数学基础杂志

为什么古代中国应称为数学王国？

我国古代数学家，创造了光辉的业绩，在许多数学领域处于领先地位。因此我国应称为古代数学王国。仅举几例说明。

约公元前5世纪，我国数学家就研究了幻方。即从1到n2的自然数排列成纵横各有n个数的正方形，使每行、每列、有时还包括每条主对角线上的

方。如图，每行每列3个数的和都是15，而且两条主对角线上的3个数的和也都是15。西方人大约在14世纪才开始研究幻方构造。比我国晚约2000年。

公元1世纪，我国数学家就开始研究开平方法与开立方法。魏晋间杰出的数学家刘徽在公元263年又有所发展，而西方出现类似的方法晚于公元 390年。

我国对于一元同余方程组的研究约在公元400年时就开始了，到了秦九韶时代（公元1247年）已经有完整的解法，被世界称为“中国剩余定理。”

我国古代数学家祖冲之（429--500）在公元500年之前，已将圆周率计算到小数点后7位，得到3.1415926＜n＜3.1415927，又

结果的。

祖冲之之子祖暅提出“祖暅原理”之后的1200年，意大利数学家B.卡瓦列里才重新发现这个事实。

我们最早提出的代数方程的近似解法--秦九韶法，贾宪三角形或称杨辉三角形是世界上最早研究二项式展开式系数的三角形，比西方巴斯卡三角形早四五百年。
中国古代数学家，创造了光辉的业绩，被世人所公认，在许多数学领域处于领先地位，和当今中国许多数学家一样，永载史册，因此中国应称为古代数学 王国。仅举下列数学世界之最，便可见一斑。

我国数学家不晚于公元前5世纪，就研究了被称为幻方的问题，如图，每行每列三个数的和均为15。我国古代称为九宫或纵横图。西方人大约在14世纪才开始研究幻方构造。我国早于西方约2000年！

4 9 2

3 5 7

8 1 6

我国在公元1世纪就开始研究开平方法与开立方法，刘徽在公元263年又有所发展，西方出现类似的方法不早于公元390年。

我国早在公元1世纪的“九章算术”中的“方程术”，结合“正负术”的使 用，就是今天的对增广矩阵用矩阵的初等变线性方程组，或称高斯消元法，欧洲是 近300年的事！

中国对于一元同余方程组的研究约在公元400年时就开始了，到了秦九韶时 代（公元1247年）已经有完整的解法，被世界称为“中国剩余定理”。

我国古代数学家祖冲之（429梍500）在公元前500年前，已将圆周率计算到小数点后7位，得到3.1415926＜π＜3.1415927，又将355/113称为祖冲之圆周率的“密率”，亦称祖率，是世界上最早得到这个结果的。

我国最早提出的代数方程的近似解法枣秦九韶法，贾宪三角形或称杨辉三角形是世界上最早研究二项式展开式系数的三角形，早于西方帕斯卡三角形四五百年之多！

数学王国的巾帼英雄
陀螺是中小学生熟悉一种玩具。一只小小的陀螺在桌面上飞速地旋转着。单见它立定一点，一面绕倾斜于桌面的轴急速自转，另一面自转轴又宛如锥体母线般绕着过定点而垂直于桌面的轴线，缓慢而稳定地做公转运动。

