比如说示波器的参数以及实际频率的大小，说白了就是你所选用的示波器能不能满足你的需求的问题，要不然会产生混淆的问题。
偏微分方程是包含未知函数的偏导数(或偏微分)的方程。
方程中所出现未知函数偏导数的最高阶数，称为该方程的阶。
在数学、物理及工程技术中应用最广泛的，是二阶偏微分方程，习惯上把这些方程称为数学物理方程。
偏微分方程起源：
微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。不过这些著作当时没有引起多大注意。
1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。
和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利也研究了数学物理方面的问题，提出了解弹性系振动问题的一般方法，对偏微分方程的发展起了比较大的影响。拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程，丰富了这门学科的内容。
偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪，那时候，数学物理问题的研究繁荣起来了，许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。
这里应该提一提法国数学家傅立叶，他年轻的时候就是一个出色的数学学者。在从事热流动的研究中，写出了《热的解析理论》，在文章中他提出了三维空间的热方程，也就是一种偏微分方程。他的研究对偏微分方程的发展的影响是很大的。
引言 偏微分方程跟常微分方程一样，是数学家在研究物理问题时发明的，例如把位移看作以时间和距离为变量的函数，就得到了偏微分方程。科学家考察了弦乐在空气中的传播，又处理了号角、管风琴、铃、鼓等声音。用物理术语来说，空气是一种可压缩的流体（液体是不可压缩的流体），流体动力学研究流体的运动规律以及波在流体中的传播，也使用了偏微分方程。 18世纪数学家继续研究不同形状的物体产生万有引力的问题，虽然基本与三重积分有关，但拉普拉斯把它变为偏微分方程的问题。 波动方程 欧拉1734年提出过特殊的偏微分方程，但偏微分方程的价值首次体现在弦振动问题。1746年达朗贝尔（1717-1783）提议证明无穷种曲线的振动。上一章弦振动的弦被看作连接n个等间隔载荷的柔软弹性绳，为了处理连续弦，将载荷视作无穷个，大小和质量都减小，使总质量趋近弦质量，当时取极限存在数学上的问题，不过被大家忽略了。上章中约翰伯努利按离散载荷处理弦振动，得到了第i个载荷的位移。达朗贝尔引入时间t和距离x变量，用Δx代替了l/n，得到了一维波动方程 。因为弦两端固定，弦上各点初始速度为0，有边界条件：y(t,0)=0,y(t,l)=0和初始条件：y(0,x)=f(x),t=0时δy(t,x)/δt=0。他首先证明y(t,x)=1/2Φ(at+x)+1/2ψ(at-x)即偏微分方程的解是(at+x)函数与(at-x)函数之和，代入边界、初始、周期性条件，最后得到y(t,x)=1/2Φ(at+x)-1/2Φ(at-x)。 看了达朗贝尔的论文后，欧拉沿用了他的方法研究弦振动，但他认为还可以有其他函数作为初始曲线/偏微分方程的解（比如随手乱画的曲线下方面积，现在认为是有间断导数的连续函数），曲线的定义就是Φ(x+2l)=Φ(x)，在每个2l区间内重复曲线到无穷远。1755年他给函数下了一个新定义：如果某些量依赖于其他量，当后者改变时它发生变化，则称前者为后者的函数。”取代了18世纪的标准看法：函数由单一的解析表达式给出。欧拉认为振动弦不管咋动都是关于时间的周期运动。 欧拉和达朗贝尔的分歧是：他允许一切种类的初始曲线，包括非分析解，而达朗贝尔只接受解析的初始曲线。欧拉引入不连续函数时意识到前面大有可为，写信给达朗贝尔称：考虑不服从连续性（解析性）法则的函数，开辟了一个新的领域。 丹尼尔伯努利（1700-1782）以另一种形式解答弦振动问题，引发了另一场关于可允许解的讨论。丹尼尔伯努利是约翰伯努利的儿子，在圣彼得堡当过数学教授，在巴塞尔教过医学、形而上学和自然哲学。他主攻流体动力学和弹性力学，1760年他还通过实验发现了静电荷的引力规律（即库仑定律）。上章提到丹尼尔研究声音振动模式，从物理上说明基因和高次谐音能同时存在（小谐振共存），他看了达朗贝尔和欧拉的论文后再次断言振动弦的各种模式能同时共存，说这就是欧拉和达朗贝尔抽象理论的实际内容，此外他认为任何初始曲线可表示为 ，即弦上质点的运动是正弦周期的和，但他未从数学上证明。 欧拉反驳说咋会呢，除非正弦级数能表示所有函数，咱这初始曲线不需要连续性，也不需要什么解析式。欧拉还说麦克劳林级数不能表示为任意函数，所以无穷正弦级数也不能表示为任意函数，伯努利说的三角级数是特解，这个他老早求过了。达朗贝尔不同意伯努利也不同意欧拉，他认为函数必须二次可微。仨人吵了十年没统一意见，因为问题实质是能用傅里叶级数表示的函数范围（傅里叶：再等下我马上出生了）。 1759年拉格朗日加入争论，他批评欧拉的方法，但赞同初始曲线是任意的，经过了一系列奇怪的步骤后他成功地错过了发现傅里叶级数，然后得到了跟欧拉、达朗贝尔一致的结论（就是说没啥意义）。欧拉和达朗贝尔批评拉格朗日的数学细节（那不然呢，你们结论不是一致的吗），不过欧拉还是鼓励了拉格朗日的技巧。1779年拉普拉斯加入争论，支持了达朗贝尔。因为大家的论据都不完全正确，所以没啥说服力。 在这个问题上最奇怪的一点是：当时这些人都知道非周期函数在一定周期内能表示成三角级数，克莱罗、欧拉、丹尼尔都发表过求三角级数系数的公式，欧拉、达朗贝尔、拉格朗日离傅里叶级数就差临门一脚了，不知为啥很自然地绕开了正确答案。 当时还有个问题：对常微分来说如果系数解析，解也是解析的，但对偏微分方程，系数解析能有非解析解。虽然欧拉正确指出具有角点的解是允许的，但很久以后才确定偏微分方程的解可允许的奇性。
