最速降线问题数学模型论文

最速降线问题数学模型论文

这属于最速降线问题，本质比较复杂，但在高中阶段认为不会出现你画的那种情况，实际上是存在的，是很复杂的曲线形式，也存在一定的曲线使P先落地，不过过程很复杂，中学阶段可以不考虑。
你可以看下面的资料，最速降线问题：

在许多科技馆的展厅里，摆着一个有点像滑梯的展品：两个并排的滑板，它们的起点高度一样，终点高度也一样，但一个是倾斜的直线，另一个是向下弯曲的弧线。当两个球同时从起点滑下时，一般人总认为倾斜直线滑板上的球会先达到终点。可是结果却出人意料，弧线滑板上滚动的球却先到了终点。这似乎与一般人的直觉有很大矛盾。两点间直线的距离最近，弯曲的路线一定比直线更长一些。从我们的主观想象来看，通过距离短的总应该比距离长的先到。然而事实却与我们的想象相反。

那么是不是所有弯曲轨道上滚动的球都能比斜直轨道滚动的球先到呢？那也不是，轨道的弯曲程度要恰到好处。这是数学物理中一个古老而著名的问题——最速降线问题。它是瑞士数学家约翰·伯努利在1696年6月号的《教师学报》上向当时的科学家们提出来的。这个问题是求从给定点到不是在它垂直下方的另一点的一条曲线，使得一个质点沿这曲线从给定点下滚所用时间最短，当然摩擦和空气阻力都忽略。用现代的方式来表达，这个问题就是要使表示下降时间的积分取极小值。

当时许多著名的科学家，如牛顿、莱布尼兹、约翰·伯努利和他的哥哥詹姆斯·伯努利等，都展开了紧张的研究工作。

伽利略在1630年和1638年曾系统地研究过这个问题，他给出的答案是圆弧。但这是一个错误的结果。

牛顿、莱布尼兹和伯努利兄弟都得到了正确的解答。所有这些解法均发表在1697年5月号的《教师学报》上。结论是：沿旋轮线下落的物体最省时。

这些解法中约翰·伯努利本人的答案最有趣。他利用力学与光学在某些场合下的相似之处，进行了巧妙的构思，他首先抓住了物体由高处向低处落下时速度不断加快这个事实，把它与光线从一个媒质进入另一个媒质速度也发生变化相类比。伯努利认为：既然光由一种媒质传到另一种媒质，其速度的变化是两种质的折射率不同造成的，那么对质点下降来说，其速度的改变就是由于空间的不均匀性造成的。他设想，质点最速下降的路径是和光线在具有适当选择过的变折射率的介质中所取的路径相同。在不同介质交界面处光线是按折射定律行进的。把介质分成有限个数的层，从一层到另一层折射率有明显的变化，然后让层数趋于无穷。这样伯努利就把力学中的最速降线问题化为光在不同媒质中传播问题，沿着这一思路，他应用数学工具，一举解决了这个难题。

质点沿旋轮线下落最省时，因此它也被称为最速降线。车轮在平地上滚动，轮沿上不动点在空间描画的轨迹叫做旋轮线，恰巧物体沿倒过来斜放着的此线降落最省时。旋轮线还有一个名称叫做摆线，由于惠更斯等人对钟摆的研究，摆线（旋轮线）在这以前已经是众所周知的了。当伯努利兄弟发现摆线就是最速降线问题的解时，感到万分惊奇。

求最速降线的问题其意义大大超过了问题的本身，因为很多物理过程，均可用求某些物理量的极值来解决。伯努利兄弟和其他科学家们从最速降线这个问题出发，创立了数学的一个分支——变分法。

这个问题我们仔细想一想，也许会有一些领悟。这个问题是讨论哪条下落的路线花的时间最少，这不仅与路线的长短有关，而且跟下滑的速度有关。沿斜线下滑，做匀加速运动，速度从零开始，缓慢而均匀地增大；沿摆线下滑，速度也是从零开始，但是开始滑行就是一段陡坡，速度迅速增大，滑行速度显然比在斜线上快，虽然在摆线是滑行多走一些路程，但究竟在哪条线上用得时间短些，就很难说了。