陀螺旋转的时候为什么不会倒？在千万个玩陀螺的人中，能正确回答出这个问题的，大概不会太多。的确，陀螺的转动是十分有趣而神秘的。

陀螺在科学上有很高的研究价值。把旋转着的陀螺抛向空中。它能使自己的轴保持原来的方向。陀螺的这一特性，被用来制造定向陀螺仪，广泛用于航海、航空和宇宙飞行之中。

然而，关于陀螺运动的研究，或者用更有学术味道的话，叫刚体绕固定点运动的问题，却有一段神奇的历史。

公元1888年，法兰西科学院举行第三次有奖国际征文，悬赏三千法郎，向全世界征集关于刚体绕固定点运动问题的论文。在此之前的几十年内，鉴于该问题的重要性，法兰西科学院曾以同样的奖金进行过两次征文。不少杰出的数学家曾尝试过解答，但都没有能够得到成功。两次征文的奖金，依然原封不动地高搁着。为此，法兰西科学院决定第三次征集论文，这使许多素有盛望的数学家跃跃欲试。可是到了评判那天，评委们全都大为震惊。他们发现有一篇文章在无数平凡之中鹤立鸡群。这是一篇闪烁着智慧光芒的佳作，每一个步骤，每一个结论，都充溢着高人一筹的才华。鉴于它具有特别高的科学价值，评委们破例决定，把奖金从原来的三千法郎提到五千法郎。

评判结束了，打开密封的名字一看，原来获奖的是一位俄罗斯女性，她就是数学王国的巾帼英雄，一位蜚声数坛的女数学家索菲娅。

打开世界的科学史，科学家中的女性屈指可数，女数学家更是寥若晨星。而在二十世纪之前能够载入数学史册的，大约只有柯瓦列夫斯卡娅一个。而她的奋斗经历则是充满着传奇的色彩。

索菲娅生于将军之家，由于叔叔彼得的启蒙，她对数学产了浓厚的兴趣。但她的父亲，一位退休了的军人，带着对女性古老的偏见，反对女儿学习数学。在这种情况下，索菲娅只好躲在自己的房间里偷偷地看数学书。这种神秘的学习气氛，反而增加了索菲娅的好奇心和求知欲，她的进取心更强了，这时她才13岁。翻过一个年头，一本基利托夫的物理书引起了索菲娅的注意，因为基利托夫教授是她的邻居。在翻看教授的著作时，她发现书中利用到许多三角知识，然而三角对于这时的她，却是一个陌生的世界。于是她从画弦开始，自己推导出一系列三角公式，这无疑相当于一个数学分支史的再创造！这一超人的天赋，使基利托夫教授惊鄂了，他仿佛看到了一位新帕斯卡的出现。法国数学家帕斯卡在少年时代曾是世人公认的神童。在基利托夫教授的再三说服下，索菲娅的父亲终于同意她前往外地学习微积分和其他课程。就这样索菲娅得以刻苦学习了两年。正当她渴望能上大学深造的时候，父亲严令将她召回。这位当过将军的父亲怎么也不能理解女儿和数学是不可共容的两个词，况且女儿已经长大成人。

为了继续自己的学业，索菲娅使出了作为姑娘的最为有效的一招。她决定出嫁了，丈夫是一位年轻开明的生物学家。婚后，她与丈夫双双来到彼得堡。可是一到那里，美好的幻影立即破灭，因为当时的俄国大学不招收女生。

世界上的许多事情常常是事与愿违。结婚，既带给索菲娅欢悦，也带给她苦恼。没过多久，索菲娅?柯瓦列夫斯卡娅当了母亲。幼小的生命，繁重的家务，淡化了她对数学的酷爱。一天，小孩屋里没有糊墙的纸，她就用数学家奥斯特洛格拉德斯基的书撕下来裱糊。没想到这到这些散页中的各种符号，重新燃起了柯瓦列夫斯卡娅学习数学的热情。在丈夫的支持下，她一面买了许多数学书日夜攻读，另一面在彼得堡大学非正式跟班旁听。随着学业的进步，她对深造的愿望更加强烈了！