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古代方程发展史中国古代是一个在世界上数学领先的国家，用近代科目来分类的话，可以看出无论在算术、代数、几何和三角各方而都十分发达。现在就让我们来简单回顾一下初等数学在中国发展的历史。 (一)属于算术方面的材料 大约在3000年以前中国已经知道自然数的四则运算，这些运算只是一些结果，被保存在古代的文字和典籍中。乘除的运算规则在后来的“孙子算经”(公元三世纪)内有了详细的记载。中国古代是用筹来计数的，在我们古代人民的计数中，己利用了和我们现在相同的位率，用筹记数的方法是以纵的筹表示单位数、百位数、万位数等；用横的筹表示十位数、千位数等，在运算过程中也很明显的表现出来。“孙子算经”用十六字来表明它，“一从十横，百立千僵，千十相望，万百相当。” 和其他古代国家一样，乘法表的产生在中国也很早。乘法表中国古代叫九九，估计在2500年以前中国已有这个表，在那个时候人们便以九九来代表数学。现在我们还能看到汉代遗留下来的木简(公元前一世纪)上面写有九九的乘法口诀。 现有的史料指出，中国古代数学书“九章算术”(约公元一世纪前后)的分数运算法则是世界上最早的文献，“九章算术”的分数四则运算和现在我们所用的几乎完全一样。 古代学习算术也从量的衡量开始认识分数，“孙子算经”(公元三世纪)和“夏候阳算经”(公元六、七世纪)在论分数之前都开始讲度量衡，“夏侯阳算经”卷上在叙述度量衡后又记着：“十乘加一等，百乘加二等，千乘加三等，万乘加四等；十除退一等，百除退二等，千除退三等，万除退四等。”这种以十的方幂来表示位率无疑地也是中国最早发现的。 小数的记法，元朝(公元十三世纪)是用低一格来表示，如作1356 。在算术中还应该提出由公元三世纪“孙子算经”的物不知数题发展到宋朝秦九韶(公元1247年)的大衍求一术，这就是中国剩余定理，相同的方法欧洲在十九世纪才进行研究。 宋朝杨辉所著的书中(公元1274年)有一个1—300以内的因数表，例如297用“三因加一损一”来代表，就是说297=3×11×9，(11＝10十1叫加一，9＝10—1叫损一)。杨辉还用“连身加”这名词来说明201—300以内的质数。 (二)属于代数方面的材料 从“九章算术”卷八说明方程以后，在数值代数的领域内中国一直保持了光辉的成就。 “九章算术”方程章首先解释正负术是确切不移的，正象我们现在学习初等代数时从正负数的四则运算学起一样，负数的出现便丰富了数的内容。 我们古代的方程在公元前一世纪的时候已有多元方程组、一元二次方程及不定方程几种。一元二次方程是借用几何图形而得到证明。 不定方程的出现在二千多年前的中国是一个值得重视的课题，这比我们现在所熟知的希腊丢番图方程要早三百多年。具有x3+px2+qx=A和x3+px2=A形式的三次方程，中国在公元七世纪的唐代王孝通“缉古算经”已有记载，用“从开立方除之”而求出数字解答(可惜原解法失传了)，不难想象王孝通得到这种解法时的愉快程度，他说谁能改动他著作内的一个字可酬以千金。 十一世纪的贾宪已发明了和霍纳(1786—1837)方法相同的数字方程解法，我们也不能忘记十三世纪中国数学家秦九韶在这方面的伟大贡献。 在世界数学史上对方程的原始记载有着不同的形式，但比较起来不得不推中国天元术的简洁明了。四元术是天元术发展的必然产物。 级数是古老的东西，二千多年前的“周髀算经”和“九章算术”都谈到算术级数和几何级数。十四世纪初中国元代朱世杰的级数计算应给予很高的评价，他的有些工作欧洲在十八、九世纪的著作内才有记录。十一世纪时代，中国已有完备的二项式系数表，并且还有这表的编制方法。 历史文献揭示出在计算中有名的盈不足术是由中国传往欧洲的。 内插法的计算，中国可上溯到六世纪的刘焯，并且七世纪末的僧一行有不等间距的内插法计算。 十四世纪以前，属于代数方面许多问题的研究，中国是先进国家之一。 就是到十八，九世纪由李锐(1773—1817)，汪莱(1768—1813)到李善兰(1811—1882)，他们在这一方面的研究上也都发表了很多的名著。
一、函数的起源（产生） 十六、十七世纪，欧洲资本主义国家先后兴起，为了争夺霸权，迫切需要发展航海和军火工业。为了发展航海事业，就需要确定船只在大海中的位置，在地球上的经纬度；要打仗，也需知道如何使炮弹打的准确无误等问题， 这就促使了人们对各种“运动”的研究，对各种运动中的数量关系进行研究，这就为函数概念的产生提供了客观实际需要的基础。 十七世纪中叶，笛卡儿（Descartes）引入变数（变量）的概念，制定了解析几何学，从而打破了局限于方程的未知数的理解；后来，牛顿（ Newton）、莱布尼兹（Leibniz）分别独立的建立了微分学说。这期间，随着数学内容的丰富，各种具体的函数已大量出现，但函数还未被给出一个一般的定义。牛顿于 1665年开始研究微积分之后，一直用“流量”（ fluent）一词来表示变量间的关系。 1673年，莱布尼兹在一篇手稿里第一次用“函数”（ fluent）这一名词，他用函数表示任何一个随着曲线上的点的变动而变动的量。（定义1）这可以说是函数的第一个“定义”。例如，切线，弦，法线等长度和横、纵坐标，后来，又用这个名词表示幂，即表示 x , x2, x3,…。显然，“函数”这个词最初的含义是非常的模糊和不准确的。 人们是不会满足于这样不准确的概念，数学家们纷纷对函数进行进一步讨论。 二、函数概念的发展与完善⒈以“变量”为基础的函数概念 在 1718年，瑞士科学家，莱布尼兹的学生约翰·贝奴里（Bernoulli,Johann）给出了函数的明确定义：变量的函数是由这些变量与常量所组成的一个解析表达式。（定义2）并在此给出了函数的记号φx。这一定义使得函数第一次有了解析意义。 十八世纪中叶，著名的数学家达朗贝尔 （D’Alembert）和欧拉（ Euler）在研究弦振动时，感到有必要给出函数的一般定义。达朗贝尔认为函数是指任意的解析式，在 1748年欧拉的定义是：函数是随意画出的一条曲线。（定义 3）在此之前的 1734年，欧拉也给出了一种函数的符号f(x),这个符号我们一直沿用至今。 实际上，这两种定义（定义 1和定义 2）就是现在通用的函数的两种表示方法：解析法和图像法。后来，由于富里埃级数的出现，沟通了解析式与曲线间的联系，但是用解析式来定义函数，显然是片面的，因为有很多函数是没有解析式的,如狄利克雷函数。 1775年，欧拉在《微分学原理》一书的前言中给出了更广泛的定义：如果某些变量，以这样一种方式依赖与另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之而变化，则将前面的变量称为后面变量的函数。