一个是求函数最大、最小值的问题。这两个问题在古希腊曾经考虑过，但古希腊对这两个问题的讨论远不及对面积、体积、弧长问题讨论得那么广泛和深入。
在这两个问题的研究上作出先驱工作的是费马。费马在1629年给出了求函数极大、极小值的方法。不过这个思想直至八、九年后才较多地为人所知。
开普勒已经观察到，一个函数的增量通常在函数的极大、极小值处变得无限地小。费马利用这一
事实找到了求函数极大、极小值的方法。它的根是使函数取极小值的。费马还创造了求曲线切线的方法。这些方法的实质都是求导数的方法。曲线的切线问题和函数的极大、极小值问题都是微分学的基本问题。正是这两个问题的研究促进了微分学的诞生。费马在这两个问题上都作出了重要贡献，被称为微积分学的先驱。
费马处理这两个问题的方法是一致的，都是先取增量，而后让增量趋]向于零。而这正是微分学的实质所在，也正是这种方法不同于古典方法的实质所在。费马还曾讨论过曲线下面积的求法。这是积分学的前期工作。他把曲线下的面积分割为小的面积元素，利用矩形和曲线的解析方程，求出这些和的近似值，以及在元素个数无限增加，而每个元素面积无限小时,将表达式表示为和式极限的方式。但是，他没有认识到所进行的运算本身的重要意义，而是将运算停留在求面积问题本身，只是回答一个具体的几何问题。只有牛顿和莱布尼兹才把这一问题上升到一般概念，认为这是一种不依赖于任何几何的或物理的结构性运算，并给予特别的名称－微积分。
在创立这些学科的过程中，他们都感到一种新的数学工具的需要，这就是研究运动与变化 过程的微积分。有趣的是，积分学的起源可追溯至古希腊时代，但直到17世纪微分学才出现重大突破。
费马还创造了求曲线切线的方法。这些方法的实质都是求导数的方法。曲线的切线问题和函数的极大、极小值问题都是微分学的基本问题。正是这两个问题的研究促进了微分学的诞生。费马在这两个问题上都作出了重要贡献，被称为微积分学的先驱。
费马处理这两个问题的方法是一致的，都是先取增量，而后让增量趋向于零。而这正是微分学的实质所在，也正是这种方法不同于古典方法的实质所在。费马还讨论过曲线下面积的求法。这是积分学的前期工作。他把曲线下的面积分割为小的面积元素，利用矩形和曲线的解析方程，求出这些和的近似值，以及在元素个数无限增加，而每个元素面积无限小时,将表达式表示为和式极限的方式。但是，他没有认识到所进行的运算本身的重要意义，而是将运算停留在求面积问题本身，只是回答一个具体的几何问题。只有牛顿和莱布尼兹才把这一问题上升到一般概念，认为这是一种不依赖于任何几何的或物理的结构性运算，并给予特别的名称－微积分。
微积分的创立
十七世纪是从中世纪向新时代过渡的时期。这一时期，科学技术获得了巨大的发展。精密科学从当时的生产与社会生活中获得巨大动力；航海学引起了对天文学及光学的高度兴趣；造船学，机器制造与建筑，堤坝及运河的修建，弹道学及一般的军事问题等等，促进了力学的发展。
在这些学科的发展和实际生产中，迫切需要处理下面四类问题：1. 已知物体运动的路程和时间的关系，求物体在任意时刻的速度和加速度。反过来已知物体的加速度与速度，求物体在任意时刻的速度与经过的路程。计算平均速度可用运动的路程除以运动的时间，但是17世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化，对于瞬时速度，运动的距离和时间都是0，这就碰到了0/0的问题。人类第一次碰到这样的问题 。
2. 求曲线的切线。这是一个纯几何的问题，但对于科学应用具有重大意义。例如在光学中，透镜的设计就用到曲线的切线和法线的知识。在运动学问题中也运到曲线的切线问题，运动物体在它的轨迹上任一点处的运动方向，是轨迹的切线方向。
3. 求函数的最大值和最小值问题。在弹道学中这涉及到炮弹的射程问题，在天文学中涉及到行星和太阳的最近和最远距离。