公元1870年，年仅20岁的柯瓦列夫斯卡娅毅然决定前往柏林，那里有一所她所倾慕的学府——柏林大学。但是她不知道，在那个时代，歧视妇女的思想并没有国界，柏林大学拒绝接纳这位外国女生。然而柯瓦列夫斯卡娅并不因此甘休，她找到了在柏林大学任教的著名数学家魏尔斯特拉斯，直接向他陈述自己的请求。这位年近花甲的教授迷惑了，他用怀疑的眼光看了看这个异邦的姑娘，然后向她提出了一个当时相当深奥的椭圆函数问题，这是教授前此一刻思考的。柯瓦列夫斯卡娅当场作了解答。精辟的结论，巧妙的构思，非凡的见解！魏尔斯特拉斯震撼了！教授破例答应收她为私人学生。在名师指点下，柯瓦列夫斯卡娅如虎添翼，迅速地成长着。

公元1873年，柯瓦列夫斯卡娅连续发表了三篇关于偏微分方程的论文。由于论文的创造性和价值，1874年7月，哥廷根大学破例在无须答辩的情况下，授予柯瓦列夫斯卡娅博士学位，那年她才24岁。

1875年，柯瓦列夫斯卡娅满怀热情返回故土，但等待她的确是无限的忧愁。沙皇俄国决定不允许一个女人走上讲台，研究机构也没有女人的位置。就这样，这位俄罗斯的天才儿女，令人惋惜地中断了三年研究。而后又因小女儿的出生再次耽搁了两年。1880年彼得堡召开科学大会，著名数学家车比雪夫请她为大会提供一篇文章。她从箱底翻出一篇六年前没有发表的，关于阿贝尔积分的论文，献给大会。然而这篇放置了六年之久的文章，依旧引起了大会的轰动。

1888年12月，法兰系科学院授予柯瓦列夫斯卡娅波士顿奖，表彰她对于刚体运动的杰出研究。1889年，瑞典科学院也向柯瓦列夫斯卡娅授予了奖。同年11月慑服于这位女数学家的巨大功绩，和以车比雪夫为首的一批数学家的坚决请求，俄国科学院终于放弃了“女人不能当院士”的旧规。年已古稀的车比雪夫激动地给柯瓦列夫斯卡娅大去了如下电报：

“在没有先例地修改了院章之后，我国科学院刚刚选举你做通讯院士。我非常高兴看到，我的最急切和正义的要求之一实现了。”

1891年初，柯瓦列夫斯卡娅在从法国返回斯得哥尔摩途中病倒。由于医生的误诊，无情的病魔夺去了她光彩的生命。此时她年仅42岁

数学王国的神性(3)

4． “Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik”（数理逻辑和数学基础杂志，德文版）；

5． “Mathematical Review”（数学评论）；

6． “J． Symb． Logic”（形式逻辑杂志）；

7． “Jahresbericht der Deutschen Mathematiker�Vereinigung”（德国数学家协会年度报告，德文版）；

8． “Enzyklop�die der Mathematischen Wissenschaften”（数学科学百科全书）；

9． “Amer． J． Math．”（美国数学杂志）；

10． “J． London Math． Soc”（伦敦数学协会杂志）。

其中不少期刊是全套的合订本，创刊号常常是19世纪的出版物，这更激起了我肃然起敬。由此可见北大图书馆馆藏的丰富。因为它集中了几所大学的馆藏（主要是老北大和燕京大学的家底），令我感动，惊讶。

翻开这些杂志，我的内心充满了一种敬畏感，有如一本圣书展现在我面前。是的，这是我的《圣经》。每个人心目中的《圣经》是不尽相同的。透过这些杂志（尽管90％的文章我看不懂），我或多或少能感受到“上帝·自然”的存在。因为数学是上帝的语言。

从这些杂志，我主要阅读两类文章：大数学家的生平和工作；数学哲学。下面我就来分别谈谈我在这两方面的感悟和收获（读书笔记有两本）：

1． 大数学家生平和工作

这些文章给了我许多知识，更为重要的是自然哲学智慧。我渐渐明白：智慧高于知识。知识往往会过时，智慧的寿命则是千年，它与人类同在。

柏拉图特别看重几何学。他说：“不要让不懂几何学的人入内！”

