关系的闭包论文

关系的闭包论文

关系的闭包 　　设R是非空集合A上的二元关系，在关系R中，添加最少的有序对，新关系用R¢表示，使得R¢具有关系的自反(对称、传递)性质，R¢就是R的自反(对称、传递)闭包，记作r(R) ，s(R)和t(R)。： 　　Kenneth 第6版离散数学的定义：设R是非空集合A上的关系，在关系R中，可能有或无性质P，如自反(r)，对称(s)，传递(t)，若存在包含R，满足性质P的关系S，使得S是所有包含R，满足P的关系的子集，那么称S是R关于P的闭包（有时这样的闭包不存在）

离散数学当中的"闭包"有什么实际应用，能否举例？

一个关系不具有自反, 对称, 传递这3种基本性质之一,但均可以通过对该关系的扩充(在关系中增添序偶),使扩充后的关系具有这种性质,这种包含该关系的最小扩充称为该关系关于这种性质的闭包.下面给出闭包的定义.
设R是X上的关系,R的自反(对称,传递)闭包R1是这样的包含R(或R包含于R1)的自反(对称,传递)关系,对任意的自反(对称,传递) 关系S,如果R包含于S,则必有R1包含于S.
关系闭包在数学中，在日常生活中均有广泛的应用，比如在数学中，小于(<)或大于(>)关系均没有自反性，但它们的的自反闭包是小于等于(≤)或大于等于((≥)，却有自反性，在数学中经常要用到小于关系表示量之间的关系，但是有时感到用小于关系不方便，而用小于等于关系，实际上是将量之间的关系进行扩大，不自觉地用了小于的自反闭包，日常生活中我们按同龄或同班或同乡关系将人分组，一般来说同龄，同班，同乡关系指两个不同的人之间的一种关系，这种关系就不具有自反性，如果我们约定了自已与自已同龄，同班，同乡，此时它们就有了自反性，如果仅有一个人和其他人年龄均不同，此时他自已就可构成一组。
小于关系是不对称，它的逆关系大于关系也是不对称，但将两者关系并起来(将关系看成集合)，得不等关系却是的对称的，不等关系是小于或大于关系的对称闭包，夫对妻的关系是不对称的，妻对夫的关系也是不对称的，但对称闭包婚姻关系却是对称的(考虑到男女平等，即对称性)。大于1的关系是不传递的，大于2的关系也是不传递的，…将大于1，大于2，大于3,…全部并起来得到大于关系却是传递的，大于关系是大于1的关系的传递闭包，父子关系是不传递的，但它的传递闭包是长辈对后辈关系却是传递的。
总而言之，我们经常不自觉的用到了关系闭包的概念，在数学中随着人们的对关系的深入认识，自觉地使用闭包的概念，比如在数学中严格偏序关系的自反闭包是偏序关系，偏序集利用所谓盖住关系的关系图(哈斯图)，来描述该偏序集十分简单明了，盖住关系的自反传递闭包就是偏序集上的偏序关系。