第一章 和弦新论 传统和声学把所有的和弦都归为三度关系来解释，并且力求和声进行的完美和规范。但是现代流行音乐特别是爵士音乐的和声已经高度复杂化和自由化，三度叠置虽然仍是和弦构成的基本原则，但已不是重要的解释手段。这年头可以这样说：把几个音合在一起发音就构成和弦。和声的进行是否规范属于次要问题，平行五，八度的错误基本上不予考虑。唯一的准则是：听起来是否舒服，到位。爵士音乐中复杂的加音和弦几乎使你分不清和弦的功能性，布鲁斯和弦同名大小调搅和在一起，莫名其妙的模进进行很难用经典的和声理论来解释。我们现在就进入现代和弦的奇妙世界。 第二章 和弦标记 本教程采用字母和弦标记法来表示和弦。这是流行音乐中通用的标记法，把它和级数标记法结合使用会感到很方便，能使你很透彻地领悟到不同调的和弦的相互微妙的关系，好象你的脑子里就有一张和弦表。下面我们就来熟悉这个标记法。 1。大三和弦：根音与三音是大三度，三音与五音是小三度，用根音的大写英文字母音名来表示，如DO，MI，SOL和弦用C表示，FA，LA，DO和弦用F表示，降MI，SOL，降SI就用Eb表示，升FA，升LA，升DOL用F#表示。 2。小三和弦：根音与三音是小三度，三音与五音是大三度，用根音的大写英文字母音名加上小写m表示，如RE，FA，LA和弦用Dm表示，MI，SOL，SI和弦用Em表示，降MI，降SOL，降SI用Ebm表示。 3。增三和弦：根音与三音，三音与五音都是大三度，用根音的大写英文字母音名加上aug或加一个“+”。如DO，MI，升SOL和弦表示为Caug或C+，FA，LA，升DO和弦表示为Faug或F+。 4。减三和弦：根音与三音，三音与五音都是小三度，用根音的大写英文字母音名加上dim或一个“-”。如RE，FA，降LA，表示为Ddim或D-，升DO，MI，SOL表示为#Cdim或#C-。 5。大小七和弦：在大三和弦基础上再加小三度，用根音的大写英文字母音名加上“7”即可，如SOL，SI，RE，FA和弦用G7表示，LA，S升DOL，MI，SOL用A7表示。 6。大大七和弦：在大三和弦基础上再加大三度，用根音的大写英文字母音名加上Maj7表示，如DO，MI，SOL，SI和弦表示为Cmaj7,降SI，RE，FA，LA和弦表示为Bbmaj7. 7。小小七和弦：在小三和弦基础上再加小三度，用根音的大写英文字母音名加上“m7”表示。如LA，DO，MI，SOL和弦表示为Am7,RE，FA，LA，DO和弦表示为Dm7. 8。小大七和弦：在小三和弦基础上再加大三度，用根音的大写英文字母音名加上mM7表示，如DO，降MI，SOL，SI和弦表示为CmM7,LA，DO，MI，升SOL表示为AmM7. 9。减七和弦：在减三和弦的基础上再加小三度，用根音的大写英文字母音名加上dim7表示，如SI，RE，FA，降LA和弦表示为Bdim7,LA，DO，降MI，降SOL表示为Adim7. 10。半减七和弦：在减三和弦的基础上再加大三度，用根音的大写英文字母音名加上m7-5表示，如SI，RE，FA，LA和弦表示为Bm7-5,升FA，LA，DO，ME和弦表示为#Fm7-5. 11。加音和弦：它是指在一个以三度关系为基础的和弦上加上其它音，如加入六度音，九度音，四度音等，标记法为将这个加音的度数写于原和弦的右边，如DO，MI，SOL，LA和弦可标为C6，（LA是基于C和弦的加音），FA，LA，DO，SOL和弦可标为F9。但要注意的是，加四音和弦的写法有规定，要写sus4，并且要省去原和弦的三音，否则三音和四度音一起响会很尖锐。如DO，FA，SOL和弦标记为Csus4.（C和弦省三音加四度音）。加音以6，9，4度为多数。另外，有更复杂的理论把加音与多音和弦分开来，如FA，LA，DO，SOL和弦应标为Fadd9,而标为F9会被认为是FA，LA，DO，MI，SOL和弦。不过这只是理论而已，一般情况下用简单的加音标记法就可以让别人明白你的意思。 12。指定和弦根音：就是在演奏该和弦是，不弹它本身的根音而根据标记弹奏。如C/G，表示演奏该和弦时把G音置于最低音。Dm/G表示演奏Dm时把G音置于最低音。也可以用On*表示同样意思，如F9OnD,实际演奏的是RE，FA，LA，DO，SOL。很明显，这种标记法可以用来表示和弦的转位。 第三章 各级和弦的功能 流行音乐中一般只讲大调的和弦而很少把小调单独作为一种调式重新定义和弦，因为流行音乐中关系大小调和弦共用的现象十分普遍，如果用经典和声学解释会颠来倒去搞不清。 下面我们用C大调来举例。基本和弦共7个:C,Dm,Em,F,G,Am,Bdim.分别是1，2，3，4，5，6，7级和弦。1，4，5称正三和弦，2，3，6称副三和弦。7级和弦在流行音乐中极为少用。1级和弦也称主和弦，4级和弦也下属和弦，5级和弦也称属和弦。接下来是每个和弦的属性，很重要哦！ C，即1级和弦，是用来明确调性的。一般大调的歌曲都以它开始，也以它结束。不过在曲子的中间可以尽量少用主和弦，否则老是给人以终止感，乐曲的进行也会很硬。 Dm,即2级和弦，是一个很柔和的和弦，它的最重要用途就是放在属和弦即5级和弦之前。而5级和弦则自然要回到1级和弦，所以很容易就形成了2-5-1的进行。这是一个极其常用的进行。 Em,即3级和弦，也是一个十分柔和的和弦。音乐的进行中有了她马上就会变得柔美而略带忧伤。1-3-4的进行，也即在C大调中的C-Em-F是一个很常用的进行。乐曲中本来用1级和弦的地方有时可以考虑换成3级和弦，音乐立即就不强硬了。港台音乐中这种手法很常用。 F,即4级和弦，大调中的又一正三和弦，属于骨干和弦之一。它十分明亮，让人感觉心胸开阔，有一种一下子“飞”起来的感觉。我们听到的美国乡村乐和描写西部大草原和大峡谷的歌曲都使用4级和弦来表现。1级和弦后面跟4级与跟3级和弦是绝对不同的。 G,即5级和弦，大调中的第三个正三和弦，任何一首歌曲都不可缺少。它起着对主和弦支撑的作用。乐曲的终止感就是由5-1这样的进行产生的。当然现代流行音乐特别是欧美音乐中不使用5-1终止的歌曲也很多，这正是流行音乐的特色，但5级和弦作为音乐的骨架和弦仍然不可动摇。 Am,即6级和弦，一个中性的和弦，如果把它作为主和弦那就是小调了。歌曲肯定会变得忧郁，悲伤。如果6级和弦出现在大调中的某些部分，那它起到的就是连接不同和弦的作用。6级和弦象一座桥，它前面可以接几乎所有的和弦，后面也是如此。它可以是和弦的进行连贯，不呆板。1-6-4-5是极为常用的进行，事实上就用这四个和弦就可以写歌了。 Bdim,即7级和弦，在流行音乐中很少用。因为它是减三和弦，有一种向里收缩的紧张感，一般只在某些特定进行中使用，或是为了根音的流动而使用。 在了解了上述和弦的属性之后，大家就可以尝试为歌曲配和弦了。不过这是一个长期探索和实践的过程，能否配出基本正确的和弦不是寥寥文字可以教会的，也不是本教程的目标，我们的目标是配置出更好更优美的和弦，我们不该停留在对与不对的层次上。就我个人经验而说，如果你能做到以下几点，那你就向编曲大师跨出了关键一步： 1，能在一遍内听出歌曲的基本调内和弦（即1，2，3，4，5，6，7级和弦） 2，对歌曲常用的离调和弦比较敏感，一般也应当在1到2遍内分辨出其离调和弦。 3，看乐谱上的和弦可以想象出其音响效果，如果别人演奏错误，能马上察觉。 4，看一条单旋律，不用任何乐器，在心里能为它配和弦。 我们现在的流行音乐体系是纯西方的，旋律与和声地位同等重要。如果对和声不进行系统的研究，是难以制作出优秀的现代音乐作品的。 第四章 各级变化和弦 接下来我们要为歌曲配置更优美的和弦，使音乐更流畅。这就要用到各种变化和弦。关于变化和弦在经典和声学里有复杂的一套理论，这些理论是有实际意义的，但是对于那些没有系统学习过和声学的人来说，如果一开始就被灌输有关离调的系列理论，恐怕没有多少人可以正确理解。所以在本教程中，我采用了一种比较直观的说法，关于离调和弦等内容的正确涵义会在以后写明。 注：所有和弦转位都沿用传统名称，第一转位称六和弦，第二转位称四六和弦。 1，主四六和弦（K46和弦） 这是一个在古典音乐中很常用的和弦，但它在流行音乐中仍然有很重要的作用。它的形式是主和弦的第二转位，以C大调举例就是C/G和弦，即5-1-3和弦。这种和弦的特点是，虽然算是主和弦，但因为它以SOL为根音，所以一点也不稳定，有着极强的向属和弦去的倾向。试验一下，如果一首大调歌曲结束时贝司手不弹DO音而弹SOL音，你肯定会感觉很奇怪，你会觉得这首歌曲根本就没有结束。这充分体现了主四六和弦的不稳定性。因此在编曲时我们可以充分利用这一点，如果有一首歌曲的结尾是C-G7-C（这可是很常用的结尾哦）我们就可以改为C/G-G7-C。由于C/G（主四六和弦）倾向与属和弦G7，而属和弦G7又倾向于主和弦，这样从C/G开始一系列的和弦都顺着它的倾向性行进，音乐就变得流畅了。在古典音乐中，C/G-G7-C的进行是最经典的终止式。 2，二级六和弦 二级六和弦是二级和弦的第一转位，在C大调中是Dm/F。它的构成音是FA，LA，RE。大家会发现它与F和弦（四级和弦）只差一个音，前者是FA，LA，RE，后者是FA，LA，DO。所以，二级六和弦实际上可以看成是四级和弦的一个替代品，也就是说某些地方本来用的是四级和弦，现在就可以用二级六和弦代替，C大调中就是用Dm/F代替F和弦。二级六和弦保持了二级和弦柔和的特性，不象四级和弦那么硬，也没有强烈的“飞”起来的感觉，所以如果你想要使1-4级的进行不要那么强硬，但又要保证有1-4级进行的和声效果，你就可以用二级六和弦代替四级和弦。如果大家听过电影《红河谷》的主题曲，它的第二个和弦就是二级六和弦，而这个地方的和弦功能和听上去的感觉实际上是四级的，这就对了！这就是二级六和弦要达到的效果。 3，大二级和弦 这实际上是一个离调和弦，不过在这里我不从这个角度去说明问题。大二级和弦就是升高三音的二级和弦，在C大调里是2，#4，6和弦。它的特点就是强烈倾向于属和弦（五级和弦），也就是在C大调里构成D-G的进行。在前面介绍二级和弦时我曾提到二级和弦最重要的用途是置于5级和弦前面，所以我们可以这样认为大二级和弦是增强了小二级和弦向属和弦的倾向性。在C大调中就是用D-G7代替Dm-G7。在歌曲的适当位置使用这种代替手段效果是十分好的。但是要注意，歌曲的旋律音如果是FA（首调）则不能这样代替，因为这会构成与和弦#4的小二度冲突，十分尖锐刺耳。邓丽君的许多歌曲及那个年代的许多歌曲（如《今宵多珍重》）都会在属和弦前使用大二级和弦，大家可以去仔细地分辨一下。另外，和所有的离调和弦一样，大二级和弦也可以扩展成七和弦，C大调里是D7和弦，2，#4，6，1。它的和弦性质和D和弦是一样的，只不过音响更丰富些。 4，大三级和弦 这也是一个离调和弦。在C大调里是E和弦，3-#5-7。是由三级和弦Em升高三音形成。它倾向于六级和弦Am.也就是在C大调里构成E-Am的进行。它实际上也是Em到Am进行的强化。和前面一样，我们可以用E-Am代替Em到Am，但仍要注意，如果旋律音是SOL，就不能这样代替，因为SOL会与和弦里的#5冲突。有一首老歌叫《我家在那里》就使用了大三级和弦。有首圣诞歌曲就连续使用了大二级和弦和大三级和弦。另外，和所有的离调和弦一样，大三级和弦也可以扩展成七和弦，C大调里是E7和弦，3-#5-7-2。它的和弦性质和E和弦是一样的。 5，大六级和弦 这也是一个离调和弦。而且这是一个很常用的和弦，它的“离调感”十分远，所以能制造出很动听的效果。在C大调中是A或A7和弦（和其他离调和弦一样，它可以扩展成七和弦）它强烈倾向于二级Dm和弦，这样就在C大调中形成A（A7）-Dm的进行。这可是一个非常漂亮的进行，它不仅可以代替Am到Dm的进行，还可以代替其他和弦到Dm的进行。只要你的旋律中带有6，#1，3，5中的任何一个或多个音，你就可以使用这个进行。它是用来强调和声在音乐中作用的最好例子。看一下： 3 - 4 | 2 - - | 这个例子，如果你想在第二小节配置Dm和弦，那么前一小节用什么好呢？Am可以，Em也可以，但它们都不是最好的，试过用A(A7)吗？