这句箴言写在他主办的雅典哲学学园的入口处。我第一次读到这句格言，不是在别处，而是在北大数学系图书馆。我特别欣赏他的英译文：

“Let no man ignorant of Geometry enter here！”

从此我知道了数学对哲学的重要性。当然还有物理学（实验物理加上理论物理）。

18世纪法国伟大数学家拉格朗日（J．L．Lagrange， 1763—1813）的创作准则给了我难忘印象。他说：当一位数学家走出他的书斋，把他得出的结果告诉他在街道上遇见的第一个人，并且让他明白这个结果，那末，这位数学家才算是完完全全弄懂了他自己的工作。”

当然这只是一种理想。其实拉格朗日所追求的是数学真理的简洁性、清晰性和明确性。这使我联想起白居易的创作风格：通俗平易，朴素浅显，反对艰深晦涩。这样白居易的诗歌便赢得了最广泛的读者，以致于当时“禁省、观寺、邮候、墙壁之上无不书，王公、妾妇、牛童、马走之口无不道……自篇章以来，未有如是流传之广者。”

也许由拉格朗日发现的“中值定理”便是一例。因为不久我便读到它的几何意义：明晰，清楚，简洁。

当我读懂了这条定理（它在整个微分学中占有重要地位）的时候，内心有种难以言表的激动或激情。我知道，这是对真理的追求怀有一种激情（a Passion for Truth）。在当年那种非理性、混乱和不正常的政治现实生活中，数学真理之光于我无疑是种高贵的鼓舞和安慰。在这里我要说明四点：

a． 北大有些阅览室的自然科学图书都是开架的。不管你是哪个系的学生，只要你乐意，便可随手把任何一本书取下来阅读。这是当年北大最有利于我成长和发展的环境。

为了吃透中值定理，我至少参照、比较了五本微积分教程。因为每本教程解释的角度、语言略有不同。我是“兼听则明”，“兼采众长”，“兼收并蓄”，最后达到融会贯通。——后来它便成了我自学数学的方法。

b． 反右后北大的恶劣环境迫使我进一步退隐到自己的内心深处。这种心理也有利于我进入中值定理。因为我把数学王国看成是一种避难所，是一种拯救。

数学真理的惟一性、确定性和可靠性在我的内心深处可以构筑成一座坚不可摧的碉堡。

白居易的话是对的：“道屈才方振，身闲业始专。”

此处“道屈”即指艰难时世，命运坎坷。所以黑格尔才说：“哲学开始于一个现实世界的没落”；精神逃避到思想的空旷和深邃领域，建立起一个思想或观念的王国，以反抗混浊的世界。

没有比数学更空旷、更幽深的领域了！

c． 那些年，我是随心所欲地阅读。精神非常自由。

我像个钟摆，在理科和文科这两头来回摆动：在理科呆得太久，怕冻僵；在文科停留的时间太长，又有被烧焦的危险。所以我总是在两头不断地来回波动，求得精神上的平衡，和谐，文科理科的统一。

d． 后来我读英国杰出数学家和哲学家怀特海（A．N． Whitehead， 1861—1947）的《科学与近代世界》（Science and the Modern World）一书便恍然大悟。因为他是这样推崇数学和音乐的：这两样东西是人类性灵所能创造出来的最伟大的产物。
数学王国的优秀群体
==感谢作者惠寄==

赵光斗

摘要本文简要介绍了,华罗庚教授领导的以“哥得巴赫猜想讨论班”为核心的几位数学家,目的在于宣扬为世界解析数论做出贡献的,数学王国的优秀群体。

一、开头 语

本文献给为我国解析数论做出贡献的优秀的数学家——数学王国的优秀群体。

无论将来“哥德巴赫猜想”用什么方法被证明,代数的还是解析的,初等或高等、简单也可能更加高深复杂,但为我国解析数论做出杰出贡献的一批优秀的数学家,所组成的我国数学史上的特殊学派,他们的功绩不可磨灭,勇于攀登的精神、学识、钻研和谦虚、谨慎、尊重师长的美德、永远值得我们学习。