（定义 4）这个定义朴素地反映了函数中的辨证因素，体现了“自变”到“因变”的生动过程 ,但未提到两个变量之间的对应关系，因此它并未反映出真正意义上的科学函数概念的特征，只是科学的定义函数概念的“雏形”。 函数是从研究物体运动而引出的一个概念，因此前几种函数概念的定义只是认识到了变量“变化”的关系，如自由落体运动下降的路程，单摆运动的幅角等都可以是看成时间的函数。很明显，只从运动中变量“变化”观点来理解函数，对函数概念的了解就有一定的局限性。如对常值函数 ,不解释 十九世纪初，拉克若斯（ Lacroix）正式提出只要有一个变量依赖另一个变量，前者就是后者的函数。 1834年 ,俄国数学家罗巴契夫斯基（Лобачевский）进一步提出函数的定义： x的函数是这样的一个数，它对于每一个 x都有确定的值，并且随着 x一起变化，函数值可以由解析式给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法，函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的。（定义 5）这实际是“列表定义”，好像有一个“表格”，其中一栏是 x值，另一栏是与它相对应的 y值。这个定义指出了对应关系（条件）的必要性，把函数的“对应”思想表现出来，而“对应”概念正是函数概念的本质与核心。 十九世纪法国数学家柯西（ Cauchy）更明确的给出定义：有两个互相联系的变量，一个变量的数值可以在某一范围内任意变化，这样的变量叫做自变量，另一个变量的数值随着自变量的数值而变化，这个变量称为因变量，并且称因变量为自变量的函数。（定义 6） 1829年 ,狄利克雷（ Dirichlet）给出了所谓狄利克雷函数： y=1 当 x为有理数时； y=0 当 x为无理数时。这个函数并不复杂，但不能用解析式来表示，这一思想的提出，正是数学由过去的研究“算”到以后研究“概念、性质、结构”的转变的开端。 1837年他对函数下的定义是：在某个变化过程中，有两个变量 x和 y。如果对于 x在某一范围内的每一个确定的值，按照某个对应关系， y都有唯一确定值和它对应，则 y称为 x的函数； x称为自变量。（定义 7）这个定义的优点是直截了当地强调与突出了“对应”关系,抓住了概念的本质属性，只须有一个法则存在，使得这个函数定义域中的每一个值有一个确定的 y值和它对应就行了，不管这个法则是公式或图像或表格或其他形式;其缺点是把生动的函数变化思想省略和简化掉了。 ⒉以“集合”为基础的函数概念 函数的概念是随着数学的发展而发展的。函数的定义在数学的发展过程中，不断的改进，不断的抽象，不断的完善。十九世纪七十年代，德国数学家康托（ ）提出了集合论。进入二十世纪后，伴随着集合论的发展，函数的概念也取得了新的进展，它终于摆脱了数域的束缚向更广阔的研究领域扩大，使概念获得了现代化。 二十世纪初美国数学家维布伦（ Weblan）给出了函数的如下定义：若在变量 y的集合与另一变量 x的集合之间，有这样的关系成立，即对 x的每一个值，有完全确定的 y值与之对应，则称 y是变量 x的函数。（定义 8）从这个定义开始，函数概念已把基础建立在集合上面，而前七个定义则是把基础建立在变量（数）上的。 随着时间的推移，函数便被明确的定义为集合之间的对应关系，其定义是： A和 B是两个集合，如果按照某种对应关系，使 A的任何一个元素在 B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应关系成为从集合 A到集合 B的函数。（定义 9）此定义根据映射的概念，用“映射”观点建立函数概念，其又可叙述为：从集合 A到集合 B的映射 f： A→ B称为集合 A到集合 B的函数，简称函数 f 。（定义 10）以上三个定义，已打破数域的束缚，将集合中的元素改为抽象的，可以是数，也可以不是数，而是其它一切有形或无形的东西，如 X是所有三角形的集合， Y是所有圆的集合，则 f 可以是把每一个三角形映射成它的外接圆的映射。 对新函数定义可以这样理解：函数是一个对应（规则），对于某一范围（集合）的元素，按照这个对应（规则）确定另一个元素。这样函数概念从狭义的“变化”观点转化到较广义的“对应”观点,函数即是一个对应（规则）。 对函数概念用“对应”（“规则”）来理解比起最初阶段虽然揭示出了函数概念的实质，但它还不符合我们最低限度地使用未被定义的术语的意图。因为什么叫“对应”和怎样理解“规则”还需要定义，例如规则不同，那么是否函数也不同呢？如f(x)=x与f(x)=(1+x)-1当然是不同的规则但却定义了同一函数。 为了解决这一矛盾，二十世纪初，特别是在六十年代以后，广泛采用只涉及“集合”这一概念的函数定义，而集合作为原始概念是不予定义的，这样的定义是：设 A、 B是任意两个集合， f是笛卡儿集 A× B的一个子集，满足：①对任意的 a ∈ A，存在一个 b∈B，使得 (a,b)∈ f，②若 (a,b)∈ f， (a,c)∈ f则 b=c。则称 f为 A到 B的一个函数。记作 f:A→B。（定义11）这个定义利用“关系”这个概念，便给出了只涉及原始概念“集合”的函数的一般定义，即不需要用到“对应”，又避免了对“规则”的解释，只要集合理论适用一切数学领域，这样给出的函数定义总是适用的。它可称的上是最现代的定义了。 到此，“函数”最完善的定义（定义 11）已给出，作为数学中最基本的概念之一，已把基础直接建立在集合上面，即把函数看作是从一个集合到另一个集合的对应，它和“映射”实际上是一回事。 三、新旧两种定义的比较 比较新定义（把以集合为基础的函数定义称为新的定义方式，而以变量（数）为基础的定义称为旧的定义方式。）和旧定义，它们之间有两个重要的区别： ⑴旧定义是建立在“变量”这个基本概念上的，而新定义则建立在“集合”这个基本概念上。什么是变量呢？通常把它理解为在选定一个单位以后，可加以度量的东西，如长度、质量、时间之类，这种理解一方面太疏于笼统，只能通过举例来说明，而难于加以精确化；另一方面，由于涉及大小关系，嫌过于狭窄，无法体现应用上的普遍性。其次，即使什么是“量”的问题不存在，作为变量，它须在某一范围取值（不一定是数值），这一定范围实际上就是事先得假定的一个集合 A（它构成函数的定义域），所谓“变量取值 a”，实质上就是“ a属于 A”的一种变相迂回的说法。可见，在变量的概念中已蕴含集合的思想。 ⑵旧定义中以“因变量”为函数，而新定义中则以“对应关系”为函数。函数概念的实质，主要的并不是因变量要随自便量“变”，而是两集合之间存在某种确定的对应关系。显然，新定义更能直接地揭示出函数的实质。