4. 求积问题。求曲线的弧长，曲线所围区域的面积，曲面所围的体积，物体的重心。这些问题从古希腊开始研究，其中的某些计算，在现在看来只是微积分的简单练习，而过去曾经使希腊人大为头痛。事实上，阿基米德所写的著作几乎都是在讨论这类问题，而他的结果就标志着希腊数学的高潮。
正是科学和生产中面临的这些重要问题，促进了微积分的诞生与发展。
在微积分诞生和发展时期，一批伟大的数学家做出了杰出的贡献，例如，数学家伽利略，开普勒，卡瓦列里，费马，巴罗，牛顿，莱布尼兹等等。
科学的重大进展总是建立在许多人一点一滴工作之上，但是，常常需要有一个人完成“最后的一步”，这个人需要具有敏锐的洞察力，从纷乱的猜测和说明中整理出前人有价值的思想，需要有足够想象力，把这些孤立的“碎片”组织起来，并且能够大胆地制定一个宏伟的体系。在微积分诞生过程中，牛顿和莱布尼兹就是完成这一使命的巨人。
在微积分诞生之后的18世纪，数学迎来一次空前的繁荣，人们将这个时代称为数学史上的英雄世纪。这个时期的数学家们的主要工作就是把微积分应用于天文学、力学、光学、热学等各个领域，并获得了丰硕的成果。
1661年，牛顿进入剑桥大学三一学院，受教于巴罗，同时钻研伽利略、开普勒、笛卡儿和沃利斯等人的著作。三一学院至今还保存着牛顿的读书笔记，从这些笔记可以看出，就数学思想的形成而言，笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算数》对他影响最深，正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分的道路。
1665年8月回到了家乡，在那里开始了他在机械、数学和光学上的伟大工作，这两年成为牛顿科学生涯中的黄金岁月，创立了微积分，发现了万有引力和颜色理论，……，可以说牛顿一生大多数科学创造的蓝图，都是在这两年构思的。
微积分的创建
1664年秋，牛顿开始研究微积分问题。当时，他反复阅读笛卡儿《几何学》，对笛卡儿求切线的“圆法”产生了浓厚的兴趣，并试图寻找更好的方法。就在此时，牛顿首创了小o记号，用它表示x的增量，它是一个趋于零的无穷小量。
牛顿在家乡躲避瘟疫期间，继续探讨微积分并取得了突破性进展。据他自述，1665年11月发明“正流数术”（微分法），次年5月又建立了“反流数术”（积分法）。1666年10月，牛顿将前两年的研究成果整理成一篇总结性论文，现在称为《流数简论》。当时虽未正式发表，但在同事中传阅。《流数简论》是历史上第一篇系统的微积分文献。
《流数简论》反映了牛顿微积分的运动学背景。该文事实上以速度形式引进了“流数”（即微商）的概念，虽然没有使用“流数”这一基本术语，但在其中提出了微积分的基本问题，用现在的数学语言可以表述如下：
1）已知物体的路程，求物体运动速度的问题。
2）已知物体运动的速度，求物体路程的问题。
牛顿指出，第一个问题是微分的问题，第二个问题的第一个问题的逆运算，并给出了相应的计算方法。在此基础上，建立了的“微积分基本定理”，它揭示了“导数和积分之间的内在联系”。当然，对微积分基本定理，并没有给出现代意义下的严格证明。在后来的著作中，对微积分基本定理，牛顿又给出了不依赖于运动学的较为清楚的证明。
在牛顿以前，面积总是被看成是无限小不可分量之和，牛顿则从确定面积变化率入手，通过反微分计算面积。这样，牛顿不仅揭示了面积计算与求切线问题的互逆关系，并且十分明确地把它作为一般规律揭示出来，从而建立了微积分普遍算法的基础。
正如牛顿本人在《流数简论》中所说：一旦反微分问题可解，许多问题都将迎刃而解。
自古希腊以来，人们得到了许多求解无限小问题的各种特殊技巧，牛顿将这些特殊技巧统一为两类普遍的算法——正、反流数术，即微分与积分，并证明了二者的互逆关系，进而，他将这两类运算统一成一个整体——微积分基本定理。