那将会是一种新鲜的感觉。这种和弦手法在流行音乐中被广泛应用，邓丽君的歌曲《爱的箴言》就使用了该和弦，著名的圣诞歌曲全曲多次使用该和弦。这个和弦十分有色彩，恰当的使用肯定可以使你配置的歌曲和弦及伴奏比原来丰富得多。当然仍旧要注意，不要在旋律音为DO时使用该和弦，因为它会与和弦的#1音冲突。 6，一级七和弦 这也是一个离调和弦。一级七和弦在C大调里就是C7和弦，1-3-5-b7,看清楚了，这是一个大小七和弦，是降SI而不是还原SI，在其他调里可不要搞错了。它的用处就是置于四级和弦前面，一级七和弦有强烈的倾向于四级和弦的特性，又由于它本身属于主和弦系列，所以如果我们使用了一级到四级的和弦进行，就可以在这两个和弦当中插入一个一级七和弦，形成C-C7-F的自然进行。有一首英文老歌就使用了该和弦。 7，小四级和弦 大调中，四级和弦应当是大三和弦，但有时侯我们也会使用它的降三音形式，就形成了小四级。它的最有效作用是置于四级和主和弦之间，也就是在C大调形成F-Fm-C的进行，小四级当然是一个小三和弦，它的加入会使音乐突然变得忧伤，所以它不但可以置于四级和主和弦之间，而且可以直接加在乐曲中的某个部分。著名的（雪绒花）在最后结尾时，就使用了小四级和弦。很多港台流行歌曲也使用小四级来表现忧伤与失落。 8，五级增三和弦 这个和弦不算很常用。它升高原来五级和弦的五音，变成增三和弦。在C大调中是Gaug(G+)，这个和弦的用处是当一个乐句结束在属和弦上时，可以用五级增三和弦来代替五级和弦，增加意尤未尽的气氛，然后音乐稍作停留便又从主和弦开始，这种手段在爵士音乐中有着较多的应用。 9，降六级和弦 是一个常用的变化和弦，是大三和弦，在C大调中是bA和弦,b6-1-b3，降LA-DO-降MI。这个和弦看上去离C大调很远，确实如此，因为它只有一个音DO属于C大调自然音阶，嘻嘻，就是这个DO成为降六级最大的应用之处。因为绝大多数大调的歌曲都会结束在主音DO上（首调），我们可以利用降六级含有DO音，把降六级置于主和弦的前面，达到一种特殊的音响。在C大调中，如果本来是G7-C的终止，现在可以用G7-bA-C来替代，这样就能得到这样一种效果：旋律虽然保持是DO，但和弦是降六级-主和弦，非常有色彩。它可以烘托出那种宏伟，壮观的终止，不是属到主简单了事。 10，降七级和弦 相比降六级而言，降七级离原调好象近一点。在C大调中，降七级是bB和弦,b7-2-4,降SI-RE-FA，也是大三和弦。它含有RE，FA两个调内音，它可以被较自由地运用在歌曲中间部分，如果旋律中出现了这两个音就有可能使用降七级。在歌曲中如果在本来使用一般和弦的地方改用降七级，会有一种突然转调的感觉，降七级后面可以接1，4，5级和弦，C大调中，C-bB-C,C-bB-F等都是常见的。邓丽君的《千言万语》，The Beatles乐队的,, 都使用了降七级和弦，取得了很好的效果。降七级还有一个用处就是对降六级作进一步扩展，把bA-C扩展为bA-bB-C,也就是在降六级与主和弦之间再插入一个降七级，得到一个连续上行大三和弦的效果，更适合于那些气魄很大，雄壮而有震撼力的终止。 11，降三级和弦 这也是一个用得不算太多的变化和弦，在C大调里是bE和弦，b3-5-b7,降MI-SOL-降SI，也是大三和弦。它离C大调也比较远，只有SOL是调内音，因此只有旋律出现SOL时，它才有考虑的可能。它适合在乐曲中起丰富色彩的作用，使用一下以后马上又回原调。这种和弦就一定要用得好，用得到位而不能滥用。有一首著名的英文老歌（《奔放的旋律》--“人鬼情未了”的插曲）后半段就用了一个降三级。 12, 降二级和弦 降二级和弦在流行音乐中用得比较少,在爵士乐中倒有一定的使用.经典和声学里给予这个和弦以一个名字,叫"那波里和弦".当然对于我们的应用者来说不一定要了解这么多.这个和弦在C大调里是bD和弦,b2-4-b6,离C大调相当远,在钢琴上听是完全没有关系的,但这样就注定了它是一个极有色彩性的和弦,一般可以用在曲子的结尾,在主和弦的前面,感觉是十分奇特的.不过我没有找到合适的例子来说明,以后再补上吧. 一、终止的功能 一首乐曲、一个段落或乐思的结束，叫做终止。 声的终止，就是标志着这些不同层次的结构在停顿或结束时的和声进行。 在大小调风格的多声部音乐中，终止的构成虽然往往是旋律、节奏、和声等多种因素共同作用的结果，但和声却是终止的主要标志。这是和声结构功能的体现，是为那个时代的音乐风格所决定的。 人们在长期的音乐实践中，已经积累并整理出一套相当完善的和声语汇，终止式就是其中的一个重要部分。它们就像人类语言的句法和标点符号那样，起到组织音乐语言的作用，并适应各种语义表达。 形形色色的和声终止式，被安放在各种具有停顿或结束意义的结构部位上，使音乐中那些层次不同的局部，既互相区分又有机地衔接起来。 二、终止的类别和应用 终止的类别，可以从几个不同的角度划分。 1.结构分类 乐段，是音乐中具有相对完整曲式的最小单位，是构成一切较大型、复杂曲式的基础。 乐段的终止，在音乐语言中具有典型的意义。 从和声终止在乐段中结构地位来看，存在着三种不同的形态。 （1） 结束终止（简称终止） 这是以收拢性的和声进行在乐段结束部位构成的停顿。其结束的完满程度，要根据终止式和声进行的各种条件而定。 例58最后的六拍，是由V——I构成的结束终止。 （2） 中间终止（半终止） 这是以开放性和声进行在乐段内部所构成的停顿，一般应与结束终止形成响应。例58第三、四小节中I——V的进行是极为典型的。 （3） 补充终止 有时，在结束终止之后，再增加一组收拢性的和声进行，叫做补充终止。它可以使乐段得到延长，主和弦更加巩固。 2.和声分类 根据和声进行的性质，终止式又可划分正格终止、变格终止两大类别。 （1）正格终止 由V——I的和声进行构成的结束终止，叫做正格终止。在音乐文献中，除了像例58那样的由V、I两个原位三和弦构成的正格终止外，更常见的是用V级的七和弦代替三和弦，以求得属和弦对于主和弦的更积极的倾向和支持。例59第二、三小节及其以后例子，都属于这样的情况。 IV——V——I的和声进行所构成的结束终止，叫做复式正格终止。这样的终止如同复式正格进行一样，由于其特殊的紧张度和丰满性，在实践中被广泛运用。IV级三和弦也常为II6或II所代替，如例61。 例58 例59 例60 例61 凡是由开放性的正格进行、复式正格进行所构成的中间终止，都叫做正格半终止。参看前面已经讲过的例58第三、四小节。 （2）变格终止IV——I的和声进行所构成的结束终止，叫做变格终止（例62） V——IV——I的和声进行所构成的结束终止，叫做复式变格终止（例63）. 凡是由开放性的变格进行、复式变格进行所构成的中间终止，都叫做变格半终止（例62）。 在古典主义和早期浪漫主义的音乐中，变格终止有时以补充终止的形式出现（例59）。它的独立意义，远逊于正格终止。直至19世纪中叶，欧洲各民族乐派兴盛之后，各种形态的变格终止才逐渐流行起来。 3.语义分类 各种形态和类别的终止，在实际应用都存在着完满程度的差异。这要取决于终止式和声进行的力度，结束和弦的节拍地位、排列、重复音等多种因素的情况。 按四部和声写作的一般规范，完满的终止，必须由四、五度关系的和声进行构成，低音作四、五度跳进；作为结束弦的I，必须处于强拍、原位、根音旋律位置并有稳定呈示的足够时值。 凡不具备上述条件之一者，均属于不完满终止。 例64 半终止本身就是不稳定的，不必再做完满或不完满的区分。但影响终止完满性各种因素，在半终止内仍然会发生作用，使半终止的中间停顿感也存在程度上的不同。 从某种意义上讲，音乐也是人类传递思想感情信息的一种语言。它在语义很多微妙的感觉，往往就通过像终止式语义分类中这种更细微变化而表现出来的。 终止的结构分类、和声分类、语义分类，是从不同的角度对终止的解剖，是同一问题的不同侧面。所以，当我们在分析、描述某一具体终止结构的时候，绝不可把它们截然分开，而是应当尽可能地把三方面的内容都概括进去。如：例61可叫做不完满的复式正格终止，而例63则是完满的复式变格终止，等等。 三、书面习作示范 课题：为旋律配和声的终止设计 指定的旋律： 例65 合理的终止设计，必须以正确的旋律分析为前提。当理解了这条a小调的旋律结构，是带补充结尾的两句乐段之后，和声终止的设计就容易着手了。 半终止划在第四小节。B音配V级和弦，前一小节的D音只有IV三和弦一种选择，这是一个正格半终止。 结束终止是第七、八小节。这里的和弦选择，可从结束音倒着往前思考：A音配I，B音配V，D音配IV，得到一个复式正格终止。 最后的长音A可以有I和IV两种选择，正好配置一个IV——I的变格补充终止。 例66 在以上终止和声设计的基础上，再经和弦选择的补充完善，低声部的编写，内声部的填充，便获得了如下的四部和声方案。 例67 两点说明： （1）声部排列法从第五小节第二拍上由密集变为开放，是为了适应旋律音C到F的向上四度跳进。这样的改变，确保了内声部经终如一的平稳进行。 （2）第七、八小节终止的处理，一方面是为了顺应次中音声部导音（V的三音#G）上行的自然倾向，同时也是为了避免V——I的四部同向，第八小节的I采取了省略五音的不完全形式。如果导音#G作三度下行到I的五音E，I就可以获得完整的结构。第八章和弦的转换 一、和弦转换的意义 在低音保持不动的条件下，由于上方声部和弦音位置更迭所构成的同一和弦的变化，叫做和弦转换。这是和弦延续并获得其内部节奏运动的一种有效手段。 当我们为一个指定的旋律配和声时，如果和弦的更换与旋律节奏总是完全同步（即一音配一个和弦），那将十分笨拙而且会困难重重。和弦转换，则可以帮助我们调节和声节奏与旋律的关系。 属于同一和弦的两个或更多的音，可以通过和弦转换的方式，容纳在一个统一的纵结构之中，以此避免和弦更换频繁给和声节奏所带来的纷乱感。一个时值较长的旋律音要免于音调，亦可通过和弦转换而使其获得相应的节奏支持。 二、和弦转换中的声部进行 1 和弦转换可能引起排列法的改变，但并不是必须的。 旋律声部参与转换，向上跳进，排列法可由密集变为开放；向下跳进，排列法由开放变为密集。 旋律声部保持不动，只有内声部参与转换，声部同上进行时，排列法可由开放变为密集；声部向下进行，排列法由密集变为开放。 不改变和弦排列法的转换，必须在旋律声部的跳进不超过四度的条件下，由上方三个声部的同向运动构成。 弦转换与排列法关系的知识，有助于我们在运用和弦转换的方法时，求得声部音更好的协调与平衡。 2 转换的和弦，应尽量保持和弦音重复与省略的正确性。 3 经转换之后的和弦，应与下一个和弦保持正确的连接关系；同样应当避免平行八、五度，四部同向，声部超越等不良进行。 4 弱拍上的和弦，不宜通过转换和形式在强拍上延续。因为这样会形成和声的切分节奏，与现阶段所学习的传统和声风格不符。 在为旋律配写四部和声的习作中，应当积极地利用和弦转换的手段，去求取和声节奏与旋律的协调和声部间的自然平衡。 三、键盘和声音型——柱立式 一比二 懂得了和弦转换的方法之后，在即兴伴奏中，运用“柱立式、二比二”的和声音型来处理旋律中和弦音的转换或延续，当不会再有困难。 “柱立式、一比二”，是说一个和弦占用两个节奏单位。 术立式和弦转换一次，便构成一比二的节奏形态；和弦原样重复一次，也属于“一比二”音型。在“一比二”音型中，和弦的低音无论是延续、重复或八度跳进，都不改变音型的性质。 键盘即兴伴奏，有重复旋律和不重复旋律两种形式。 柱立式和弦音型重复旋律，通常是将旋律置于高音声部；两个内声部的和弦音，以密集排列方式在下面伴随。当旋律中出现和弦音转换时，三个声部同时转换；旋律音处长，和弦可作节奏上的重复。 不重复旋律的术立式和弦音型，主要的任务是为旋律提供一个和声与节奏的背景。除左手的低音声部可作正常的跳进外，右手的三个声部应昼保持平衡进行和弹奏的方便。可自己确定一个和弦的旋律位置的水平线及起落的弧度，以便于和弦材料的组织。人们比较喜欢以主和弦根音旋律位置为水平线，以此求得音乐结束时能仪在根音旋律位置的稳定主和弦上 。.