此处仅用拙劣的笔写一个开头,以解决“哥德巴赫猜想”的过程为例,介绍为我国解析数论做出贡献的优秀的数学家。希望才华横溢的文学家和新闻工作者,象徐迟同志那样报导这优秀的群体,群体中的每一员,表彰他们为国际解析数论所做出的杰出贡献……激励后来者……。

二、群体的优秀代表

1996年3月19日,陈景润教授逝世,解析数论王国的一颗璀璨的明星陨落了。

陈景润教授在特殊的历史时期,被幸运的发现。随着徐迟同志的报告文学《哥德巴赫猜想》的发表,陈景润的事迹家喻户晓。他的献身精神及他在解论数论中所做的贡献永远值得学习和赞誉。陈景润教授于1966年发表的“大偶数表为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和”的证明，仍然是该领域最好结果。

陈景润教授的逝世，在新闻媒体中引起了很大反响，他的事迹再次成为新闻媒体观注的热点。

1997年12月24日，陈景润教授逝世仅一年零九个月后，解析数论王国的又一颗巨星，潘承洞教授也与世长辞了。

潘承洞教授在我国解析数论中，同样做出过杰出贡献。早在1962年对于哥德巴赫猜想，就首先证明了命题(1+5)成立。(命题(1+5)是数学家对逼近“哥德巴赫猜想”的一种表示方法)并于同年与王元教授证明了(1+4)成立。(1+5）是潘承洞首次对1948年匈牙利数学家兰恩易所得命题(1+c)中，c的定性结果到定量结果。从定性到定量经过了十几年的时间，可以说是一个飞跃。

这些结果在当时都处于世界领先地位。“陈氏定理”发表以后的短短几年中,国际上又连续发表了五个简化证明，其中包括我国学者潘承洞、丁夏畦、王元都给出过实质性的简化证明。

潘承洞和陈景润同属于解析数论中的巨星，潘承洞的逝世却没有引起新闻媒体的应有注意。

我国对解析数论的研究，从50年代开始就一直处于世界领先地位，在这一领域为我国和世界做出贡献的，是我国一批优秀的数学家，是一个值得赞誉的优秀群体。当提到陈景润的成绩时，不应忽略这个群体——“解析数论王国的优秀群体”，不应忽略群体中每位数学家所做出的杰出贡献。

陈景润、潘承洞都是这群体中的一员，是这群体中的优秀代表。

三、特殊的学派

在国际数学界，本世纪三十年代中期的波兰，由教授和青年学者组成的利沃夫学派，在1935年到1941年期间，以“苏格兰咖啡馆”作为学术讨论的集聚地，在历次聚会中提出的193个数学问题，被称为苏格兰咖啡馆数学。几乎是在同一时期的法国，以19世纪名将布尔巴基命名，组成了新的数学学派——布尔巴基学派。由于学派内激烈的讨论和争论，被人称为一群疯子。然而，他们集体的努力，一丝不苟的精神，使布尔巴基学派以严谨、细密、清晰的特点称著于世。

五十年代初，在中华大地上也聚集了一批中青年数学人材，办起了“哥德巴赫猜想讨论班”下面仅以王元教授所著《哥德巴赫猜想研究》一书〈序〉中论述，对“哥德巴赫猜想讨论班”做一简单介绍：

1952年中国科学院数学研究所成立了数论研究组，由华罗康亲自担任组长，组织并领导了“哥德巴赫猜想讨论班”。他选择哥德巴赫猜想作为学习与研究对象的指导思想，考虑到哥德巴赫猜想与解析数论最重要的理论与方法都有密切关系，特别是园法、三角和估计、密率论筛法、L——函数与素数分布等，通过讨论班的学习，可以使参加者相当全面地掌握解析数论的诸重要方面，达到即出成果又出人材的良好效果。