骨笛遐想——浅析小提琴发声、调音的物理原理一．选题意义据我国最早的物理史学家吴南薰先生考证，世界上第一个人工制作的物理仪器就是在兽骨或竹管上挖孔并能吹出声音来的笛子。这既是一种乐器，也是一种声学仪器；我国古代对共鸣、弦的振动、管的音调的研究等都是通过乐器来进行的；希腊哲学家毕达哥拉斯发现了琴弦的长短与音高有一定的关系；从近代物理学发展来看，声学依旧占据着相当重要的部分，且与我们的生活息息相关；……许多同学都会演奏一些乐器，但对于弦乐器的调试却无从下手。我们结合已经学过的振动学知识，浅析西洋擦弦乐器——小提琴的发声原理，并为演奏者检音、调试提供理论依据和实验结果参考。二．相关物理知识实际的乐音由基频、谐波（泛音）、分音三部分组成。每一个乐音即周期性的振动都可以分解为许多不同频率、不同相位、不同振幅的简谐振动的叠加。简单的简谐振动即正弦振动或余弦振动的传播产生的声波叫做纯音，实际的乐音如歌唱声、乐器声等都不是简单的纯音，而是许多的纯音的叠加。在这些简谐振动中，频率最低的叫做基频，基频的能量往往是最大的。频率是基频整数倍的叫做谐波，其余的高频振动叫做分音。现代的分析中表明，还有低于基频的次声。因此，从物理上讲，音乐声应由三部分组成：乐音、在音乐中使用的噪声（如锣、鼓、沙锤、梆子等没有固定音调的打击乐器和海涛、流水、风声等效果声音）以及对音色有影响的在谐波中存在的一部分超声。一般来说，发生体振动的频率越高，人们听起来音调也越高；发生体的振动频率越低，人们听起来音调就越低。但音调与频率之间并不是严格按比例对应的。一般认为，频率每增高一倍，音调听起来就高一个八度，这仅仅限于中频段。在高音部分，听感偏低，即频率增加一倍，听起来不到高八度，而是偏低，于是要把频率调高些，以适应人的听觉。低音段则听感偏高，于是需要把频率调低些。乐音听起来有一定的强弱，即音的响度，这是乐音的第二个主观量。声音的能量越大，声强越大，听起来响度就越大。但是，这二者也不是按比例一一对应的。至于音色，更是一种主观感觉了。从传统来讲，决定音色的主要因素是频谱，所以常常根据频谱模仿各种音色。但据资料显示，实践表明：音的起始与结尾的瞬间状况，即“音头”和“音尾”，也同音色大有关系。音色不仅与频谱的组成（即基频、谐波和分音的数目、长短、相对强度、分音的不谐和程度及瞬态）有关，还与基频和谐波在听音区的位置有关，这是由于人耳对于多种频率的响度反映不同。音色也与听者距声源的距离有关，这是因为一个音中的各种成分的衰减不同。三．相关音乐知识音程，就是两个音音高之间的距离。在音乐上，音程用“度”表示。几度就是把起始音算在内，沿着音阶数有几个音名。钢琴上相邻两个键（包括黑键）之间差半音，两个半音等于一个全音。这也是一种表示音程的方法。音程与频率基本上是一一对应的关系。把两个相差八度音程之间的音顺次排列，就成为音阶。规定音阶中各个音的由来及其精确音高的数学方法叫做律制。最常用的三种律制是十二平均律、五度相生律和纯律。音阶中的各个音都有音名，由于生律的方法不同，不同律制生成音律中的同名音（例如都是 ）其频率是不一样的。十二平均律是我国明代科学家朱载堉最先发明的，比西欧早了几十年。他将一个八度音程（频率比为2）按等比数列均分为十二份，得十二律。当前的钢琴和所有键盘乐器以及带“品”的弦乐器等，用的都是这种律制。数学表示：相邻两音之间的频率比均为： 即从任何一个音开始，比该音高半音的音，其频率是该音的频率乘 ；比该音低半音的音，其频率是该音的频率乘 ；以此类推，可得出所有音的频率。十二平均律有许多优点，比如它易于转调，简化了不同调的升、降半音之间的关系。在小提琴中，假如以 音的弦长为基准，那么小字一组（其中的 比 高两个八度） 、 、 、 、 、 、 对应的弦长之间按照十二平均律可由频率关系确定一组固定比值。四．研究与实验小提琴的弦是一根两端固定的细钢丝。在拨、擦弦线时产生的波列经两固定端反射，叠加后形成驻波，但其中包含有许多频率的波。在这里，我们只对决定音调高低的基频振动做出分析研究。驻波的基频振动所对应的为波长最长的振动，即弦长 。提琴弦线与指板之间的距离很小，用手指在指板上压紧琴弦不同位置而使得弦产生的形变量很小，可以忽略不计。则可认为弦上张力 ，及弦的质量线密度 保持不变，可得弦线中波速 近似恒定。因此，可认为有如下比例关系成立： 实验过程：一把小提琴，经专业乐师调音后，定下 音，再由一位有多年演奏经验的同学拨奏单音，多位乐感敏锐、受过专业训练的同学一起听辨，配合其他乐器校对各音高。记录及计算数据如下表。表中的k值定义如下：相差一个半音的两个音高对应 相差一个全音的两个音高对应 序号n 音高音名 比下音程差 弦长/mm 总长： 上述k值 第一次 第二次 第三次 平均值 计算值 理论值 误差率1 全音 全音 半音 全音 全音 全音 半音 其中弦长一栏为小提琴 弦（四根弦由粗到细依次叫作 、 、 、 弦，指的是该弦的空弦音）上对应各音高压指与琴码两固定点之间的距离，即参加振动的部分弦长。如上数据显示，平均误差率为，基本符合前文理论分析。五．结论我们总结出对于一把小提琴（邻弦相差五度）的自我调试方法：以一根弦，例如 弦，的空弦音 为标准，按音高关系计算出同一根弦上 所对应的弦的长度。取 音高即与 弦空弦音等高（这是小提琴的制作要求）。依次调整 弦的松紧、长度后，再算出 弦上 的音高，作为 弦的空弦音。……同理进行下去。此种方法适用于各类提琴及吉他等擦、拨弦乐器，但须注意：①对于比空弦音高出许多的音，计算方法误差较大。实验中在一根弦上进行多组数据测量只是为了便于计算、对比，得出结论；实际操作中应对各相邻琴弦依次校对。②大提琴与吉他相邻的弦空弦音相差四度，计算时应注意数据与小提琴不同。希望我们的研究能够对广大演奏弦乐器的音乐爱好者提供帮助。
系统误差，实验误差系统误差。
