离散命题逻辑论文

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浅谈怎样学习离散数学中的命题逻辑
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首先要学好基本概念，每一章都有一些概念需要弄清楚、理解确切并且记住。第二要牢记基本公式，所有公式都应该记住，通过逐步推导和反复运用将公式记住。第三要重复学习思考，通过重复学习真正掌握有关基本内容。第四要独立完成作业，独立完成作业是学习的重要手段，必须通过做作业来加深对基本概念的理解，熟悉公式的运用，掌握基本解题方法，从而达到掌握基础知识、提高数学能力的目的。

离散数学之命题逻辑

一.五个联结词

否定

合取

析取

蕴含

等价

1.文氏图分析

2.对于蕴含关系，只需要记住，只有前件为真后件为假，命题方为假

二.命题公式与真值表

1.真值表列表方法，左元素，右命题公式

2.基本等价关系*

    这些等价关系将帮助我们在后面的内容中，用于简化公式为主合取（析取）公式

    故最重要的内容是

德摩根律

蕴含式

等价式

常用的方法还有

双重否定

等价否定

假言异位

用于处理否定情况。

3.几个重要的定理

3.1永真充要等价

3.2带入定理

3.3替换定理

三个定理主要用于等价代换。

四.完备集

将公式中联结词种类数压缩到最小。

典型：布尔代数系统。

五.标准型范式

析取式并

合取式交

析取合取范式中只含有析取式或合取式

极小项：命题变元由合取联结

极大项：命题变元由析取联结

每个命题变元，只存在其本身或其否的情况中的一种，故每个命题均有2ⁿ个极大项与极小项。

又因为极小项析取联结，故由相同命题变元组成的极小项集合中，任何两个极小项都不等价。（要清楚等价的概念，就是两个极小项至少有一个变元互相取否，所以一定在某个取值下，真值不同）

同样，我们可以知道，

所有极小项的析取为永真公式（必有一极小项为真）

所有极大项的合取为永假公式（必有一极大项为假如全否的极大项为真，全真的极大项必为假）

主合取范式：外析取内合取

主析取范式：外合取内析取

求法：

1.外部有蕴含联结词，蕴含式转为析取

2.用德摩根律将内部的合取析取按需求转化

3.真值表技术

其中，分解式每个变元取肠取否与变元真假有关。列出真值表

列出子公式分解表，由于主取公式永真或者永假。

极小项分解表，取仅有一组解释为真的情况，做析取。

极大项分解表，取仅有一组解释为假的情况，做合取。

以上其实就是映射。表3.5.4

六.公式转换永真永假

离散数学(命题逻辑)

数理逻辑研究的中心问题是推理，而推理的前提和结论都是命题。因而命题是推理的基本单位 具有确切真值的陈述句称为命题(proposition)。 该命题可以取一个“值”，称为真值。真值只有“真”和“假”两种，分别用“T”(或“1”) 和“F”(或“0”)表示

一切没有判断内容的句子 ，如命令句 (或祈使句)、感叹句、疑问句、二义性的陈述句等都不能作为命题。

原子命题 (简单命题) ：不能再分解为更为简单命题的命题。 复合命题 ：可以分解为更为简单命题的命题。这些简单命题之间是通过如“或者”、“并且”、“不”、“如果......则......”、“当且仅当”等这样的关联词和标点符号复合而成。

设 P 是任意一个命题，复合命题“非 P”(或 “P 的否定”)称为 P 的否定式(negation)，记作¬P，“¬” 为否定联结词。P 为真当且仅当 ¬P 为假。

设 P、Q 是任意两个命题，复合命题“P 并且 Q”(或 “P 和 Q”)称为 P 与 Q 的合取式(conjunction)，记作P ∧ Q，“∧” 为合取联结词。P ∧ Q 为真当且仅当 P，Q 同为真。

“∧” 是自然语言中的 “并且”、“既…又…”、“但”、“和”、“与”、“不仅…而且…”、“虽然…但是…”、“一面…, 一面…” 等的逻辑抽象；但不是所有的“和”，“与”都要使用合取联结词表示，要根据句子的语义进行分析。

设 P、Q 是任意两个命题，复合命题“P 或 Q”称为 P 与 Q 的析取式(disjunction)，记作P ∨ Q，“∨” 为析取联结词。P ∨ Q 为真当且仅当 P，Q 至少有一个为真。

联结词 “∨” 是自然语言中的 “或”、“或者” 等的逻辑抽象。自然语言中的 “或” 有 “可兼 或”(或称为同或)、“不可兼或”(即异或) 两种。严格来讲，析取联结词实际上代表的是可兼或，异或有时会使用单独的异或联结词 “⊕” 或 “∨¯” 来表示。

设 P、Q 是任两个命题，复合命题“如果 P，则 Q”称为 P 与 Q 的蕴涵式(implication)，记作P → Q，“→” 为蕴涵联结词。P → Q 为假当且仅当 P 为真且 Q 为假。一般把蕴涵式 P → Q中的 P 称为该蕴涵式的前件，Q 称为蕴涵式的后件。

设 P、Q 是任两个命题，复合命题“P 当且仅当 Q”称为 P 与 Q 的等价(equivalence)，记作P ↔ Q，“↔” 为等价联结词(也称作双条件联结词)。P ↔ Q 为真当且仅当 P、Q 同为真假。

联结词是两个命题真值之间的联结，而不是命题内容之间的连接，因此复合命题的真值只取决于构成他们的各简单命题的真值，而与它们的内容无关，与二者之间是否有关系无关。

一个特定的命题是一个常值命题，它不是具有值 “T”(“1”)，就是具有值 “F”(“0”)。

一个任意的没有赋予具体内容的原子命题是一个变量命题，常称它为命题变量 (或命题变元)(propositional variable)，该命题变量无具体的真值，它的变域是集合{T, F}(或 {0, 1})。

由公式 G 在其所有可能的解释下所取真值构成的表，称为 G 的真值表(truth table)。

必要性：假定 G = H，则 G，H 在其任意解释 I 下或同为真或同为假，于是由 “↔” 的意义知，公式 G ↔ H 在其任何的解释 I 下，其真值为“真”，即 G ↔ H 为永真公式。

充分性：假定公式 G ↔ H 是永真公式，I 是它的任意解释，在 I 下，G ↔ H 为真，因此，G，H 或同为真，或同为假，由于 I 的任意性，故有 G = H。