既然最速降线就是摆线，那么我们先了解一下摆线的性质。当直径为r的动圆C沿着定直线L滚动时，动圆圆周上一点M所画出的曲线叫摆线。摆线在它与直线L的两个相邻交点O、q之间的部分叫一个拱。摆线最高点到定直线的距离2r叫拱高。直线Oq的长度为2πr。摆线一拱的弧长是拱高的4倍为8r（见图1）经过推导得到摆线的方程为：

x=r（θ－sinθ）
y=r（1－cosθ）
这个方程在我们研究最速降线时是很有用处的。

图1

通过计算我们可以得到确定的答案。

首先我们假设沿斜线和摆线下滑的两个球质量的一样的，两条轨道是绝对光滑的，小球开始下滑时初速度为零，小球下滑到终点时，离地面的高度下降了y，那么它的重力势能就减少了mgy（见图2）。本证明是在选择滑行轨道是半拱摆线弧及其对应斜线的情况下进行的。

从图2中我们可以看到

图2

m——小球的质量
g——重力加速度

设小球的速度为v，小球的动能为（1/2）mv2

根据能量守恒定律动能的由减少的势能转化而来的，因此得到：
（1/2）mv2=mgy

∴v=√（2gy）
速度v等于路程s对时间t的导数ds/dt，代入上式
ds/dt=√（2gy）

∴dt=ds/√（2gy）
设滑行曲线的参数方程是x=φ（θ），
y=□（θ），用撇号表示对参数θ的导数，利用微分三角形得到

ds=（√x′2＋y′2）dθ

∴dt=[（√x′2＋y′2）/√（2gy）]dθ

对dt积分，就得到从θ=θ1的点下滑到θ=θ2的点所需的时间是

T=∫[（√x′2＋y′2）/√（2gy）]dθ
用直角坐标表示则是

dt=[√1＋y′2/√（2gy）]dx

T=∫[√1十y′2/√（2gy）]dx

这个公式对在O（0、0）、A（πr、2r）之间的线同样适用。我们先考虑斜线。O（0、0）和A（πr、2r）间线段0A的方程为：

Y=（2/π）x（0≤x≤πr）
在斜线上滑完全程的时间是

T1=∫[√1＋y′2/√（2gy）]dx=∫[√1＋（2/π）2]/√（4g/π）dx

=π/g（1＋4/π2）∫dx/2√x=π/g（1＋4/π2）√x|

=√r（π2＋4）/g
在最速降线上滑行，它滑过的是半拱摆线弧，将摆线的参数方程

x=r（θ－sinθ）
y=r（1－cosθ）（0≤θ≤π）
代入，在最速降线上滑完全程的时间是

T2=∫（√1＋y′2/√2gy）dθ=∫[√2r2（1－cosθ）/√2gr（1－cosθ）]dθ

=√r/g∫dθ=√r/gθ|
=（√r/g）π

由于√r（π2＋4）/g>（√rπ2/g）=（√r/g）π

所以T1>T2在斜线上滑完全程的时间比在最速降线上滑完全程的时间长。本证明是选择滑行轨道是半拱摆线弧和它对应的斜线的条件下进行的。

从图2中我们可以看到，在三角形OBA中，
OB=rπ，
BA=2r，

根据勾股定理
OA2=OB2＋BA2，

OA2=（rπ）2＋（2r）2

OA=√（rπ）2＋（2r）2=r√π2＋4，令π=3.14

OA=3.7r
弧OMA=4r
OMA－OA=0.3r，

摆线弧和它对应的斜线长度之差为0.3r。

设r=0.5米，OA=1.85米，OMA=2米，OMA和OA相差15厘米。这是一个不小的距离。如果把r=0.5米，g=9.8米/秒2代入T1和T2中，即可得到：

T1=√r（π2＋4）/g=0.84秒

T2=（√r/g）π=0.71秒

由此可以看出，在斜线上滑完全程的时间比在最速降线上滑完全程的时间多用了0.13秒，我们在设计最速降线展品时要选择适当的r，使展品不至于太大，又有明显的效果。

在我国古代建筑中有一种“大屋顶”的房子。北京故宫的房子就是这个样子。从侧面看，屋顶不是三角形，而是两条曲线，屋檐上翘，显得格外雄壮。大屋顶上的曲线就是最速降线。把屋顶修成最速降线，可以让降落在屋顶上的雨水以最快的速度流走，这对保护建筑物很有好处。

科技馆用实物再现了科学史上这一重大的发现。从中我们可以知道：很多数学、物理的定理、定律都是彼此相互关联着的，认识事物要透过表面现象，去发现事物之间的内在联系。这才能举一反三，真正认识到事物的本质。