和声，两个以上不同的音按一定的法则同时发声而构成的音响组合。它包含：①和弦，是和声的基本素材,由3个或3个以上不同的音,根据三度叠置或其他方法同时结合构成，这是和声的纵向结构。②和声进行，指各和弦的先后连接，这是和声的横向运动。补充一句。和声有明显的浓，淡，厚，薄的色彩作用；还有构成分句，分乐段和终止乐曲的作用。从17世纪起，由于主调音乐的逐步发展，和声的作用愈趋重要。它在音乐中所起的作用大致有3个方面:①声部的组合作用。在统一的和声基础上，各声部相互组合成为协调的整体。②乐曲的结构作用。通过和声进行、收束式、调性布局等在构成曲式方面起重要作用。③内容的表现作用。通过和声的色彩、织体以及配合其他因素，塑造音乐形象、表现音乐内容。和声的处理是音乐创作的重要写作技巧，也是对位、配器、曲式等其他作曲技法的基础。有时，曲调也由和声衍生。在调性音乐中，和声同时具有功能性与色彩性的意义。和声的功能，是指各和弦在调性内所具有的稳定或不稳定的作用、它们的运动与倾向特性、彼此之间的逻辑联系等。和声的功能与调性密切相关，离开了调性或取消了调性，和声也就失去了它的功能意义。和声的色彩，是指各种和弦结构、和声位置、织体写法与和声进行等所具有的音响效果。和声的色彩是和声表现作用的主要因素，无论在调性音乐或非调性音乐中，它都具有重要意义。和声的历史发展 西洋音乐中和声的形成与发展,至今已有千余年历史，现分6个阶段概述如下：10～16世纪，欧洲复调音乐从早期的奥加农发展至复调写作的完善阶段 当复调音乐的各声部相互间以协和音程为主作对位结合时，即形成和声音程、和弦与和声进行。当时以各类七声中古调式为基础，故后人称15、16世纪复调音乐中的和声为中古调式和声或教会调式和声。其特点为：①建立在6种不同结音(即主音)的调式基础上（第7种洛克里亚调式极少应用）。各调式音阶的音程关系不同，每一种调式都有其特征音程，相互区别。②以协和音程为基础，和弦结构只有大、小三和弦原位、第一转位与减三和弦第一转位。其他不协和音程均须按规定的方法解决。③各级三和弦都可相互连接。在和弦的连接中，根音之间的各种音程关系（除增四度外）均常用。在音乐进行过程中，并不要求以主和弦为中心，但在乐曲结束处应以主和弦收束。约从14世纪开始应用变音，亦称“伪音”，规定六度反向级进到八度时须为大六度，三度反向级进到同度时须为小三度，因此需应用变音，形成类似导音进入主音的声部进行。另外，为了避免减五度与增四度，亦需用变音。这为各类调式逐渐演变集中为大、小调体系创造了条件。由于在各个乐句结束处不同的停顿音上构成类似Ⅳ—Ｉ、Ⅴ—Ｉ或Ⅳ—Ⅴ—Ｉ的和声进行,形成了以后转调的萌芽。17世纪，早期巴罗克时代 随着单旋律乐曲的形成和歌剧的产生，采取为单声部歌唱加和弦式伴奏的方法。开始应用数字低音以指示伴奏部分的和声，由键盘乐器演奏者即兴弹奏，以纵的音程结合为基础，使和声的作用加强，并形成以平均节奏持续流动的低音线条。器乐中和弦式织体的发展，对逐步形成主调音乐有重要意义。由于戏剧性内容表现的需要，开始重视发挥和声──特别是不协和弦的表现作用（如C.蒙泰韦尔迪、J.佩里等在歌剧中用七和弦来表现哀叹和不幸等内容）。属七和弦的应用，成为确立大小调调性的重要条件。至17世纪后期，虽然还存在着中古调式的影响，但大、小调体系已得到确立。大、小调成为旋律与和声的调式思维的基础；它们之间的调式色彩对比成为音乐中的重要表现因素。18世纪上半叶，后期巴罗克时代 在这一时期中，器乐写作得到更大的发展，建立在大、小调和声体系基础上的自由复调音乐是主要的织体形式。继续应用数字低音作为键盘乐器和声部分的写谱方法。和声作为构成曲式的要素,对于这一时期的乐曲结构,包括赋格曲、古二部曲式、早期奏鸣曲式等，均有重要作用，形成了调性布局的规律：大调乐曲先转至属大调，以后再转向其他近关系调；小调乐曲先转至属小调或平行大调，以后再转向其他近关系调。在转调布局中注意到调性的功能与色彩的对比。小调乐曲结束的主和弦常用大三和弦，称辟卡迪三度，这种方法自16世纪后半叶得到普遍应用起，一直延续到18世纪中叶。同主音大小调的变化是这一时期使用的一种音乐对比方法。平均律键盘乐器的应用,使乐曲所用的调和转调的范围得到扩大,.巴赫的《平均律钢琴曲集》是这类乐曲的典范作品，对后世音乐艺术的发展有极其重要的作用。这一时期的和声材料除各级自然和弦外，变音和弦如副属和弦、减七和弦与那不勒斯六和弦等应用较多。器乐中各种和声织体，如和弦式、分解音型式等的应用，使主调音乐风格获得进一步发展,逐步向18世纪后半叶的主调音乐体制过渡。在这一时期内，不少作家重视以不同的和声材料来表现不同的音乐内容，发挥和声的表现作用。如在巴赫作品中，以单纯的和声表现欢快、赞颂、希望、和平等内容。以半音化和声与不协和弦表现幻想性、戏剧性与苦难、忧伤、哀悼等内容。巴赫在《马太受难曲》中用低音的半音上行、变音和弦与不协和弦等手法,描绘了“大地震动，岩石崩裂，死者从墓中升起……”的情景。这一时期的和声虽以大、小调体系为基础，但中古调式在一部分以众赞歌为基础的声乐、器乐曲中仍有应用。18世纪后半叶，古典乐派时期 主调音乐成为主要的体制。当时所追求的思想内容与结构形式上的单纯明晰的特点，也表现在和声手法的简朴方面。大、小调体系成为和声的基础，中古调式消失其影响。和声的调性意义更为明确集中，强调主、下属与属七 3个主要和弦。数字低音在创作中已不再应用，低音也摆脱了流动性线条的束缚。由于结构的方整性，并且没有复调音乐中那种错综复杂的声部与节奏，使和声的节奏规律化与节拍化，以对称、平衡的和声进行为主体。离调、移调模进、减七和弦、增六和弦、同主音大、小调对置等均普遍应用。开始应用和声大调式，应用降Ⅵ级大三和弦的阻碍收束，随着半音化和弦外音的应用，装饰性的半音进行也得到发展,成为一种富于色彩的手法。在主调音乐的曲式中，特别在大型曲式，如奏鸣曲式中，和声的结构作用得到充分发挥，成为主调音乐结构的要素之一。
简单的哦，这点可以搬忙写的
19世纪，浪漫主义时期 19世纪初，和声手法基本上与上世纪后期相同。此后，由于题材和内容范围的扩大，音乐作品中情感的表达、心理的刻划、风景的描绘和情节的表现等需要，促使作曲家不断发展新的和声语汇，丰富和声的表现力。这主要表现在两方面：一方面是发展变音体系和声以及其他复杂的和声手法，如大量应用半音化的声部进行、远关系离调与转调、游移与模糊的调性、连续的属功能组和弦、各类远关系的变音和弦、高度叠置和弦（九和弦、十一和弦、十三和弦等）、主和弦的隐蔽、收束的避免、同主音大、小调的混合以及强拍上的半音和弦外音等，从而将大、小调体系和声推向极限，趋于解体的边缘。和声的功能性逐渐削弱和模糊，色彩性得到突出和强调。R.瓦格纳后期乐剧中的和声可为这方面的代表。另一方面由于民族乐派的兴起与古代宗教题材的采用，恢复并扩充了自然音体系和声。例如由于民间音乐的影响,扩大了作品中调式的范围,除自然大、小调式外,还有其他中古调式和特殊调式,如.肖邦作品中的弗里吉亚调式与吕底亚调式，F.李斯特作品中的吉卜赛调式，俄罗斯作曲家作品中的各类自然调式等。在和声的处理方面，下属组和弦得到强调，有时某个段落仅由下属组和弦与主和弦构成。大调副三和弦也得到重视，它们增加柔和的色彩，并使和声具有中古调式的风格特点。变格进行、阻碍进行以及三度根音关系的和声进行等也较普遍，这在李斯特、瓦格纳、俄罗斯作曲家与E.格里格等人的作品中常可遇到。在和弦构成方面有加六度音的主和弦与属和弦、自然音范围的高度叠置和弦等。在和声的收束式方面，也出现了新的处理方式，如在结束处使用转位的主和弦；以Ⅲ级代替Ⅴ级的正格收束；Ⅵ级或Ⅱ级代替Ⅳ级的变格收束等。有时最后结束不在主和弦上。这一时期中，还有一些富于创造性而成为近代和声先驱的特殊手法，如：五声音阶和声(如在А.П.鲍罗丁的作品中)；五度叠置和弦（如在李斯特的作品中）；复合和声(如在瓦格纳的作品中)；全音阶和声 (如在Н.А.里姆斯基-科萨科夫的作品中)等。20世纪 在19世纪后期大、小调体系和声发展至极限的基础上，不少作曲家探索新的创作手法，或回复至古老的音乐风格,其结果都打破了过去200年来传统和声的规范。20世纪的和声手法，总的可概括为：和声思维的复杂化，和弦结构的多样化，和声进行的自由化与调性观念的扩大化。首先是将传统和声材料在使用方法上加以突破，创造新的和声效果，例如应用三度叠置和弦的平行进行；四六和弦与不协和弦的独立应用；无功能联系的远关系和弦的紧接；连续大二度、小三度或大三度的和声进行与复合和弦等。在打破大、小调式的长期影响方面，广泛采用了各类中古调式、五声调式、某些民族的特殊调式、泛音音阶（同时包含增四度、小七度的大调式）、全音音阶、十二音音阶以及各类其他特殊的调式与音阶。这些新的调式音阶为和声的处理提供了不同于大、小调式的基础。在和弦结构方面力求打破传统的三度叠置原则，并追求以往被认为是不协和的、粗糙的和声效果。例如建立在半音阶基础上的高层三度叠置和弦、采用四度叠置的方法、二度密集的音群、各种附加音与任何可能的结合，使和声纵的音响尖锐化、紧张化与复杂化。另外，还有完全以自然音体系的各音作各种自由组合的和声处理方法，称“泛自然音体系”。19世纪后期的音乐作品中，大小调式的区别已趋于消失，更由于半音化和声的发展，调性范围的扩大与不断迅速地转换，带来了调性与和声功能意义的削弱与模糊。20世纪，在这基础上更进一步突破传统的观念，产生下列新的调性处理方式：①泛调性，这种处理仍然保持调性的作用，但打破了传统调性的界限，不以三和弦、自然音阶为基础，也无功能性的和声进行，而通过一些新的方法来表现或暗示调性中心（主音或主和弦）的意义。有时，由于调中心不断变换，缺乏较固定、明确的调性感觉。②多调性，两个以上不同的调性同时结合，即构成双调性或多调性，这是20世纪初开始流行的一种新的调性处理方法。每一个调性层次大都为自然音体系的传统调性，但当不同的调性叠置结合时，即产生了不协和的、矛盾的、有时甚至是很尖锐的和声效果。③无调性，在半音阶的基础上，强调每个音都有同等的意义，避免和否定中心音的控制。这种处理排除了调性，调号也失去其意义而不再应用。取消了和弦结合的原则、根音的作用与和弦之间的内在联系。乐曲的结构不再依靠和声收束式来加以区分。中国音乐作品中的和声表现手法 在中国专业音乐创作中，和声的应用约从20世纪初开始，最初采用欧洲大、小调和声方法。由于旋律多为五声调式，因此，和声如何适应旋律的风格，就成为中国作曲家在实践中不断探索的课题。初时的和声大都是在大、小调和声的基础上加强副三和弦的作用以及应用附加六度音的大三和弦等方法，并注意声部（特别是两外声部）的五声化进行。20年代赵元任在其创作歌曲的伴奏中，就注意试验中国化的和声.30年代中,由于民族传统音乐与民间音乐的影响,音乐的民族风格问题得到进一步的重视，对和声也有了更多的探索和试验，如借鉴欧洲民族乐派以至印象派（如德彪西）的某些和声方法,自然调式和声的应用增多,在三和弦的基础上采用附加音或代替音的方法。在有些作品中，打破了大、小调的和声规范，采用五声化和声结构（如老志诚的《牧童之乐》的引子部分等）或复调化处理（如贺绿汀的《牧童短笛》等）。40年代中，音乐创作较前一时期有进一步的发展，以民歌或以民歌风的旋律为素材的作品逐渐增多。和声上重视应用调式和声方法，并尝试一些适合于五声音调的和弦结构，如四、五度和弦、替代音和弦等。开始吸取和应用某些近现代的和声方法，印象派作家的和声引起较多作曲者的注意和借鉴。P.欣德米特的作曲理论也开始介绍到中国，谭小麟在他的创作中将这种理论、技巧与民族风格相结合，创造了新的和声处理方法.当时也有应用无调性创作手法与中国民歌相结合的尝试，但并不普遍。中华人民共和国成立后，音乐创作获得很大发展，和声的民族风格问题引起更大的重视。但由于强调功能性和声理论，因此在和声处理方面，主要属于三度结构与功能性的调式和声方法，与此同时，在保持调性、调式的基础上，也有许多探索与尝试，如五声化和声结构、复杂的和声结合，复合和声、四度和声、调式交替变音和声与平行进行等等。近年来，不少作曲者又继续探索近现代和声手法与民族风格相结合的处理方法，有不少可喜的成果。总之，从中国音乐创作的实践观察，三度结构的和声、五声纵合化和声与近现代复杂的和声都可以与五声性的民族音调相结合，在发展音乐创作的民族风格方面发挥其作用。