表明弦线振动的基频和弦长S成反比，和拉力F的平方根成正比。总的来说误差产生分为两部分，系统误差，实验误差系统误差，主要是实验的一起和环境带来的，就像1楼说的需要真空实验弦长长度的精确度，这是不可避免的。
假如引起振动的频率比较复杂的话（比如是一个冲击或者是一个宽频振动）一个系统一般会“挑出”其共振频率随此频率振动，事实上一个系统会将其它频率过滤掉。
扩展资料：
误区解析
固有频率是某种物质特有的固定震动频率。我们知道，每种物质都会震动。但因为物质中微观粒子的差异性，每种物质的频率都不同。物质在一定频率的外力作用下会以该外力的频率震动，在物理学上叫受迫震动。
但因为会消耗能量，所以受迫震动的振幅会变小。当外力的频率与物质的固有频率相同时，振幅会达到最大。也就是发生了共振！这也就是共振频率。
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弦线振动实验必须在真空环境下完成，可这是理想化的，所以普通实验会因为空气阻力原因而有误差，实验误差，拨弦的方式和计算机采样的步数等也是产生误差的原因。
从误差产生的来源看，误差可分系统误差和偶然误差。对误差的分析首先应分清是系统误差还是偶然误差，系统误差对多次测量值的影响可能是相同的，偶然误差对多次测量值的影响是不同的。从分析数据的观点看，误差分为绝对误差和相对误差。
扩展资料：
相对误差等于绝对误差 与真实值 之比，一般用百分数表示，它反映了实验结果的准确程度。
绝对误差只能判别一个测量结果的精确度，比较两个测量值的准确度则必须用相对误差。
误差按表示形式分为绝对误差和相对误差：
（1）绝对误差：指某测量值的测得值和真值之间的差值。通常简称为误差。其表达式为：绝对误差=测得值-真值（真值常用约定真值来表示）
（2）相对误差：指绝对误差与被测量真值之比。其表达式为：相对误差=绝对误差/真值×100%
参考资料来源：百度百科-绝对误差
弦振动实验弦振动实验是普通物理力学中的一个基础实验,它是利用电动音叉引发弦线横波,进而形成驻波,来研究横波的叠加现象；验证横波的波长与张力、线密度的关系；并用驻波法测出电动音叉的固有频率.常用的实验方法有两种：一是采用振动频率固定的电动音叉.通过改变弦线长度或张力,形成稳定驻波；二是采用频率连续可调的振动体,改变弦长或张力,形成稳定驻波从而验证弦线上驻波的振动规律.但是用通常的电动音叉测量波长时,受实验条件的影响,测量的数据不是很精确,本文就针对原实验中存在的问题进行探讨,并提出改进的方法.
帅哥，或者美女，去图书馆找实验书吧！！！找到之后，照着抄就行了
弦振动的研究 任何一个物体在某个特定值附近作往复变化，都称为振动。振动是产生波动的根源，波动是振动的传播。均匀弦振动的传播，实际上是两个振幅相同的相干波在同一直线上沿相反方向传播的叠加，在一定条件下可形成驻波。本实验验证了弦线上横波的传播规律：横波的波长与弦线中的张力的平方根成正比，而与其线密度（单位长度的质量）的平方根成反比。 一. 实验目的 1. 观察弦振动所形成的驻波。 2. 研究弦振动的驻波波长与张力的关系。 3. 掌握用驻波法测定音叉频率的方法。 二. 实验仪器 电动音叉、滑轮、弦线、砝码、钢卷尺等。 三. 实验原理 1. 两列波的振幅、振动方向和频率都相同，且有恒定的位相差，当它们在媒质内沿一条直线相向传播时，将产生一种特殊的干涉现象——形成驻波。如图3-13-1所示。在音叉一臂的末端系一根水平弦线，弦线的另一端通过滑轮系一砝码拉紧弦线。当接通电源，调节螺钉使音叉起振时，音叉带动弦线A端振动，由A端振动引起的波沿弦线向右传播，称为入射波。同时波在C点被反射并沿弦线向左传播，称为反射波。这样，一列持续的入射波与其反射波在同一弦线上沿相反方向传播，将会相互干涉。当C点移动到适当位置时，弦线上就形成驻波。此时，弦线上有些点始终不动，称为驻波的波节；而有些点振动最强，称为驻波的波腹。 2. 图3-13-2所示为驻波形成的波形示意图。在图中画出了两列波在T=0，T/4，T/2时刻的波形，细实线表示向右传播的波，虚线表示向左传播的波，粗实线表示合成波。如取入射波和反射波的振动相位始终相同的点作为坐标原点，且在X=0处，振动点向上到达最大位移时开始计时，则它们的波动方程分别为： （3-13-1） （3-13-2）式中为波的振幅，为频率，λ为波长，为弦线上质点的坐标位置。 两波叠加后的合成波为驻波，其方程为： （3-13-3） 由上式可知，入射波与反射波合成后，弦线上各点都在以同一频率作简谐振动，它们的振幅为，即驻波的振幅与时间无关，而与质点的位置有关。 当时，有： （ K=0、1、2．．．） 即 （3-13-4） 在这些点处振幅为零，是驻波波节的位置。 当时，有 （ K=0，1，2，．．．） 即 （3-13-5） 在这些点处振幅最大，是驻波波腹的位置。 由以上讨论可知，波节处的振动点振动的振幅为零，始终处于静止；波腹处振动点的振幅最大；其他各点处振动点的振幅在零与最大之间。两个相邻波节或两相邻波腹之间的距离为λ/2，波腹和波节交替作等距离排列。相邻两波腹或波节间是半个波长。因此，只要测得相邻两波节或波腹间的距离，就能确定该波的波长。而且由于固定弦的两端点A和点C是用劈尖支住的，故这两点一定是波节。 3. 假定入射波的波长为λ，则根据入射波和反射波的波动方程及波的叠加原理，可以推知两相邻波节或两相邻波腹之间的距离。则弦线的振动弦长L必须满足： （=1，2，．．．） （3-13-6） 即振动弦长L（AC之间的距离）为半波长的整数倍时，才能形成振幅最大且稳定的驻波。由上式亦可得到沿弦线传播的横波波长为 （3-13-7） 式中n为弦线上驻波的波腹数，显然在驻波实验中，只要测得两相邻波节或两相邻波腹之间的距离，就能确定该波的波长。 4. 当横波沿弦线传播时，在弦线张力T不变的情况下，根据波动理论容易得到，横波的传播速度V、张力T和弦线的线密度ρ（单位长度的质量）之间有如下关系： （3-13-8） 设弦线的振动频率为f，弦线上传播的横波波长为λ，则根据： 可得 （3-12-9） 这是弦振动时驻波波长与张力的关系式。如果音叉起振，则弦线上各点将在音叉的带动下振动，弦线的振动频率f就是音叉振动频率。这样，在音叉振动频率和弦线密度确定的情况下，波长λ仅是张力T的函数。另外，将（3-13-9）式代入（3-13-10）式可得 （3-13-10） 利用上式可以求得弦线的振动频率。 四. 实验内容 1.调节仪器 ① 启动音叉振动，并使之振动稳定； ② 调节滑轮，使弦线水平； ③ 调节音叉，使得音叉臂与弦线处于同一条直线上。 2. 按数据处理表格的砝码质量和对应的波幅数n分别调出稳定的驻波波形。并测出其对应的长度L。 五. 数据处理 1. 实验数据记录表格： 表3-13-1 弦线线密度= g/cm， 重力加速度g=砝码质量m（g） （g1/2） 波 幅 数n 弦线长L（m） 波 长 λ（m） 波 速 V（m/s） 频 率（Hz）25 6 75 5 125 4 200 3 300 2 2. 数据处理具体要求：（1）由测量数据分别计算相应的波长λ、波速V和频率； Hz Hz （ ± ）Hz（2）由式做λ～曲线，并由图求出直线斜率，进而求得频率。