后来实践证明，“哥德巴赫猜想讨论班”是非常成功的，以“哥德巴赫猜想讨论班”为核心，组成了中国数学的一个特殊学派，一个数学王国的优秀群体。高深的理论知识，团结互助的精神，谦虚、谨慎的美德，承上启下的民族传统，构成了这一群体的主要特征。

四、优秀群体的指导者

领导这群体的是华罗庚和闵嗣鹤教授，下面我们对两位学者做一简单介绍：

华罗庚生于1910年11月12日，1985年6月12日于北京逝世。这位名扬中外的大数学家，研究范围十分广泛，是中国解析数论、典型群矩阵、几何学、自守函数论、多复变函数论等多方面研究的创始人与开拓者，一生写了200多篇学术论文，10部专著。

早在1938年就证明了“几乎所有偶数都是两个素数之和”。1952年中国科学院数学研究所成立了数论研究组，由华罗庚亲自担任组长，组织并领导了“哥德巴赫猜想讨论班”，为这一群体的正常良好的发展殿定了基础。

闵嗣鹤教授，1913年3月8日生于北京，1973年10月10日于北京逝世。

闵嗣鹤教授对数学的许多分支都有研究，工作涉及数论，几何、调和分析、微分方程、复变函数论，多重积分的近似计算及广义解析函数等多方面，但他的主要贡献是在解析数论。在解析数论及黎曼猜想的证明中，发表了许多具有独到见解的文章和论述。

就是在有二位学识渊博，研究广泛的导师带领下，展现了新中国解析数论领域的雄厚实力。在该领域的研究中屡居世界领先地位。两位教授的功绩不单单在于他们的学识和研究领域的广泛，更可贵的是培养了大批解析数论的人材——为国际解析数论做出贡献的，一批顶尖的数学家，这正是华罗庚、闵嗣鹤这两位教授的优异之处。

五、群体中的杰出代表

当我们提到这优秀群体的时候，不能不对这一群体的杰出代表王元教授做一简单介绍。

王元教授是“哥德巴赫猜想讨论班”的一员，如果没有猜错的话，他应该是这一集体的班长，当年也不过是三十岁左右的青年，年龄刚好比讨论班中如陈景润和潘承洞年龄大，而比华罗庚和闵嗣鹤的年龄小，起到了承上启下的作用。现在算起来王元教授已经是七十几岁的老人了。

早在1956年对于“哥德巴赫猜想”，王元教授就证明了命题(3+4)，仅仅过了一年，1957年就证明了命题(2+3)，(2+3)是从命题(a+b)开始证明哥德巴赫猜想的最好结果，处于世界领先地位。

1962年王元教授指出了证明(1+4)的关键，并于同年与潘承洞教授证明了命题(1+4)，王元教授不但审阅和帮助了1973年“陈氏定理”的发表，“陈氏定理”发表后,是世界上给出过的几个简化证明的作者之一。

宽阔的胸怀、渊博的知识，对新知识和新方法的敏锐、谦虚、谨慎的优秀品质等，是王元教授赋予这一群体、使这一群体充满活力的主要原因。

以哥德巴赫猜想讨论班为核心，集聚了我国解析数论的优秀人才，“越民义、丁夏畦、吴方、尹文霖、邵品棕、任建华、潘承彪、谢盛刚、楼世拓、姚琦、于秀沅、陆洪文、陆鸣皋、冯克勤、于坤瑞等，都对我国解析数论做出过贡献。都是这优秀群体的一员。

本文写到此处，本来只是一个开头，对于这一学派的许多特征还都没有论述但又不得不就此撂笔，希望才华横溢的文学家和新闻工作者，象徐迟同志那样报导这优秀的群体，群体中的每一员，表彰他们为我国和国际解析数论所做出的杰出贡献......。

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