2006年8月获得“中国首届少数民族器乐大赛青年组葫芦丝演奏金奖”2009年9月10获得“中国第三届少数民族器乐大赛青年组巴乌演奏金奖。2006年6月获得“天津市第二届民族器乐独奏大赛青年组唢呐演奏二等奖”（一等奖空缺）“巴乌演奏优秀表演奖”2005年10月获得“天津市第十四届大学生文艺汇演巴乌独奏二等奖”2005年5月获得天津电视台颁发的“优秀音乐辅导教师资格证书”2007年5月获得“天津民族管弦乐学会优秀葫芦丝巴乌辅导教师资格证书”2006年3月获得“天津市大学生中华学术探讨奖学金”（组委会全票通过）2006年代表天津市赴泰国皇家师范大学演出，表演唢呐、葫芦丝、巴乌独奏。2006年8月20日“天津教育报”以《在民乐的天空自由翱翔为》题刊载其事迹2007年1月2日天津今晚报特稿以《让中国文化香飘世界》为题，报道其在泰国皇家师范大学演出取得成功大学四年来先后获得“三好学生”“优秀学生干部”“优秀团员”“二等助学金”“二等奖学金”“三等奖学金”十二次2006年3月其事迹被收入《天津师范大学优秀贫困生材料汇编》2006年1月与天津狗年迎新春晚会表演唢呐独奏《社庆》葫芦丝独奏《竹林深处》并为歌曲《茶淀葡萄玫瑰香》录制唢呐伴奏2005年5月1日在中国民乐报发表论文《独弦琴的再生》2005年5月4日参加天津电视台组织的“天津市大学生五四专场演出”表演葫芦丝独奏《竹楼情歌》受到观众及专家好评2006年8月20日于中央电视台“中国之声”表演唢呐独奏《喜庆》2006年11月为电影《我家在哪里》录制唢呐、巴乌配乐并担任作曲、指挥。2006年12月为电影《晋洲女人》担任唢呐配乐演奏2006年10月以得票率第一的成绩当选为“天津师范大学2006感动师大年度人物”
在日常学习和工作中，大家都不可避免地会接触到论文吧，论文可以推广经验，交流认识。如何写一篇有思想、有文采的论文呢？以下是我为大家收集的议论文论据素材，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。 素材一：艾利斯泰·无腿伞兵 39岁的艾利斯泰并非天生的强者，即使他从数千米高空，纵深一跃，做“自由落体”运动。这个曾经的英国皇家陆军伞兵团成员，17年前在一场爆炸中失去双腿。和所有剧情相似，他也想“懦夫一样”把枪管对准了自己，后来历经磨难，成为励志故事里完美的主人公。这位跳伞冠军与妻子每年要完成约700次跳伞。大半迫于生计。他只想做一个“脚踏实地”、靠自己能力过日子的好男人。尽管捉襟见肘，他却从不想要社会捐赠或者福利补贴。他坚持只要一个正常人的生活，因为“只有在空中飞翔时，我才觉得自己像一个健全人”。 素材二：身陷囹圄志不移 尼可洛·帕格尼尼是意大利小提琴家、作曲家，被人称为“独弦琴上练出来的小提琴家”。他的艺术道路坎坷不平。他生于一小商人家庭，据说，曾因为政治犯罪坐了20年牢。但即使是身陷囹圄，他也不曾灰心，而是坚持狱中学习。他在狱窗边，用一把只剩下一根弦的提琴，坚持苦练，几十年如一日，终于在演奏技巧方面达到了出神入化的境地。他的创作和演奏，奔放不羁，富于激情，对同时代的浪漫派作曲家有较大的影响。 素材三：博迪眨眼写作 博迪是一名法国记者。他在一次心脏病发作后四肢瘫痪，只有左眼可以活动。但他决心把打好腹稿的作品《潜水衣与蝴蝶》写出来，于是他要求笔录员门迪宝协助他，每天花6小时笔录他的著述。而他们之间的沟通只能靠左眼的.眨动来完成。每次，门迪宝按顺序读出法语常用字母，博迪每眨眼一次表示字母正确，眨两次表示错误，然后拼成词语。这种常人难以想象的“写作”终于在数月后奇迹般地完成了。这本150页的著作已被出版，受到人们的欢迎。 素材四：隔绝 古希腊著名演说家戴摩西尼年轻的时候为了提高自己的演说能力，躲在一个地下室练习口才。由于耐不住寂寞，他时不时就想出去溜达溜达，心总也静不下来，练习的效果很差。无奈之下，他横下心，挥动剪刀把自己的头发剪去一半，变成了一个怪模怪样的“阴阳头”。这样一来，因为头发羞于见人，他只好一心一意地练口才，演讲水平突飞猛进。正是凭着这种专心执著的精神，戴摩西尼最终成为了世界闻名的大演说家。 1830年，法国作家雨果为了能把全部精力放在写作上，把除了身上所穿毛衣以外的其他衣物全部锁在柜子里，把钥匙丢进了小湖。就这样，由于根本拿不到外出要穿的衣服，他彻底断了外出会友和游玩的念头，除了吃饭与睡觉，从不离开书桌，结果作品提前两周脱稿。而这部仅用5个月时间就完成的作品，就是后来闻名于世的文学巨著《巴黎圣母院》。 在漫漫人生路上，往往只有不留下退路的奋斗，才更容易赢得出路。 素材五：泥泞中的脚印 韦伯是美国圣日公司一名普通的员工。一开始他还勤勤恳恳地做自己的工作，可是后来他发现在公司里像自己这样的人有上千个，想靠勤奋工作脱颖而出简直是难于上青天。于是他的热情锐减，每天漫不经心地工作。一天，公司派韦伯去城郊的一个农场送资料，农场主是一位黑人大叔。办完事后，这位黑人大叔问韦伯：“小伙子，你在圣日公司干得怎么样?”韦伯苦笑着回答：“我是一名普通的员工，做着再普通不过的工作，而公司里像我这样的人有上千个，就算我再成功，也不会有什么辉煌的业绩，更不用说什么前途了!”黑人大叔“呵呵”一笑，问：“小伙子，你回头看看，能不能找到我们走过的足迹?” 此时二人正漫步在农场的小路上，韦伯回头看了看，平整的路上根本没有一个脚印，于是他摇了摇头。黑人大叔说：“找不到吧!其实我们的脚印已经留在上面了。最初这里是没有路的，只是走的人多了，他们的脚印重叠在一起，才成了路。在成千上万人走过的地方，是很难看到自己的脚印的!“黑人大叔说：“你看，只有在别人没有涉足的地方，甚至是在泥泞之中行走时，才会留下深深的脚印!” 韦伯心里一震，忽然就涌起了一种前所未有的激情。他不断得到重用和提升，15年后成为圣日公司第四任总经理。 你发现了吗?奋斗就像是在泥泞之中行走时留下的深深脚印，是它成就了成功。 素材六：读料 玉雕师王先生在石材毛料市场看中了一块石头，一块极普通的玉石。他用300元买了下来，想雕刻个作品。可他拿回家后端详了半天也没琢磨出要雕刻个什么，他就把那块石头放在了角落里，一放就是5年。5年后，他又把那块石头搬了出来，并且很快就雕刻出了一件作品：《祝福》。一个双手合十、慈眉善目的老奶奶，一脸的慈祥和虔诚，似乎正在祝福人间万物吉祥平安。有人想购买，而且出价高达38万元。有人不解，一块区区300元的石头，雕刻也没用多少工夫，怎么就变得价值连城了呢?这不是点石成金了吗? 王先生说，雕刻前它不过是一块石头，但雕刻后却不再是一块石头，因为它有了灵性和意境。我雕刻它只用了很短的时间，但为了赋予它灵性和意境，我读料整整用了5年啊! 读料，是雕刻专业术语，意思是说雕刻师对毛坯料的形状、色泽、质地等原始形貌和特点进行审视，在脑中形成轮廓，最终构思出定型的雕刻图案。 的确，这5年来，他从没忘记那块石头。没事的时候，他总爱坐在那块石头跟前，瞅过来瞅过去的;有时候睡到半夜会突然起来，端详那块石头，有时候会彻夜不眠地与石头对坐。他不知“读”了它几千遍还是几万遍，最终才创作出了这件作品。 没有5年的潜心读料。他就不可能点石成金，也就没有这件昂贵的艺术品的面世。那块石头也许还会继续寂寞地躺在角落里。所以，读料，是他创作中的一个极为重要的过程，更是一个无人知晓的奋斗过程。 素材七：重振旗鼓创辉煌 艾柯卡是美国汽车业超级巨星，他那誉满汽车行业的推销术为福特公司创造了上百亿的美元。可是1978年7月13日，艾柯卡在毫无思想准备的情况下被嫉贤的老板开除了。老板把他赶到一个仓库中的小房间，还美其名曰是给艾柯卡还没有找到新工作之前的办公室。在奇耻大辱面前，艾柯卡没有消沉。在被解雇受辱之后，艾柯卡接受担任濒临倒闭的克莱斯勒汽车公司总裁一职，他以卓越的管理才能，使克莱斯勒公司喜获新生。仅1984年一年，他就为公司赚取了24亿美元的利润，比这家公司前60年的利润之和还要多!顽强的精神、超群的才智、辉煌的成就，使得艾柯卡成为美国人心目中的英雄。 素材八：从根部吃起 一个大学毕业生致力于创业。因缺少资金，只好从摆水果摊做起，但那年因气温较低，甘蔗与香蕉的价格波动大，但大学毕业生的水果摊却价格稳步上扬。原因很简单，因大学生发现，顾客吃甘蔗，就是期待“甜”。于是他就此甘蔗的根部着眼，将根部削好，递给顾客，吃起来更甜，如此，就迎合了他们的感觉而已。很多人以为，一个人的成功一定有着不为人知的秘诀，但事实并非如此，就像故事中的主人公一样——重要的是用心去做每件事，哪怕只是卖一根甘蔗，也要想到，适当的时候给它掉个头。奋斗需要智慧，发展需要灵感。
独弦匏琴京族独弦琴研究在广西众多民族中，有一个与越南主体民族为同一属系的民族——京族。作为一个只有不到两万人的少数民族，京族有着极其独特的音乐文化。在中国大陆，京族是广西特有少数民族，主要定居于广西壮族自治区防城港市东兴市江平镇巫头、山心、尾三座海岛上，因此这三座海岛又被称为“京族三岛”。因东兴市与越南接壤，故而这一地区一直是两国人民进行经济文化交流的重要口岸。京族是一个以渔业为主要生存方式的少数民族，据史料记载，公元十六世纪，一些越南人因追捕鱼群来到中国境内的这三座小岛上定居，这些越南人在中国被称为京族。“独弦琴”是京族民间乐器中最具特色的代表，在京族人民日常生活中扮演着极为重要的角色。京族的传统节日“哈节”中有它婉转低回的声音，京族青年表达爱意的对歌中有它千回百转的曲调。独弦琴因其音色与京族语言的极其相似性，使它深受京族人民的喜爱，它集中体现了京族人民的音乐审美观念与民族文化内涵。因此，本文将“独弦琴”及“独弦琴音乐”，以及“独弦琴”在中国大陆目前的发展现状作为考察、研究、论证的重点。一、京族文化历史概况京族在中华人民共和国建国初期被称为“越族”，这与越南对其本国内的主体民族“越族”的称谓相同。1958年5月建立东兴各族自治县时，根据其历史、语言、文化特点、生活习俗和本民族的意愿，经国务院批准，正式定名为“京族”，意为“心向北京”。京族现约有人口18915人，聚居于广西壮族自治区防城港市东兴市，主要分布在东兴市江平镇的巫头、山心、尾三个海岛上，俗称“京族三岛”。根据2001年末统计，东兴市境内现有京族人口13429人，约占全国京族人口的70%。东兴市是广西壮族自治区防城港市的市辖县级市，为全国14个边境口岸开放城市之一，与越南芒街接壤。