李政道曾这样评价亥姆霍兹：物理与音乐共鸣，声波与科学交响。亥姆霍兹用科学家的头脑和艺术家的心灵真正把艺术与科学、音乐与物理紧密地、有机地融为一体。他开创了音乐物理学这一领域，并发表了很多这方面的论文，比如《论结合音》（1856）、《论谐和音程和不谐和音程的物理原因》（1858）、《论元音的音质》（1859）、《论开口管的振动》（1859）、《论小提琴的弦振动》（1860）、《论乐音的感觉——音乐理论的生理学基础》（1863）等。
一、函数的起源（产生） 十六、十七世纪，欧洲资本主义国家先后兴起，为了争夺霸权，迫切需要发展航海和军火工业。为了发展航海事业，就需要确定船只在大海中的位置，在地球上的经纬度；要打仗，也需知道如何使炮弹打的准确无误等问题， 这就促使了人们对各种“运动”的研究，对各种运动中的数量关系进行研究，这就为函数概念的产生提供了客观实际需要的基础。 十七世纪中叶，笛卡儿（Descartes）引入变数（变量）的概念，制定了解析几何学，从而打破了局限于方程的未知数的理解；后来，牛顿（ Newton）、莱布尼兹（Leibniz）分别独立的建立了微分学说。这期间，随着数学内容的丰富，各种具体的函数已大量出现，但函数还未被给出一个一般的定义。牛顿于 1665年开始研究微积分之后，一直用“流量”（ fluent）一词来表示变量间的关系。 1673年，莱布尼兹在一篇手稿里第一次用“函数”（ fluent）这一名词，他用函数表示任何一个随着曲线上的点的变动而变动的量。（定义1）这可以说是函数的第一个“定义”。例如，切线，弦，法线等长度和横、纵坐标，后来，又用这个名词表示幂，即表示 x , x2, x3,…。显然，“函数”这个词最初的含义是非常的模糊和不准确的。 人们是不会满足于这样不准确的概念，数学家们纷纷对函数进行进一步讨论。 二、函数概念的发展与完善⒈以“变量”为基础的函数概念 在 1718年，瑞士科学家，莱布尼兹的学生约翰·贝奴里（Bernoulli,Johann）给出了函数的明确定义：变量的函数是由这些变量与常量所组成的一个解析表达式。（定义2）并在此给出了函数的记号φx。这一定义使得函数第一次有了解析意义。 十八世纪中叶，著名的数学家达朗贝尔 （D’Alembert）和欧拉（ Euler）在研究弦振动时，感到有必要给出函数的一般定义。达朗贝尔认为函数是指任意的解析式，在 1748年欧拉的定义是：函数是随意画出的一条曲线。（定义 3）在此之前的 1734年，欧拉也给出了一种函数的符号f(x),这个符号我们一直沿用至今。 实际上，这两种定义（定义 1和定义 2）就是现在通用的函数的两种表示方法：解析法和图像法。后来，由于富里埃级数的出现，沟通了解析式与曲线间的联系，但是用解析式来定义函数，显然是片面的，因为有很多函数是没有解析式的,如狄利克雷函数。 1775年，欧拉在《微分学原理》一书的前言中给出了更广泛的定义：如果某些变量，以这样一种方式依赖与另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之而变化，则将前面的变量称为后面变量的函数。（定义 4）这个定义朴素地反映了函数中的辨证因素，体现了“自变”到“因变”的生动过程 ,但未提到两个变量之间的对应关系，因此它并未反映出真正意义上的科学函数概念的特征，只是科学的定义函数概念的“雏形”。 函数是从研究物体运动而引出的一个概念，因此前几种函数概念的定义只是认识到了变量“变化”的关系，如自由落体运动下降的路程，单摆运动的幅角等都可以是看成时间的函数。很明显，只从运动中变量“变化”观点来理解函数，对函数概念的了解就有一定的局限性。如对常值函数 ,不解释 十九世纪初，拉克若斯（ Lacroix）正式提出只要有一个变量依赖另一个变量，前者就是后者的函数。 1834年 ,俄国数学家罗巴契夫斯基（Лобачевский）进一步提出函数的定义： x的函数是这样的一个数，它对于每一个 x都有确定的值，并且随着 x一起变化，函数值可以由解析式给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法，函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的。（定义 5）这实际是“列表定义”，好像有一个“表格”，其中一栏是 x值，另一栏是与它相对应的 y值。这个定义指出了对应关系（条件）的必要性，把函数的“对应”思想表现出来，而“对应”概念正是函数概念的本质与核心。 十九世纪法国数学家柯西（ Cauchy）更明确的给出定义：有两个互相联系的变量，一个变量的数值可以在某一范围内任意变化，这样的变量叫做自变量，另一个变量的数值随着自变量的数值而变化，这个变量称为因变量，并且称因变量为自变量的函数。（定义 6） 1829年 ,狄利克雷（ Dirichlet）给出了所谓狄利克雷函数： y=1 当 x为有理数时； y=0 当 x为无理数时。这个函数并不复杂，但不能用解析式来表示，这一思想的提出，正是数学由过去的研究“算”到以后研究“概念、性质、结构”的转变的开端。 1837年他对函数下的定义是：在某个变化过程中，有两个变量 x和 y。如果对于 x在某一范围内的每一个确定的值，按照某个对应关系， y都有唯一确定值和它对应，则 y称为 x的函数； x称为自变量。