这是他超越前人的功绩，正是在这样的意义下，我们说牛顿发明了微积分。在《流数简论》的其余部分，牛顿讨论了求曲线切线、曲率、拐点，求曲线长度、求曲线围成的面积，求引力与引力中心等16类问题。对这些问题的讨论，牛顿都是运用他建立的统一的算法来处理的，所有这些充分显示了牛顿创建的“微积分”算法的极大普遍性与系统性。
从1667年起到1693年牛顿用了大约四分之一世纪的时间，从事微积分方面研究。牛顿始终不渝努力改进、完善自己的微积分学说，先后写成了三篇微积分论文：
（1）1669年完成了《运用无限多项方程的分析》，简称《分析学》；
（2）1671年完成了《流数法与无穷级数》，简称《流数法》；
（3）1691年完成了《曲线求积术》，简称《求积术》。
牛顿对于发表自己的科学著作态度谨慎，他的大多数著作都是经朋友再三催促才拿出来发表。上述三篇论文发表都很晚，其中最先发表的是最后一篇《曲线求积术》；《分析学》发表于1771年；而《流数法》则迟至1736年才正式发表，当时牛顿已去世。1687年，牛顿出版了他的力学名著《自然哲学的数学原理》，简称《原理》，在《原理》中，最早表述牛顿创立的微积分学说，因此，《原理》也成为数学史上的划时代著作。
《自然哲学的数学原理》的扉页
《原理》被爱因斯坦盛赞为“无比辉煌的演绎成就”。全书从三条基本的力学定律出发，运用微积分工具，严格地推导证明了包括开普勒行星运动三大定律、万有引力定律等在内的一系列结论，并且还将微积分应用于流体运动、声、光、潮汐、彗星乃至宇宙体系，充分显示了这一数学工具的威力。
牛顿的科学贡献是多方面的。在数学上，除了微积分，他的代数名著《普遍算术》，包含了方程论的许多成果，如虚数根成对出现、笛卡儿符号法则的推广、根与系数的幂和公式等等；他的几何杰作《三次曲线枚举》，首创对三次曲线的分类研究，这是解析几何发展一个新的高峰；在数值分析领域，今天任何一本教程都不能不提牛顿的名字。
牛顿的历史功绩
牛顿是一位科学巨人，是人类历史上最伟大的数学家之一。与牛顿一样，为数学做出杰出贡献的数学家莱布尼兹评价道：“从世界开始到牛顿生活的年代的全部数学中，牛顿的工作超过了一半。”
莱布尼兹与微积分的诞生
1646年6月21日戈特弗里德·威廉·莱布尼兹出生在德国莱比锡。1661年他入莱比锡大学学习法律 ，又曾到耶拿大学学习几何，1666年取得法学博士学位。1672年他出差到巴黎，受到C. 惠更斯的启发 ，决心钻研数学。在这之后，他迈入数学领域，开始创造性的工作。这种努力导致了许多数学的发现，最突出的是微积分学说。牛顿创立微积分主要是从运动学的观点出发，而莱布尼兹则从几何学的角度去考虑。
从1684年起，莱布尼兹发表了很多微积分论文。这一年，他的第一篇微分学文章《一种求极大值极小值和切线的新方法》发表，这是世界上最早公开发表的关于微分学的文献。在这篇论文中，他简明地解释了他的微分学。文中给出微分的定义和基本的微分法则。
1686年他在《学艺》杂志上发表第一篇积分学论文。莱布尼兹精细设计了一套令人满意的微积分符号。他在1675年引入了现代的积分符号∫，用拉丁字Summa（求和）的第一个字母S拉长了表示积分。但是“积分”的名称出现得比较迟，它是由J. 伯努利于1696年提出的。
莱布尼兹是数学史上最伟大的符号学者。他在创造微积分的过程中，花了很多时间去选择精巧的符号。他认识到，好的符号可以精确、深刻地表达概念、方法和逻辑关系。他曾说：“要发明就得挑选恰当的符号。要做到这一点，就要用含义简明的少量符号来表达或比较忠实地描绘事物的内在的本质 ，从而最大限度地减少人的思维劳动。” 现在微积分学的符号基本都是由他创造的。这些优越的符号为以后分析学的发展带来了极大的方便。
莱布尼兹发明了一些其他符号和数学名词，例如“函数”（function）和“坐标”（coordinate）等。莱布尼兹多才多艺，在历史上无人可以匹敌。