京族三岛地区属中国沿海粤方言区，加之长期与汉族杂居生活，现在已经汉化，日常用语使用白话（粤语）。但在如哈节等祭祀活动中，仪式的司文在念白时是要使用京语的，即越南语，但已有所不同。京族作为一个外来民族，从越南迁来中国境内已有400多年的历史。400年来在与汉族人民共同生产生活的逐渐融合过程中，形成了自己独特的历史与文化。据京族三岛（指巫头、山心、尾三个海岛）所保存的文物史料中记载，1953见于尾发现的乡约中提到：“……承先祖父洪顺三年贯在涂山漂流出到……居乡邑，壹社二村，各有亭祠前……券例各各有言置……分说明……理宜循集且亭祠奉事列位香火前少后……不便驯至嗣德贰拾捌年季夏节具祭……旬为此会合再立新约券便各各事神永为恒……”文中提到的“洪顺”为越南黎襄翼帝的年号，洪顺三年即中国明武宗德六年（公元1511年）；“嗣德”为越南阮羽宗的年号，嗣德贰拾捌年即中国清朝德宗光绪元年（公元1875年）。由此可见京族迁来三岛，最早为1511年，当时（公元1511年以前的二、三十年到1511年），正是越南战乱频仍时期；此后的400年间，越南依旧战乱不断，先后遭法、日帝国主义侵略，沦为殖民地，人民陷于十分苦难的境地，直到1945年建立越南民主共和国，1954年才完全结束法国的殖民统治。在这样的历史境遇下，越南人民在捕鱼中漂流到三岛，发现这里是个好渔场，便迁徙定居于此。据二十世纪50年代调查，京族人迁来三岛的时间，早则13代，多数为8代、9代，最晚的为2代。二、 独弦琴的历史源流笔者于2005年2月、9月和2006年5月三个时间段里，多次前往京族三岛采风，有幸采访到了目前中国仅有的几位演奏独弦琴的代表人物——何绍、王能、陈坤鹏、苏春发和苏海珍等人，并从对他们的采访中了解到有关独弦琴的历史源流和脉络。一、中国起源说何绍是中国独弦琴目前所能采访到最为年长的演奏者，他是中国独弦琴所能追查到的最早源头的演奏者——苏善辉[15]的学生。何绍从1960年正式拜师学习开始，就一直潜心研究独弦琴的演奏方法以及历史脉络，是国内首位研究独弦琴起源的人。就笔者查阅各种资料时发现，目前国内所有关于独弦琴的研究论文，凡是提及历史源流问题的，都引用了何绍的观点，他认为：“虽然现在独弦琴在越南是象征越南国乐的代表性乐器，但是，越南在古代是中国的属国，所以独弦琴也应该是由中国传入越南的，而且独弦琴早已于晋代或晋代以前就存在于中国了。”何绍认为独弦琴母胎为“圆形管状琴”，有何绍所撰写的《中国独弦琴演奏法教程》中有如下结论：（一）我国晋代就已有“一弦琴”，至宋代也仍有，但其形制，至今却不详。（二）唐德宗时，我国曾传进了骠国的“独弦匏琴”（龙首独琴）。（三）我国明代的嘉靖年间（1511年）京族人所带回中土的即“匏琴”。就独弦琴是越南先有，还是中国先有，何绍也提出了如下证据：（一）越南文化、文字以及语言都受到中国的巨大影响，其“喃字”就是根据汉字所创造的。因此“匏琴传入越南，也就不是不可能的事，实际上恐怕也正是如此。”（二）关于“独弦琴”的名称，越南文中记为“?àn ??c Huyên”或“?àn b?u”前者读起来其音与广东方言相近。后者?àn是越南语“琴”的意思，b?u是“匏”字的汉语直译。“由此可见‘匏琴’原属从中国传过去的一种乐器”。（三）从越南人所演奏的传统“独弦匏琴”乐曲来看：早在五六十年代，越南早期登上世界文艺舞台的独弦匏琴演奏家——孟胜（第二十四届青年联欢节金质奖章获得者）他演奏了一首名为“中音葫芦独弦琴古曲《沙漠》”越南本无沙漠，而却有题为《沙漠》的独弦匏琴古曲，更使人奇怪的是，在这首古曲中，竟然通篇灌注着我国“羽调式”，与蒙古马头琴之风韵，这不能不令人怀疑，它本来就是从中国传过去的。（四）移居我国的京族人民，带回一首祖传的“独弦匏琴”古曲，题目竟然源出我国典故的《高山流水》，而且这首《高山流水》的主音是“5”，属于我国民族调式“徵调式”，这又说明它也源出于中国。二、民族归属说对于独弦琴究竟从何处而来，王能与何绍的观点略有不同，他认为：“独弦琴是越南的民族乐器，而京族是从越南迁入中国的，所以独弦琴在中国的出现，必然也是京族人带入中国的。……独弦琴最早是为民间演唱民歌时伴奏的乐器，之后独弦琴自身得到了发展，一代代流传下来。从历史研究的角度来说，我们就应该尊重独弦琴的历史，把它和京族看成一个整体。……”当了解到以上几种有关独弦琴的历史起源说法时，笔者则认为：何绍的“中国起源说”有大量史料证明中国在晋代以前就有“一弦琴”的记载，但“一弦琴”是不是独弦琴，“圆形管状琴”究竟形制如何，以及骠国向唐朝所献的“独弦匏琴”又是什么样子，笔者查询了大量提到“一弦琴”的古籍史料，如《新唐书》、《拾遗录》、《唐会要》和《三才图绘》等，虽然发现文字记录与何绍所引基本一致，但是何绍在其论文中描绘的“圆形管状琴”的图形却无从寻觅。同时笔者发现其它很多关于独弦琴的论文、介绍，虽都是以何绍的研究成果为蓝本，使用相同的史料，但是却常常断章取义，曲解了史料的原意。故笔者将上海中华书局出版于1921年的《新唐书》原文中涉及“独弦匏琴”的文字，将文字抄写并加以标点句逗，现呈现如下：“大匏琴”为“覆以半匏，皆彩画之，上加铜瓯。以竹为琴，作虺文横其上，长三尺馀，头曲如拱，长二寸，以绦系腹，穿瓯及匏本，可受二升。”且“大弦应太蔟，次弦应姑洗。”“独弦匏琴”为“以班竹为之，不加饰，刻木为虺首；张弦无轸，以弦系顶，有四柱如龟兹琵琶，弦应太蔟。”“小匏琴”为“形如大匏琴，长二尺；大弦应南吕，次应应锺。”而很多文章却常常将“大匏琴”前面的主题句“有大匏琴二”，和后面的关键词“大弦应太蔟，次弦应姑洗。”截去，引起读者严重误会，以为“大匏琴”就是“独弦匏琴”的错觉，明明“大匏琴”与“小匏琴”都是有两根弦的，被一些作者那么一写，却都成了一弦的“独弦匏琴”了。另外有一点笔者也需在此点明，何绍引用的“龙首独琴……一弦而五音备，象王一德以蓄万邦也。”原文如下：……凡曲名十有二一曰《佛印》骠云《没驮弥》国人及天竺歌以事王也二曰《赞娑罗花》骠云《咙莽第》国人以花为衣服能净其身也……六曰《龙首独琴》骠云《弥思弥》此一弦而五音备象王一德以畜万邦也……十二曰《涤烦》亦白《笙舞》骠云《扈那》谓时涤烦暋以此适情也……可见《龙首独琴》实为骠国进献的一首乐曲曲名，且骠国发音为“弥思弥”，而并非一段对“独弦匏琴”形制如何的文字描述。虽然此曲很有可能就是为“独弦匏琴”而谱，演奏的内容也可能表现了“独弦匏琴”的特点，但首先应当明确它是作为一首乐曲曲名出现的。三、独弦琴的形制变化（一）、竹制独弦琴竹制独弦琴用长120厘米的毛竹筒制作，顺纹劈去2／5，劈面朝下，琴左端插一竹制摇杆，摇杆上端向左弯曲，呈弓状，下端套一小葫芦匏，做扩音用。琴首设方形出音孔。随着时间的迁移，竹制独弦琴得到一定的改良。据王能介绍，八十年代，何绍曾用留声机的探针做独弦琴的拾音器，然后用磁铁线圈原理进行扩音。后来广西区歌舞团的韦京宇又采用电话听筒用来扩音。现在的独弦琴琴身与原来相同，但是采用了内置拾音器，连接音箱，使声音放大。独弦琴弦轴采用木制或用金属轴，横置琴首外。从琴右端张一金属弦穿过葫芦匏系于摇杆上。演奏时，多将琴横置于桌子、架子或双腿上，或将琴尾置于腿上，琴头放置于地面或架子上，右手持挑棒或竹签弹奏，外侧掌边轻轻触及琴弦。二十世纪八十年代以来，何绍根据竹制独弦琴的特点，保存其竹制外形，制作了“京族多功能独弦匏琴”。并且把用竹签弹奏改为指套弹奏，小指第一关节切弦。这种独弦琴使用牛角做摇杆，去掉葫芦匏，琴弦直接系于摇杆上，外接音箱。琴面上像古琴那样标出了泛音位置，并在琴面增设木制指板，类似吉它，共十六的品位，演奏时用指套上的金属块压住琴弦，与品位接触，奏出实音，这种演奏方法丰富了独弦琴的音色与表现力。此琴获得1993年文化部科技进步三等奖。（二）、木制箱式独弦琴中国传统的独弦琴跟越南形制相同，为木制箱式独弦琴。其琴体呈长方盒形，全长105厘米，右端较大为琴首，宽12厘米、高8厘米；左端较小为琴尾，宽9厘米，高厘米。琴框用红木，且用贝雕装饰面板，底板用桐木制作。琴首设方形出音孔，内置拾音器，需外接音箱，使声音放大。弦轴木制或用金属轴，横置琴首外。琴尾设牛角摇杆，插于琴尾，下端套一小葫芦匏，做扩音用。从琴首张一金属弦穿过葫芦匏系于摇杆上。演奏时，多将琴横置于桌子、架子或双腿上，或将琴尾置于腿上，右手持竹签拨奏，右手外侧掌边轻轻切琴提取泛音。越南木制箱式独弦琴――此琴为笔者所有（三）、琴身与电声放大输出部分一体化的独弦琴广西艺术学院教师陈坤鹏在学习独弦琴的过程中，发现独弦琴用作扩音的“电声放大输出部分”（即音箱和功放部分），都置于琴体外，这给搬动与演奏造成了极大的不便，于是产生了将音箱和功放置于琴身内的想法。经过不断实验， 2005年4月，陈坤鹏的“琴身与电声放大输出部分一体化独弦琴”荣获由中华人民共和国国家知识产权局颁发的实用新型专利证书。琴身与电声放大输出部分一体化独弦琴使用红木制作琴身，去掉葫芦匏，摇杆可拆卸，改变了独弦琴外形不规整，不宜携带的问题。琴尾处有一挂弦小扣，防止摇杆拆下后，弦因失去张力发生曲折。音箱内置于琴首处，扬声器冲向地面，琴声音色优美，余音更加悠长，更符合独弦琴少弹多摇的特性。四、民间演奏家在多次实地考查过程中，笔者有幸采访到多位独弦琴的民间乐师及艺人，使笔者受益颇丰。在这些乐帅中，数何绍与王能二人资历最深，从对他们的访中不但学习到几种不同的独弦琴演奏方法，也收集到多首独弦琴乐曲。现将他们的相关情况介绍如下：何绍，男，瑶族，祖籍广西那梁，出生于1944年，现年62岁，退休，现居住于广西壮族自治区防城港市防城区农业局。十六岁时因演奏竹笛被收进东兴民族艺术团（东兴各族自治县文工团），1960年被派到京族三岛学习独弦琴，师从苏善辉。过去由于独弦琴演奏采用的是竹签拨奏的方式，节奏缓慢音调低沉，很难为大多数人所喜爱，为了让独弦琴能够流传下去，也为了让更多的人喜欢独弦琴，何绍认为传统的独弦琴也应随着社会的发展而有所改进，于是他改革独弦琴的弹奏方法，使用自制的指套戴在右手食指上，向外弹弦，右手小指切弦，左手中指挽杆，使独弦琴的演奏技巧又向前发展了一步。何绍潜心研究独弦琴四十余年，根据京族民间歌曲曲调创作了大量独弦琴独奏乐曲，如《拜月》《京海琴韵》等。自行研制的“京族多功能独弦匏琴”1993年荣获文化科技进步三等奖。为了增强独弦琴的表现力，他特地跟在文工团工作的儿子何荣军探讨用计算机为独弦琴做起了MIDI伴奏。目前教授学生约二十余人。在演奏技法方面，何绍采用的是左手“中指挽杆”法。这种演奏技法是在原先的“拳（全）握式”基础上演变而来的，他改变了过去的那种左手整个握住摇杆的弹法，但又保留了左手相对摇杆的固定性。左手采用中指扣住摇杆，握杆位置低。这种方法使左手的控杆位置固定，便于音准的控制，能灵活控制装饰音。王能，男，汉族，祖籍广西防城，出生于1947年，现年59岁，广西壮族自治区防城港市群众艺术馆馆长，广西二级作曲家。师从苏善辉。坚持传统，使用竹片向内拨弦，用右手手掌切弦，左手三四指挽杆。王能学习了越南的风格，使用了一种较为放松的“灵活控杆”法，用左手中指与无名指扣住摇杆，左手可以上下走动灵活摇杆，握杆位置较高，在摇杆的中部以上，这种方法使得左手解放得自然一些。对于京族音乐中常常出现的长的拖音，这种左手演奏法使得装饰音的表现富有张力，更加丰满，便于演奏者的感情发挥，有一定的舞台表演效果，感染力较强。