（定义 7）这个定义的优点是直截了当地强调与突出了“对应”关系,抓住了概念的本质属性，只须有一个法则存在，使得这个函数定义域中的每一个值有一个确定的 y值和它对应就行了，不管这个法则是公式或图像或表格或其他形式;其缺点是把生动的函数变化思想省略和简化掉了。 ⒉以“集合”为基础的函数概念 函数的概念是随着数学的发展而发展的。函数的定义在数学的发展过程中，不断的改进，不断的抽象，不断的完善。十九世纪七十年代，德国数学家康托（ ）提出了集合论。进入二十世纪后，伴随着集合论的发展，函数的概念也取得了新的进展，它终于摆脱了数域的束缚向更广阔的研究领域扩大，使概念获得了现代化。 二十世纪初美国数学家维布伦（ Weblan）给出了函数的如下定义：若在变量 y的集合与另一变量 x的集合之间，有这样的关系成立，即对 x的每一个值，有完全确定的 y值与之对应，则称 y是变量 x的函数。（定义 8）从这个定义开始，函数概念已把基础建立在集合上面，而前七个定义则是把基础建立在变量（数）上的。 随着时间的推移，函数便被明确的定义为集合之间的对应关系，其定义是： A和 B是两个集合，如果按照某种对应关系，使 A的任何一个元素在 B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应关系成为从集合 A到集合 B的函数。（定义 9）此定义根据映射的概念，用“映射”观点建立函数概念，其又可叙述为：从集合 A到集合 B的映射 f： A→ B称为集合 A到集合 B的函数，简称函数 f 。（定义 10）以上三个定义，已打破数域的束缚，将集合中的元素改为抽象的，可以是数，也可以不是数，而是其它一切有形或无形的东西，如 X是所有三角形的集合， Y是所有圆的集合，则 f 可以是把每一个三角形映射成它的外接圆的映射。 对新函数定义可以这样理解：函数是一个对应（规则），对于某一范围（集合）的元素，按照这个对应（规则）确定另一个元素。这样函数概念从狭义的“变化”观点转化到较广义的“对应”观点,函数即是一个对应（规则）。 对函数概念用“对应”（“规则”）来理解比起最初阶段虽然揭示出了函数概念的实质，但它还不符合我们最低限度地使用未被定义的术语的意图。因为什么叫“对应”和怎样理解“规则”还需要定义，例如规则不同，那么是否函数也不同呢？如f(x)=x与f(x)=(1+x)-1当然是不同的规则但却定义了同一函数。 为了解决这一矛盾，二十世纪初，特别是在六十年代以后，广泛采用只涉及“集合”这一概念的函数定义，而集合作为原始概念是不予定义的，这样的定义是：设 A、 B是任意两个集合， f是笛卡儿集 A× B的一个子集，满足：①对任意的 a ∈ A，存在一个 b∈B，使得 (a,b)∈ f，②若 (a,b)∈ f， (a,c)∈ f则 b=c。则称 f为 A到 B的一个函数。记作 f:A→B。（定义11）这个定义利用“关系”这个概念，便给出了只涉及原始概念“集合”的函数的一般定义，即不需要用到“对应”，又避免了对“规则”的解释，只要集合理论适用一切数学领域，这样给出的函数定义总是适用的。它可称的上是最现代的定义了。 到此，“函数”最完善的定义（定义 11）已给出，作为数学中最基本的概念之一，已把基础直接建立在集合上面，即把函数看作是从一个集合到另一个集合的对应，它和“映射”实际上是一回事。 三、新旧两种定义的比较 比较新定义（把以集合为基础的函数定义称为新的定义方式，而以变量（数）为基础的定义称为旧的定义方式。）和旧定义，它们之间有两个重要的区别： ⑴旧定义是建立在“变量”这个基本概念上的，而新定义则建立在“集合”这个基本概念上。什么是变量呢？通常把它理解为在选定一个单位以后，可加以度量的东西，如长度、质量、时间之类，这种理解一方面太疏于笼统，只能通过举例来说明，而难于加以精确化；另一方面，由于涉及大小关系，嫌过于狭窄，无法体现应用上的普遍性。其次，即使什么是“量”的问题不存在，作为变量，它须在某一范围取值（不一定是数值），这一定范围实际上就是事先得假定的一个集合 A（它构成函数的定义域），所谓“变量取值 a”，实质上就是“ a属于 A”的一种变相迂回的说法。可见，在变量的概念中已蕴含集合的思想。 ⑵旧定义中以“因变量”为函数，而新定义中则以“对应关系”为函数。函数概念的实质，主要的并不是因变量要随自便量“变”，而是两集合之间存在某种确定的对应关系。显然，新定义更能直接地揭示出函数的实质。
这问题，见百度百科...
电声小提琴是通过电来发声的，而传统的小提琴是通过共振箱的共振发声的 电声小提琴是近代的产物,它比起传统的声学提琴来有几个优点，一个是公共场合的演奏声音更饱满音色更亮，而传统的小提琴的话,不是用很优秀的琴就可能无法得到完美的演奏效果，因为室外的很多东西可以吸音.其次是电声小提琴的音色可以调节，并且有时候琴身的特殊设计可以让演奏家在拉小提琴的高把位的时候更加舒适. 所以,电声小提琴琴适用于大型的露天的场合,如果使用得当,可以获得很好的演出效果. 当然,它也有不及传统的小提琴的地方,那就是它的音色被认为无法与传统的声学小提琴相媲美,这点很难让传统的演奏家们喜欢上这种新型的乐器.小提琴（violin）是一种超擦奏管弦得鸣提乐器。它广泛流传于世界各国，是现代管弦乐队弦乐组中最主要的乐器。它在器乐中占有极重要的位置，是现代交响乐队的支柱，也是具有高难度演奏技巧的独奏乐器。现代小提琴的出现已有300多年的历史，其制作本身是一门极 小提琴为精致的乐器。小提琴音色优美，接近人声，音域宽广，表现力强，从它诞生那天起，就一直在乐器中占有显著的地位，为人们所宠爱。如果说钢琴是“乐器之王”，那么小提琴就是乐器的“王后”了。 几个世纪以来，世界各国的著名作曲家写作了大量的小提琴经典作品，小提琴演奏家在这种乐器上发展了精湛的演奏艺术。小提琴既可以合奏，又可以进行独奏。 小提琴是一种四条弦的弓弦乐器，是提琴家族中的主要成员（该族系中的其它成员是：中提琴，大提琴和低音提琴）。现代小提琴起源于意大利的克瑞莫纳，在1600-1750年间成为最大的小提琴制作中心。著名的制琴大师有：Nicola Amati(尼古拉·阿马蒂)，Antonio Stradivari(安东尼奥·斯特拉底瓦里)，及Giuseppe Guarneri (吉塞浦·瓜奈里)；他们制造的乐器至今都是无价之宝。小提琴的五度定弦为：g, d1, a1, e2, 音域超过3 个半组，是所有管弦乐团必不可少的乐器，也是乐器之后。