最速降线等问题推动了什么的诞生

今天来说说最速降线问题，在数学史上这个问题和悬链线问题一样著名，问题的解决还催生了数学方法“变分法”的诞生。

先说说问题的历史和发展：

1696 年 6 月约翰·伯努利以最速降线问题向欧洲数学界发起挑战，他说：“我，约翰·伯努利，向世界上最杰出的数学家喊话。对聪明人来说，没有什么比正确的、具有挑战性的问题更有吸引力的了，它的解决方案将赋予解答者名誉并作为永恒的纪念碑而存在。以帕斯卡、费马等人为榜样，我希望通过向我们这个时代最优秀的数学家提出一个考验他们方法和智力的问题，使他赢得整个科学界的崇敬。如果有人向我传达了所提出问题的解决方案，我将公开宣布他值得表扬”。
约翰·伯努利将问题陈述为：若A和B是铅直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连接A和B的平面曲线中，求出一条曲线，使仅受重力作用且初速度为零的质点从A点到B点沿这条曲线运动时所需时间最短。

其实早在1638 年，伽利略在他的《两门新科学》中就提到了这个问题，只不过伽利略认为最短路径是圆弧，当然这答案是错误的。

约翰·伯努利宣称自己已得到问题的解答并将挑战时限定为六个月，但在此期间他没有收到任何回复。应莱布尼茨的要求，挑战时间公开延长了一年半。1697 年 1 月 29 日，当艾萨克·牛顿回到家时，发现约翰·伯努利写给他的一封信，信中以最速降线问题向他发起挑战。牛顿仅用一个晚上就解决了这个问题，并匿名发表在哲学汇刊上。伯努利读到牛顿的答案后，立刻认出了它的作者，并惊呼“从爪印认出了狮子”。当时牛顿已经54岁，沉迷于神学，很久没关注数学了。其实牛顿的解答很简洁,基本上就算只写了答案,没过多的论述原理,凭牛顿的实力应该是不屑于写(意思是我仅凭几何想象就能吊打你，据说牛顿之所以要一个晚上才解出来，是因为太久没接触数学，需要点时间热身）。

然而约翰·伯努利自己却花了整整两周时间才解出这个问题，真是装逼遇到祖师爷……

牛顿后来对他的朋友说，“我不喜欢一些人在数学上挑战我……”
除了牛顿，莱布尼兹、洛比达以及雅各布·伯努利等也解决了这个问题。

看上面动图可知，有一条路径是用时最短的，那这条曲线到底是什么呢？答案是摆线，即圆周上固定一点在圆滚动时的轨迹。

那我们还是再介绍一下摆线，新课标人教A版高中数学选修4-4参数方程中对摆线方程有描述。

当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时,圆周上一个定点的轨迹是什么?
我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个定点满足的几何条件。如图,假设B为圆心，圆周上的定点为M,开始时位于O处。圆在直线上滚动时，M在圆上绕圆心作圆周运动，转过 (弧度)角后，圆与直线相切于A,线段OA的长等于弧AM的长，即OA=rφ (这一瞬间可以看作M在以AM为半径，划过一微小圆弧，即M轨迹的一微小段)。这就是圆周上的定点M在圆B沿直线滚动过程中满足的几何条件。我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。

当时约翰·伯努利总共找到了两种解法(现在一般称为“直接法”和“间接法”)，根据莱布尼茨的建议，他最初只发表了“间接法”(即“费马原理”解释)，然而最后一步的解释却有误。直到1718年他才公开他的“直接法”(这也是唯一从曲率方向解释的方法)。

再回到正题，为什么最速降线的曲线是摆线呢？由于问题的正解要用到变分法，非常复杂，在这里我们只采取约翰·伯努利的“间接法”(毕竟高端的变分法是他哥哥搞出来的，而且研究出变分法就是为了踩他，以洗雪“悬链线问题”的耻辱，这哥俩真是冤家)。这需要用到一个光学原理——费马原理。1662年，费马提出了“费马原理”：光线传播的路径是需时最少的路径(具体为什么也不清楚，大概光子具有意识吧，这又甩锅给了量子力学)。

光在同一介质中的传播速度恒定,且在同一介质中沿直线传播。在不同介质中传播发生折射,为保证传播的路径需时最少，折射时满足菲涅尔折射定律:入射角的正弦值与该介质中光速的比值等于折射角的正弦值与该介质中光速的比值，即：
如图，质点从A到B沿最速曲线下落：
质点下落过程中重力势能转化为动能，速度不断增大。我们知道一束光在传播路径中从光密介质进入光疏介质，速度会增大。光从光密介质进入光疏介质时，入射角小于折射角。质点从上到下的滑落就像一束光从上到下经过层层介质(介质逐渐从密到疏)的传播，由于光的传播路径用时最短,当层数变多变薄之后，光的行进曲线就是我们想要的最速曲线。
质点下落过程中重力势能转变为动能：
所以
质点的速度与已下落的高度的平方根成正比
将下落曲线比作光线，光线穿过层数无限多的介质，在每时刻的入射光线即最终曲线在该时刻的切线：
由折射定律知：
这说明下落过程中sinθ/√h是定值,则最速曲线即是保持切线和竖直线夹角正弦与下落高度平方根比值为定值的曲线。不得不说约翰·伯努利有敏锐的数学直觉，当他推出这一点后，直接认定曲线是摆线（确实是靠直觉，因为他最初的解释是错误的，他试图将哥哥雅各布·伯努利的解当作他自己的解，然而后来他的学生欧拉却将他哥哥的方法发展而成了现在的“变分法”）。