但由于左手位置的不固定性，增加了演奏者对独弦琴音准控制的难度，提高了对演奏者演奏基本功的要求。王能还自编《独弦琴演奏教程》，创作了《京岛情》，《京家阿伯采珠乐》《思乡曲》等独弦琴独奏乐曲。2004年以独弦琴独奏荣获全国第十三届“群星奖”金奖。此外，还有一些年轻演奏家们也活跃在独弦琴的演奏舞台上，他们是苏海珍、陈坤鹏、苏春发、等。他们有的专门前往越南学习独弦琴的演奏技术，有的潜心研究独弦琴形制的革新，有的则从事独弦琴的传承，并创作了大量的独弦琴演奏曲目，用以增强独弦琴的独特的音色魅力。第六节 现存曲目京族目前最为古老的曲目是《高山流水》。一些书中提到的《骑马》、《赌博》等乐，更无曲谱流存。其它十分流行的曲目有《过桥风吹》、《穿针引线》等，都为越南民歌改编，这些民歌在流传过程中，本身已经与越南本地同名乐曲有所不同了，所以改编成乐曲之后也有所差别。还有一些短小的曲子，人们都会弹，一听都知道是越南的曲调，但是却说不上名字。笔者此次采风听到了如下乐曲：乐师姓名传统曲目创作曲目何绍《风吹过桥》 《拜月》《京海琴韵》《采珠谣》王能《LY CHIEU CHIEU》《过桥风吹》《穿针引线》《高山流水》 《京岛情》《思乡曲》《大海情深》苏春发 《喝水不忘挖井人》《打鱼归来》《人民炮兵》陈坤鹏 《风吹过桥》《船夫谣》 《敖包相会》（改编）《小河淌水》（改编）《思念》（改编）苏海珍 《棕榈树（Rang tr?m b?u）》《过桥风吹》独弦琴弹唱《问月歌》 《春天舞曲（W? khúc mùa sun）》结 语笔者通过实地考察与专访了解到，独弦琴在中国实际上正处于一个蓬勃发展的状态之中。何绍、王能、陈坤鹏、苏春发四位乐师都在教授学生，进行着文化的传承，并且都为独弦琴编写了专门的教材；年轻的演奏者们通过舞台这个媒介也使京族的独弦琴越来越为人们所了解与认识。此次调查达到了以下几个目的：一、对中国大陆独弦琴现今的师承状况做了细致的梳理。通过调查，笔者发现虽然目前所几位采访到的乐师风格各异，但从他们的师承关系上来说，其实是师出同门——都是直接或间接由苏善辉处习得琴艺，然后通过教学与演出实践，各自创新发展，最终形成新的风格。如何绍的戴指套“中指挽杆法”，王能的竹签“灵活控杆法”。如果说在苏善辉的时代，中国京族的独弦琴风格与越南是一脉相承的话，那么现今的独弦琴在中国则有了它独特的风格，与越南的演奏方法已大大不同了，已真正成为了京族独特的音乐的突出代表。另外目前专门学习独弦琴演奏的人数也在日益壮大。何绍教授的学生约有二十余人，王能教授学生八十余人，陈坤鹏在广西艺术学院为二胡、古筝专业的学生开辟独弦琴第二专业，约带有学生二十余人。加上一些独弦琴音乐的爱好者，据不完全统计，目前中国大陆学习独弦琴演奏的人数约有一百五十人左右。二、对中国独弦琴研究史料的引用做了追根溯源工作。笔者切实翻查史料，与多篇有关独弦琴学术论文中的引文进行对照，进行了勘误，将《新唐书·列传第一百四十七下·南蛮下》中究竟对“独弦匏琴”做了怎么样的文字描述真实呈现出来，使学者们对史料能有自己准确的把握。三、对独弦琴最新的形制变化做了明确的阐述。经过原始的竹制独弦琴，到木制独弦琴，目前独弦琴已经出现将葫芦匏去掉并带有指板的竹制独弦琴，还有音箱内置，可方便拆卸的“琴身与电声放大输出部分一体化独弦琴”，以及外形仿《新唐书》中描述的乐曲《龙首独琴》而制作的“龙首独弦琴”。本文对这几种独弦琴的形制、发音原理都做了较为全面的整理与描述。四、对中国独弦琴的教材、乐曲做了较为全面的整理。目前独弦琴教材主要有已经正式出版的陈坤鹏的《独弦琴教程》和李平的《独弦琴演奏速成》。这两本书，尤其是前者，将目前独弦琴的曲目，包括京族传统民歌改编的、新近创作的、以及可用独弦琴演奏的中国乐曲都涵盖在内。何绍与王能则使用自编的独弦琴教材进行教学，他们在教材中主要使用京族传统乐曲与自己创作的作品。正式出版的独弦琴音像光盘，有由中国唱片广州公司出版于2005年7月出版的独弦琴专辑《独弦琴 海韵魅影·苏海珍》和由广东音像出版社出版于2005年月12月的《国乐天香——陈坤鹏独弦琴演奏专辑》两种。前者多为创作曲目，音响配器方面采用电子音乐进行编创，突出表现了独弦琴音色上缥缈、悠长的特点；后者是一张民乐专辑，为独弦琴演奏的多首中国传统民歌，在独弦琴音色的录制上保持了其朴实、清纯的本质。虽然目前在独弦琴的历史源流上还存在着很多不明之处，但不管是由中国传出，还是由越南带来，独弦琴作为京族的标志性乐器，使这个民族有着独特的魅力。在越南有这样一种说法：Làm th?n con gái ch? nghe ?àn b?u。姑娘不能听独弦琴，因为独弦琴太动听了,琴声能拨动姑娘的心弦,会把姑娘的魂勾走。独弦琴那缠绵、婉转的琴声已经使越来越多的人为之着迷。参考文献：[1]《唐会要》 江苏书局 清光绪10年（1884年）[2]《新唐书》 上海 中华书局 民国间1921年[3]《京族简史》《京族简史》编写组 广西民族出版社1984年3月第一次印刷[4]《中国少数民族乐器志》 袁炳晶 毛继增主编 新世界出版社1986年第一次印刷[5]《独弦匏琴源流考辨》 陈驹 《广西大学学报(哲学社会科学版) 》1986 年第01 期[6]《广西京族社会历史调查》 广西壮族自治区编辑组 广西民族出版社1987年月12月第一次印刷[7]《防城各族自治县概况》 《防城各族自治县概况》编写组 广西民族出版社出版1988年11月第1次印刷[8]《少数民族乐器考》 杨秀昭 卢克刚 何洪 叶菁 漓江出版社1989年3月第一次印刷[9]《京族》 韩肇明着 民族出版社1992年第一次印刷[10]《京族风俗志》 符达升 过竹主编 中央民族学院出版社1993年5月第一次印刷[11]《防城县志》 防城县志编纂委员会 广西民族出版社, 1993年12第一次印刷[12]《中国民间歌曲集成·广西卷》 《中国民间歌曲集成》中国编辑委员会 《中国民间歌曲集成》广西编辑委员会 中国ISBN中心出版1995年5月北京第一次印刷[13]《中国少数民族文化大辞典：中南、东南地区卷》 铁木尔·达瓦买提主编 民族出版社1996年6月第一次印刷[14]《中国少数民族史话》 宋全主编 中央民族大学出版社1999年2月第一次印刷[15]《东亚乐器考》 日 林谦三 人民音乐出版社1962年2月北京第1版 1999年8 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London: Macmillian1984.[24]《Les Instrument De musique》 Editions du seuil 1980。
可怜的娃们、我弟今天也编这个这。还让我帮他办报纸，我就汗死
古代方程发展史中国古代是一个在世界上数学领先的国家，用近代科目来分类的话，可以看出无论在算术、代数、几何和三角各方而都十分发达。现在就让我们来简单回顾一下初等数学在中国发展的历史。 (一)属于算术方面的材料 大约在3000年以前中国已经知道自然数的四则运算，这些运算只是一些结果，被保存在古代的文字和典籍中。乘除的运算规则在后来的“孙子算经”(公元三世纪)内有了详细的记载。中国古代是用筹来计数的，在我们古代人民的计数中，己利用了和我们现在相同的位率，用筹记数的方法是以纵的筹表示单位数、百位数、万位数等；用横的筹表示十位数、千位数等，在运算过程中也很明显的表现出来。“孙子算经”用十六字来表明它，“一从十横，百立千僵，千十相望，万百相当。” 和其他古代国家一样，乘法表的产生在中国也很早。乘法表中国古代叫九九，估计在2500年以前中国已有这个表，在那个时候人们便以九九来代表数学。现在我们还能看到汉代遗留下来的木简(公元前一世纪)上面写有九九的乘法口诀。 现有的史料指出，中国古代数学书“九章算术”(约公元一世纪前后)的分数运算法则是世界上最早的文献，“九章算术”的分数四则运算和现在我们所用的几乎完全一样。 古代学习算术也从量的衡量开始认识分数，“孙子算经”(公元三世纪)和“夏候阳算经”(公元六、七世纪)在论分数之前都开始讲度量衡，“夏侯阳算经”卷上在叙述度量衡后又记着：“十乘加一等，百乘加二等，千乘加三等，万乘加四等；十除退一等，百除退二等，千除退三等，万除退四等。”这种以十的方幂来表示位率无疑地也是中国最早发现的。 小数的记法，元朝(公元十三世纪)是用低一格来表示，如作1356 。在算术中还应该提出由公元三世纪“孙子算经”的物不知数题发展到宋朝秦九韶(公元1247年)的大衍求一术，这就是中国剩余定理，相同的方法欧洲在十九世纪才进行研究。 宋朝杨辉所著的书中(公元1274年)有一个1—300以内的因数表，例如297用“三因加一损一”来代表，就是说297=3×11×9，(11＝10十1叫加一，9＝10—1叫损一)。杨辉还用“连身加”这名词来说明201—300以内的质数。 (二)属于代数方面的材料 从“九章算术”卷八说明方程以后，在数值代数的领域内中国一直保持了光辉的成就。 “九章算术”方程章首先解释正负术是确切不移的，正象我们现在学习初等代数时从正负数的四则运算学起一样，负数的出现便丰富了数的内容。 我们古代的方程在公元前一世纪的时候已有多元方程组、一元二次方程及不定方程几种。一元二次方程是借用几何图形而得到证明。 不定方程的出现在二千多年前的中国是一个值得重视的课题，这比我们现在所熟知的希腊丢番图方程要早三百多年。具有x3+px2+qx=A和x3+px2=A形式的三次方程，中国在公元七世纪的唐代王孝通“缉古算经”已有记载，用“从开立方除之”而求出数字解答(可惜原解法失传了)，不难想象王孝通得到这种解法时的愉快程度，他说谁能改动他著作内的一个字可酬以千金。 十一世纪的贾宪已发明了和霍纳(1786—1837)方法相同的数字方程解法，我们也不能忘记十三世纪中国数学家秦九韶在这方面的伟大贡献。 在世界数学史上对方程的原始记载有着不同的形式，但比较起来不得不推中国天元术的简洁明了。四元术是天元术发展的必然产物。 级数是古老的东西，二千多年前的“周髀算经”和“九章算术”都谈到算术级数和几何级数。十四世纪初中国元代朱世杰的级数计算应给予很高的评价，他的有些工作欧洲在十八、九世纪的著作内才有记录。十一世纪时代，中国已有完备的二项式系数表，并且还有这表的编制方法。 历史文献揭示出在计算中有名的盈不足术是由中国传往欧洲的。 内插法的计算，中国可上溯到六世纪的刘焯，并且七世纪末的僧一行有不等间距的内插法计算。 十四世纪以前，属于代数方面许多问题的研究，中国是先进国家之一。 就是到十八，九世纪由李锐(1773—1817)，汪莱(1768—1813)到李善兰(1811—1882)，他们在这一方面的研究上也都发表了很多的名著。
一、函数的起源（产生） 十六、十七世纪，欧洲资本主义国家先后兴起，为了争夺霸权，迫切需要发展航海和军火工业。为了发展航海事业，就需要确定船只在大海中的位置，在地球上的经纬度；要打仗，也需知道如何使炮弹打的准确无误等问题， 这就促使了人们对各种“运动”的研究，对各种运动中的数量关系进行研究，这就为函数概念的产生提供了客观实际需要的基础。 十七世纪中叶，笛卡儿（Descartes）引入变数（变量）的概念，制定了解析几何学，从而打破了局限于方程的未知数的理解；后来，牛顿（ Newton）、莱布尼兹（Leibniz）分别独立的建立了微分学说。这期间，随着数学内容的丰富，各种具体的函数已大量出现，但函数还未被给出一个一般的定义。牛顿于 1665年开始研究微积分之后，一直用“流量”（ fluent）一词来表示变量间的关系。 1673年，莱布尼兹在一篇手稿里第一次用“函数”（ fluent）这一名词，他用函数表示任何一个随着曲线上的点的变动而变动的量。（定义1）这可以说是函数的第一个“定义”。例如，切线，弦，法线等长度和横、纵坐标，后来，又用这个名词表示幂，即表示 x , x2, x3,…。显然，“函数”这个词最初的含义是非常的模糊和不准确的。 人们是不会满足于这样不准确的概念，数学家们纷纷对函数进行进一步讨论。 二、函数概念的发展与完善⒈以“变量”为基础的函数概念 在 1718年，瑞士科学家，莱布尼兹的学生约翰·贝奴里（Bernoulli,Johann）给出了函数的明确定义：变量的函数是由这些变量与常量所组成的一个解析表达式。（定义2）并在此给出了函数的记号φx。这一定义使得函数第一次有了解析意义。 十八世纪中叶，著名的数学家达朗贝尔 （D’Alembert）和欧拉（ Euler）在研究弦振动时，感到有必要给出函数的一般定义。达朗贝尔认为函数是指任意的解析式，在 1748年欧拉的定义是：函数是随意画出的一条曲线。（定义 3）在此之前的 1734年，欧拉也给出了一种函数的符号f(x),这个符号我们一直沿用至今。 实际上，这两种定义（定义 1和定义 2）就是现在通用的函数的两种表示方法：解析法和图像法。后来，由于富里埃级数的出现，沟通了解析式与曲线间的联系，但是用解析式来定义函数，显然是片面的，因为有很多函数是没有解析式的,如狄利克雷函数。 1775年，欧拉在《微分学原理》一书的前言中给出了更广泛的定义：如果某些变量，以这样一种方式依赖与另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之而变化，则将前面的变量称为后面变量的函数。（定义 4）这个定义朴素地反映了函数中的辨证因素，体现了“自变”到“因变”的生动过程 ,但未提到两个变量之间的对应关系，因此它并未反映出真正意义上的科学函数概念的特征，只是科学的定义函数概念的“雏形”。 函数是从研究物体运动而引出的一个概念，因此前几种函数概念的定义只是认识到了变量“变化”的关系，如自由落体运动下降的路程，单摆运动的幅角等都可以是看成时间的函数。很明显，只从运动中变量“变化”观点来理解函数，对函数概念的了解就有一定的局限性。如对常值函数 ,不解释 十九世纪初，拉克若斯（ Lacroix）正式提出只要有一个变量依赖另一个变量，前者就是后者的函数。 1834年 ,俄国数学家罗巴契夫斯基（Лобачевский）进一步提出函数的定义： x的函数是这样的一个数，它对于每一个 x都有确定的值，并且随着 x一起变化，函数值可以由解析式给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法，函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的。（定义 5）这实际是“列表定义”，好像有一个“表格”，其中一栏是 x值，另一栏是与它相对应的 y值。这个定义指出了对应关系（条件）的必要性，把函数的“对应”思想表现出来，而“对应”概念正是函数概念的本质与核心。 十九世纪法国数学家柯西（ Cauchy）更明确的给出定义：有两个互相联系的变量，一个变量的数值可以在某一范围内任意变化，这样的变量叫做自变量，另一个变量的数值随着自变量的数值而变化，这个变量称为因变量，并且称因变量为自变量的函数。（定义 6） 1829年 ,狄利克雷（ Dirichlet）给出了所谓狄利克雷函数： y=1 当 x为有理数时； y=0 当 x为无理数时。这个函数并不复杂，但不能用解析式来表示，这一思想的提出，正是数学由过去的研究“算”到以后研究“概念、性质、结构”的转变的开端。 1837年他对函数下的定义是：在某个变化过程中，有两个变量 x和 y。如果对于 x在某一范围内的每一个确定的值，按照某个对应关系， y都有唯一确定值和它对应，则 y称为 x的函数； x称为自变量。（定义 7）这个定义的优点是直截了当地强调与突出了“对应”关系,抓住了概念的本质属性，只须有一个法则存在，使得这个函数定义域中的每一个值有一个确定的 y值和它对应就行了，不管这个法则是公式或图像或表格或其他形式;其缺点是把生动的函数变化思想省略和简化掉了。 ⒉以“集合”为基础的函数概念 函数的概念是随着数学的发展而发展的。函数的定义在数学的发展过程中，不断的改进，不断的抽象，不断的完善。十九世纪七十年代，德国数学家康托（ ）提出了集合论。进入二十世纪后，伴随着集合论的发展，函数的概念也取得了新的进展，它终于摆脱了数域的束缚向更广阔的研究领域扩大，使概念获得了现代化。 二十世纪初美国数学家维布伦（ Weblan）给出了函数的如下定义：若在变量 y的集合与另一变量 x的集合之间，有这样的关系成立，即对 x的每一个值，有完全确定的 y值与之对应，则称 y是变量 x的函数。（定义 8）从这个定义开始，函数概念已把基础建立在集合上面，而前七个定义则是把基础建立在变量（数）上的。 随着时间的推移，函数便被明确的定义为集合之间的对应关系，其定义是： A和 B是两个集合，如果按照某种对应关系，使 A的任何一个元素在 B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应关系成为从集合 A到集合 B的函数。（定义 9）此定义根据映射的概念，用“映射”观点建立函数概念，其又可叙述为：从集合 A到集合 B的映射 f： A→ B称为集合 A到集合 B的函数，简称函数 f 。（定义 10）以上三个定义，已打破数域的束缚，将集合中的元素改为抽象的，可以是数，也可以不是数，而是其它一切有形或无形的东西，如 X是所有三角形的集合， Y是所有圆的集合，则 f 可以是把每一个三角形映射成它的外接圆的映射。 对新函数定义可以这样理解：函数是一个对应（规则），对于某一范围（集合）的元素，按照这个对应（规则）确定另一个元素。这样函数概念从狭义的“变化”观点转化到较广义的“对应”观点,函数即是一个对应（规则）。 对函数概念用“对应”（“规则”）来理解比起最初阶段虽然揭示出了函数概念的实质，但它还不符合我们最低限度地使用未被定义的术语的意图。因为什么叫“对应”和怎样理解“规则”还需要定义，例如规则不同，那么是否函数也不同呢？如f(x)=x与f(x)=(1+x)-1当然是不同的规则但却定义了同一函数。 为了解决这一矛盾，二十世纪初，特别是在六十年代以后，广泛采用只涉及“集合”这一概念的函数定义，而集合作为原始概念是不予定义的，这样的定义是：设 A、 B是任意两个集合， f是笛卡儿集 A× B的一个子集，满足：①对任意的 a ∈ A，存在一个 b∈B，使得 (a,b)∈ f，②若 (a,b)∈ f， (a,c)∈ f则 b=c。则称 f为 A到 B的一个函数。记作 f:A→B。（定义11）这个定义利用“关系”这个概念，便给出了只涉及原始概念“集合”的函数的一般定义，即不需要用到“对应”，又避免了对“规则”的解释，只要集合理论适用一切数学领域，这样给出的函数定义总是适用的。它可称的上是最现代的定义了。 到此，“函数”最完善的定义（定义 11）已给出，作为数学中最基本的概念之一，已把基础直接建立在集合上面，即把函数看作是从一个集合到另一个集合的对应，它和“映射”实际上是一回事。 三、新旧两种定义的比较 比较新定义（把以集合为基础的函数定义称为新的定义方式，而以变量（数）为基础的定义称为旧的定义方式。）和旧定义，它们之间有两个重要的区别： ⑴旧定义是建立在“变量”这个基本概念上的，而新定义则建立在“集合”这个基本概念上。什么是变量呢？通常把它理解为在选定一个单位以后，可加以度量的东西，如长度、质量、时间之类，这种理解一方面太疏于笼统，只能通过举例来说明，而难于加以精确化；另一方面，由于涉及大小关系，嫌过于狭窄，无法体现应用上的普遍性。其次，即使什么是“量”的问题不存在，作为变量，它须在某一范围取值（不一定是数值），这一定范围实际上就是事先得假定的一个集合 A（它构成函数的定义域），所谓“变量取值 a”，实质上就是“ a属于 A”的一种变相迂回的说法。可见，在变量的概念中已蕴含集合的思想。 ⑵旧定义中以“因变量”为函数，而新定义中则以“对应关系”为函数。函数概念的实质，主要的并不是因变量要随自便量“变”，而是两集合之间存在某种确定的对应关系。显然，新定义更能直接地揭示出函数的实质。
骨笛遐想——浅析小提琴发声、调音的物理原理一．选题意义据我国最早的物理史学家吴南薰先生考证，世界上第一个人工制作的物理仪器就是在兽骨或竹管上挖孔并能吹出声音来的笛子。这既是一种乐器，也是一种声学仪器；我国古代对共鸣、弦的振动、管的音调的研究等都是通过乐器来进行的；希腊哲学家毕达哥拉斯发现了琴弦的长短与音高有一定的关系；从近代物理学发展来看，声学依旧占据着相当重要的部分，且与我们的生活息息相关；……许多同学都会演奏一些乐器，但对于弦乐器的调试却无从下手。我们结合已经学过的振动学知识，浅析西洋擦弦乐器——小提琴的发声原理，并为演奏者检音、调试提供理论依据和实验结果参考。二．相关物理知识实际的乐音由基频、谐波（泛音）、分音三部分组成。每一个乐音即周期性的振动都可以分解为许多不同频率、不同相位、不同振幅的简谐振动的叠加。简单的简谐振动即正弦振动或余弦振动的传播产生的声波叫做纯音，实际的乐音如歌唱声、乐器声等都不是简单的纯音，而是许多的纯音的叠加。在这些简谐振动中，频率最低的叫做基频，基频的能量往往是最大的。频率是基频整数倍的叫做谐波，其余的高频振动叫做分音。现代的分析中表明，还有低于基频的次声。因此，从物理上讲，音乐声应由三部分组成：乐音、在音乐中使用的噪声（如锣、鼓、沙锤、梆子等没有固定音调的打击乐器和海涛、流水、风声等效果声音）以及对音色有影响的在谐波中存在的一部分超声。一般来说，发生体振动的频率越高，人们听起来音调也越高；发生体的振动频率越低，人们听起来音调就越低。但音调与频率之间并不是严格按比例对应的。一般认为，频率每增高一倍，音调听起来就高一个八度，这仅仅限于中频段。在高音部分，听感偏低，即频率增加一倍，听起来不到高八度，而是偏低，于是要把频率调高些，以适应人的听觉。低音段则听感偏高，于是需要把频率调低些。乐音听起来有一定的强弱，即音的响度，这是乐音的第二个主观量。声音的能量越大，声强越大，听起来响度就越大。但是，这二者也不是按比例一一对应的。至于音色，更是一种主观感觉了。从传统来讲，决定音色的主要因素是频谱，所以常常根据频谱模仿各种音色。但据资料显示，实践表明：音的起始与结尾的瞬间状况，即“音头”和“音尾”，也同音色大有关系。音色不仅与频谱的组成（即基频、谐波和分音的数目、长短、相对强度、分音的不谐和程度及瞬态）有关，还与基频和谐波在听音区的位置有关，这是由于人耳对于多种频率的响度反映不同。音色也与听者距声源的距离有关，这是因为一个音中的各种成分的衰减不同。