那sinθ/√h为定值与摆线有什么关系呢?
如图,圆上的定点为M，圆与水平线的切点为A；圆滚动时，M在这一瞬间的瞬时旋转中心是点A(以A为圆心划过的一微小圆弧,是M摆线轨迹的一微小段,即图中紫色圆弧与摆线的交接处),所以AM垂直于摆线过点M的切线(该时刻摆线切线，就是紫色圆弧切线)；又因为直角圆周角对应直径，可知过点M的切线与圆的交点(图中点C，C点不一定在圆的最低点)与A点的连线即为圆的直径。
设圆的直径为d,直径与切线的夹角为θ ,M点到水平线的距离为h,由几何关系可以算出
所以
显然1/√d是定值。所以保持下落过程中sinθ/√h为定值的曲线是摆线，即最速曲线是摆线(具体来说是摆线的一段)。

以上便是对最速降线问题的解释，采取的是约翰·伯努利的解法。看到这，你明白了吗？

最速降线在桥中的应用

将两个相同小球分别放到轨道顶端，向上扳动手柄，观察小球的运动。
4.1.2基本科学原理

为什么路程更长的曲线轨道上的小球先到达底端呢？

因为曲线轨道是一条最速降线（旋轮线），最速降线是一条圆滚曲线，很好地结合了速度相对快和路途相对短的两个特点。在重力的作用下，小球在下降时的初始加速度大，较陡的轨道使小球尽快获得较快的速度，再利用较快速度走完平坦的曲线，因此比直线轨道上的小球先到达底端。一些建筑物的屋顶就应用了最速降线，使雨水能更快流走。

4.1.3科学知识延伸

意大利科学家伽利略在1630年提出一个分析学的基本问题：“一个质点在重力作用下，从一个给定点到不在它垂直下方的另一点，如果不计摩擦力，问沿着什么曲线滑下所需时间最短。”他说这曲线是圆，可是这是一个错误的答案。

瑞士数学家约翰•伯努利在1696年再提出这个最速降线的问题，征求解答。次年已有多位数学家得到正确答案，其中包括牛顿、莱布尼兹、洛必达和伯努利家族的成员。这问题的正确答案是连接两个点下凹的唯一一段旋轮线。

旋轮线也叫摆线，是数学中众多的迷人曲线之一。它的定义是一个圆沿一直线缓慢地滚动，则圆上一固定点所经过的轨迹称为摆线。

最速降线在工程中应用广泛。我国古代建筑，从侧面看，屋顶不是三角形，而是两条曲线，屋檐上翘，显得格外雄壮。大屋顶上的曲线就是最速降线。把屋顶修成最速降线，可以让降落在屋顶上的雨水以最快的速度流走，利于保护建筑物。

最速降线的数学推导是什么样的？

最速曲线方程推导过程是：

首先，要最快到达，就必须合理分配速度。球如果沿着斜面下降，那么其加速度较小（只有重力加速度在斜面方向的投影那么点大，这个数值太小了），速度没法很快提上去，耽误了时间。

如果球直接竖直落地，加速度是最大的，可以很快把速度提上来。但可惜，这种情况，球是永远到达不了下面这一点。

所以，最佳的情况，就是球尽量沿着竖直方向下降，且必须在运动过程中不断调整方向，以使球的运动轨迹能够到达下面那一点。

数学上推出（用变分法），如果球沿着“滚轮线”运动，就能够满足上述要求，这就是最速降线。

牛顿证明最速曲线的过程：

从给定点A出发，画一条平行于水平面的无界直线APCZ，在这条直线上描述任意摆线AQP，在Q点上与直线AB相交（并在必要时延伸），然后另一个摆线ADC的底和高[as AC: AP]应分别为前一个的底和高AB到AQ。

这条最近的摆线将穿过B点，成为一条曲线，在这条曲线上，一个重物在自身重量的作用下，最迅速地从A点到达B点。