三．相关音乐知识音程，就是两个音音高之间的距离。在音乐上，音程用“度”表示。几度就是把起始音算在内，沿着音阶数有几个音名。钢琴上相邻两个键（包括黑键）之间差半音，两个半音等于一个全音。这也是一种表示音程的方法。音程与频率基本上是一一对应的关系。把两个相差八度音程之间的音顺次排列，就成为音阶。规定音阶中各个音的由来及其精确音高的数学方法叫做律制。最常用的三种律制是十二平均律、五度相生律和纯律。音阶中的各个音都有音名，由于生律的方法不同，不同律制生成音律中的同名音（例如都是 ）其频率是不一样的。十二平均律是我国明代科学家朱载堉最先发明的，比西欧早了几十年。他将一个八度音程（频率比为2）按等比数列均分为十二份，得十二律。当前的钢琴和所有键盘乐器以及带“品”的弦乐器等，用的都是这种律制。数学表示：相邻两音之间的频率比均为： 即从任何一个音开始，比该音高半音的音，其频率是该音的频率乘 ；比该音低半音的音，其频率是该音的频率乘 ；以此类推，可得出所有音的频率。十二平均律有许多优点，比如它易于转调，简化了不同调的升、降半音之间的关系。在小提琴中，假如以 音的弦长为基准，那么小字一组（其中的 比 高两个八度） 、 、 、 、 、 、 对应的弦长之间按照十二平均律可由频率关系确定一组固定比值。四．研究与实验小提琴的弦是一根两端固定的细钢丝。在拨、擦弦线时产生的波列经两固定端反射，叠加后形成驻波，但其中包含有许多频率的波。在这里，我们只对决定音调高低的基频振动做出分析研究。驻波的基频振动所对应的为波长最长的振动，即弦长 。提琴弦线与指板之间的距离很小，用手指在指板上压紧琴弦不同位置而使得弦产生的形变量很小，可以忽略不计。则可认为弦上张力 ，及弦的质量线密度 保持不变，可得弦线中波速 近似恒定。因此，可认为有如下比例关系成立： 实验过程：一把小提琴，经专业乐师调音后，定下 音，再由一位有多年演奏经验的同学拨奏单音，多位乐感敏锐、受过专业训练的同学一起听辨，配合其他乐器校对各音高。记录及计算数据如下表。表中的k值定义如下：相差一个半音的两个音高对应 相差一个全音的两个音高对应 序号n 音高音名 比下音程差 弦长/mm 总长： 上述k值 第一次 第二次 第三次 平均值 计算值 理论值 误差率1 全音 全音 半音 全音 全音 全音 半音 其中弦长一栏为小提琴 弦（四根弦由粗到细依次叫作 、 、 、 弦，指的是该弦的空弦音）上对应各音高压指与琴码两固定点之间的距离，即参加振动的部分弦长。如上数据显示，平均误差率为，基本符合前文理论分析。五．结论我们总结出对于一把小提琴（邻弦相差五度）的自我调试方法：以一根弦，例如 弦，的空弦音 为标准，按音高关系计算出同一根弦上 所对应的弦的长度。取 音高即与 弦空弦音等高（这是小提琴的制作要求）。依次调整 弦的松紧、长度后，再算出 弦上 的音高，作为 弦的空弦音。……同理进行下去。此种方法适用于各类提琴及吉他等擦、拨弦乐器，但须注意：①对于比空弦音高出许多的音，计算方法误差较大。实验中在一根弦上进行多组数据测量只是为了便于计算、对比，得出结论；实际操作中应对各相邻琴弦依次校对。②大提琴与吉他相邻的弦空弦音相差四度，计算时应注意数据与小提琴不同。希望我们的研究能够对广大演奏弦乐器的音乐爱好者提供帮助。
比如说示波器的参数以及实际频率的大小，说白了就是你所选用的示波器能不能满足你的需求的问题，要不然会产生混淆的问题。
偏微分方程是包含未知函数的偏导数(或偏微分)的方程。
方程中所出现未知函数偏导数的最高阶数，称为该方程的阶。
在数学、物理及工程技术中应用最广泛的，是二阶偏微分方程，习惯上把这些方程称为数学物理方程。
偏微分方程起源：
微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。不过这些著作当时没有引起多大注意。
1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。
和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利也研究了数学物理方面的问题，提出了解弹性系振动问题的一般方法，对偏微分方程的发展起了比较大的影响。拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程，丰富了这门学科的内容。
偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪，那时候，数学物理问题的研究繁荣起来了，许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。
这里应该提一提法国数学家傅立叶，他年轻的时候就是一个出色的数学学者。在从事热流动的研究中，写出了《热的解析理论》，在文章中他提出了三维空间的热方程，也就是一种偏微分方程。他的研究对偏微分方程的发展的影响是很大的。
引言 偏微分方程跟常微分方程一样，是数学家在研究物理问题时发明的，例如把位移看作以时间和距离为变量的函数，就得到了偏微分方程。科学家考察了弦乐在空气中的传播，又处理了号角、管风琴、铃、鼓等声音。用物理术语来说，空气是一种可压缩的流体（液体是不可压缩的流体），流体动力学研究流体的运动规律以及波在流体中的传播，也使用了偏微分方程。 18世纪数学家继续研究不同形状的物体产生万有引力的问题，虽然基本与三重积分有关，但拉普拉斯把它变为偏微分方程的问题。 波动方程 欧拉1734年提出过特殊的偏微分方程，但偏微分方程的价值首次体现在弦振动问题。1746年达朗贝尔（1717-1783）提议证明无穷种曲线的振动。上一章弦振动的弦被看作连接n个等间隔载荷的柔软弹性绳，为了处理连续弦，将载荷视作无穷个，大小和质量都减小，使总质量趋近弦质量，当时取极限存在数学上的问题，不过被大家忽略了。上章中约翰伯努利按离散载荷处理弦振动，得到了第i个载荷的位移。达朗贝尔引入时间t和距离x变量，用Δx代替了l/n，得到了一维波动方程 。因为弦两端固定，弦上各点初始速度为0，有边界条件：y(t,0)=0,y(t,l)=0和初始条件：y(0,x)=f(x),t=0时δy(t,x)/δt=0。他首先证明y(t,x)=1/2Φ(at+x)+1/2ψ(at-x)即偏微分方程的解是(at+x)函数与(at-x)函数之和，代入边界、初始、周期性条件，最后得到y(t,x)=1/2Φ(at+x)-1/2Φ(at-x)。 看了达朗贝尔的论文后，欧拉沿用了他的方法研究弦振动，但他认为还可以有其他函数作为初始曲线/偏微分方程的解（比如随手乱画的曲线下方面积，现在认为是有间断导数的连续函数），曲线的定义就是Φ(x+2l)=Φ(x)，在每个2l区间内重复曲线到无穷远。1755年他给函数下了一个新定义：如果某些量依赖于其他量，当后者改变时它发生变化，则称前者为后者的函数。”取代了18世纪的标准看法：函数由单一的解析表达式给出。欧拉认为振动弦不管咋动都是关于时间的周期运动。 欧拉和达朗贝尔的分歧是：他允许一切种类的初始曲线，包括非分析解，而达朗贝尔只接受解析的初始曲线。欧拉引入不连续函数时意识到前面大有可为，写信给达朗贝尔称：考虑不服从连续性（解析性）法则的函数，开辟了一个新的领域。 丹尼尔伯努利（1700-1782）以另一种形式解答弦振动问题，引发了另一场关于可允许解的讨论。丹尼尔伯努利是约翰伯努利的儿子，在圣彼得堡当过数学教授，在巴塞尔教过医学、形而上学和自然哲学。他主攻流体动力学和弹性力学，1760年他还通过实验发现了静电荷的引力规律（即库仑定律）。上章提到丹尼尔研究声音振动模式，从物理上说明基因和高次谐音能同时存在（小谐振共存），他看了达朗贝尔和欧拉的论文后再次断言振动弦的各种模式能同时共存，说这就是欧拉和达朗贝尔抽象理论的实际内容，此外他认为任何初始曲线可表示为 ，即弦上质点的运动是正弦周期的和，但他未从数学上证明。 欧拉反驳说咋会呢，除非正弦级数能表示所有函数，咱这初始曲线不需要连续性，也不需要什么解析式。欧拉还说麦克劳林级数不能表示为任意函数，所以无穷正弦级数也不能表示为任意函数，伯努利说的三角级数是特解，这个他老早求过了。达朗贝尔不同意伯努利也不同意欧拉，他认为函数必须二次可微。仨人吵了十年没统一意见，因为问题实质是能用傅里叶级数表示的函数范围（傅里叶：再等下我马上出生了）。 1759年拉格朗日加入争论，他批评欧拉的方法，但赞同初始曲线是任意的，经过了一系列奇怪的步骤后他成功地错过了发现傅里叶级数，然后得到了跟欧拉、达朗贝尔一致的结论（就是说没啥意义）。欧拉和达朗贝尔批评拉格朗日的数学细节（那不然呢，你们结论不是一致的吗），不过欧拉还是鼓励了拉格朗日的技巧。1779年拉普拉斯加入争论，支持了达朗贝尔。因为大家的论据都不完全正确，所以没啥说服力。 在这个问题上最奇怪的一点是：当时这些人都知道非周期函数在一定周期内能表示成三角级数，克莱罗、欧拉、丹尼尔都发表过求三角级数系数的公式，欧拉、达朗贝尔、拉格朗日离傅里叶级数就差临门一脚了，不知为啥很自然地绕开了正确答案。 当时还有个问题：对常微分来说如果系数解析，解也是解析的，但对偏微分方程，系数解析能有非解析解。虽然欧拉正确指出具有角点的解是允许的，但很久以后才确定偏微分方程的解可允许的奇性。
系统误差，实验误差系统误差。
表明弦线振动的基频和弦长S成反比，和拉力F的平方根成正比。总的来说误差产生分为两部分，系统误差，实验误差系统误差，主要是实验的一起和环境带来的，就像1楼说的需要真空实验弦长长度的精确度，这是不可避免的。
假如引起振动的频率比较复杂的话（比如是一个冲击或者是一个宽频振动）一个系统一般会“挑出”其共振频率随此频率振动，事实上一个系统会将其它频率过滤掉。
扩展资料：
误区解析
固有频率是某种物质特有的固定震动频率。我们知道，每种物质都会震动。但因为物质中微观粒子的差异性，每种物质的频率都不同。物质在一定频率的外力作用下会以该外力的频率震动，在物理学上叫受迫震动。
但因为会消耗能量，所以受迫震动的振幅会变小。当外力的频率与物质的固有频率相同时，振幅会达到最大。也就是发生了共振！这也就是共振频率。
可怜的娃们、我弟今天也编这个这。还让我帮他办报纸，我就汗死
弦线振动实验必须在真空环境下完成，可这是理想化的，所以普通实验会因为空气阻力原因而有误差，实验误差，拨弦的方式和计算机采样的步数等也是产生误差的原因。
从误差产生的来源看，误差可分系统误差和偶然误差。对误差的分析首先应分清是系统误差还是偶然误差，系统误差对多次测量值的影响可能是相同的，偶然误差对多次测量值的影响是不同的。从分析数据的观点看，误差分为绝对误差和相对误差。
扩展资料：
相对误差等于绝对误差 与真实值 之比，一般用百分数表示，它反映了实验结果的准确程度。
绝对误差只能判别一个测量结果的精确度，比较两个测量值的准确度则必须用相对误差。
误差按表示形式分为绝对误差和相对误差：
（1）绝对误差：指某测量值的测得值和真值之间的差值。通常简称为误差。其表达式为：绝对误差=测得值-真值（真值常用约定真值来表示）
（2）相对误差：指绝对误差与被测量真值之比。其表达式为：相对误差=绝对误差/真值×100%
参考资料来源：百度百科-绝对误差