编辑本段形状构造小提琴由30多个零件组成。其主要构件有琴头、琴身、琴颈、弦轴、琴弦、琴马、腮托、琴弓、面板、侧板、音柱等。 小提琴共有四根弦，分为：A弦，E弦，D弦和G弦。 小提琴主要构件小提琴琴身（共鸣箱）长约厘米，由具有弧度的面板、背板和侧板粘合而成。面板常用云杉制作，质地较软；背板和侧板用枫木，质地较硬。琴头、琴颈用整条枫木，指板用乌木。小提琴的音质基本上取决于它的木质和相应的结构，取决于木材的振动频率和它对弦振动的反应。优质琴能把发出的每个声音的基音和泛音都同样灵敏地传播出去。 小提琴有琴弦4根。原均为羊肠制的裸弦，约从18世纪起，低音G弦常包以银丝,使其反应灵敏。现代则将G、D、A3根弦用缠金属丝的羊肠弦或钢丝缠弦，晚近也用尼龙弦。E弦改用钢丝弦，使其在高音区的音色更佳。 小提琴制作成现代这种样式，并非完全从形态美观出发，而是有其音响上和演奏上的需要。小提琴面板和背板有弧度，使其共鸣良好，发音洪亮；琴的腰身狭窄，便于演奏高把位和低音弦；面板和背板加嵌条，除防止木板开裂外，对琴的音质也起一定作用。面板与背板中间有音柱支撑，其位置变化对小提琴音色影响明显。面板左下面粘低音梁，既起加固作用，又具音响作用。小提琴表面的油漆如太硬、太软，或 小提琴琴弓漆得不匀，都会有损于音质。当琴弓与琴弦摩擦使琴弦振动时，通过琴马引起面板振动，又通过音柱使背板振动，E弦振动较少,而G弦振动较大，从而使低音梁有更大振动，并造成共鸣箱的振动。能否使琴声得以充分发挥，取决于琴弦及其张力、琴马质量、运弓的压力和速度。要想把琴的各种音质都表达出来，还要加上演奏者的弓法、指法和揉弦等演奏技巧。 尺寸适用对照表 规格 尺寸 适合年龄 备注 1/8 255mm 4-5岁 1/4 280mm 6-8岁 1/2 310mm 9-11岁 3/4 335mm 12-14岁 身高稍小的成年人，或身高米左右的人 4/4 356mm 15岁以上 身高以上 1/16 基本上作为模型或者摆设的居多编辑本段发展简史目前对小提琴最早的明确记载是 Jambe de Fer 于1556年出版于里昂的《音乐摘要》（Epitome musical）。此时小提琴已经传遍欧洲。但关于小提琴的起源，史学家有许多不同说法，有一说是起源于“乌龟壳琴”，有个年轻人在沙滩上散步，忽然听到一种悦耳的声音，他仔细一找，原来是踢到空龟壳，龟壳震动发出的声音。他回家一琢磨，发明了一种类似空龟壳的乐器。这就是小提琴的开山鼻祖。后来，人们把它演变成现在的样子，可“万变不离其宗”，小提琴的琴孔还是龟背壳演变的样子。有说是起源于北非，有说是起源于印度，也有说是起源于西欧等等。有这么一个传说：5千年前斯里兰卡有一位君主名叫瑞凡那，他把圆柱形的木头掏空制成了与我国二胡极为相似的乐器称瑞凡那 高档小提琴斯特隆(Ravanastron)，在漫长的历史长河中，瑞凡那斯特隆随着贸易往来而流传四方，这便是小提琴的鼻祖了。不过从有史料记载起，最早的小提琴是由一位住在意大利北部城镇布里细亚(Brescia)名叫达萨洛制成的(Gaspa ro da salo 1542-1609)。但在同一个时期，格里蒙那(Cremona)城中的A．阿玛蒂(AndreaAmatil520-1580)，也制作了与现代小提琴更为相近似的小提琴。从16世纪到18世纪，意大利的小提琴制造业随着音乐艺术的空前繁荣而得到了迅速的发展，出现了G．P玛基尼、N．阿玛蒂、A．斯特拉第瓦利和C．爪内利四位杰出名匠。18世纪以后，世界各国的小提琴制造业都是仿照意大利这些小提琴制作者的琴型和尺寸来制作小提琴的。近百年来，小提琴的结构也没什么大的改变，从这个意义上讲，意大利是小提琴的故乡。而玛基尼、阿玛蒂、斯特拉第瓦利、瓜内利当年所制作的小提琴，现今已成了稀世珍宝、旷世杰作。 最早的现代意义上的小提琴大约产生于十六世纪中叶，那时的许多珍品现在还保存在欧洲一些博物馆内。小提琴的起源可以追溯到2000多年前的埃及乐器“里拉”（Lyre），十五世纪，意大利人对其进行了改革，并用马尾制成弓子拉奏，定名为Violin，即小提琴。后又经过多年演变，小提琴的形成与制作才基本固定下来。 现存最早的小提琴是一把“查理九世”（Charles IX），由安德里亚·阿玛蒂在1560年制作于意大利北部城市克雷莫纳（Cremoa）。而至今为止最有名的小提琴，应该是安东尼奥·斯特拉底瓦里（Antonio Stradivari）1716年制作的“弥赛亚”（Le Messie），也作“Salabue”，这把琴现藏于英国牛津的Ashmolean博物馆。 现藏柏林的一把斯特拉迪瓦里琴近代小提琴约在1550年就已为人们所熟悉，系由当时流行的乐器雷贝克和臂提利拉琴演变而来。通常所说小提琴前身维奥尔,在构造、调弦、演奏技巧等方面,对现代小提琴的形成都无决定性影响。人们曾普遍认为意大利北部的米兰、威尼斯、布雷西亚和克雷莫纳一带是小提琴的诞生地。16世纪后期，意大利的小提琴制作业出现了两个著名的小提琴制作流派，一派是以阿马蒂父子为代表的克雷莫纳制琴派;另一派是以萨洛的加斯帕罗(1540～1609)和他的学生.马吉尼为代表的布雷西亚制琴派。这两派制作的小提琴各有特长，经历了几百年，至今仍属上等珍品。 1650～1750年，是小提琴制作的黄金时代，出现了许多著名小提琴制作家，如N.阿马蒂、J.斯坦纳，以及被人们认为最杰出的制作家A.斯特拉迪瓦里和G.瓜尔内里等人。阿马蒂所制小提琴的面板和背板弧度较大，音质好,用来演奏室内乐,有如明亮的女高音。18世纪后期，.维奥蒂赞扬了斯特拉迪瓦里琴，维奥蒂的老师G.普尼亚尼与N.帕格尼尼喜爱瓜尔内里琴之后，这两位制琴大师的作品才被人们所欣赏，并取得了巨大名望。斯特拉迪瓦里和瓜尔内里琴具有在大厅中演奏协奏曲时所需要的音响传送力。 18世纪后，小提琴制作业的领先地位从意大利转至法国。这个时期小提琴的造型不断改进，已取得更大音量和更好的音质。法国制琴家N.吕波(1758～1824)以斯特拉迪瓦里为典范，把法国的制琴技术和意大利的制琴技术结合在一起。与此同时，法国的F.图尔特（1747～1835）约在1785年对琴弓的长度、重量、形状、装置等方面又进行了重大改革。小提琴在这个时期的发展，反映了J.海顿、.莫扎特和 贝多芬作品中具有的歌唱性，以及运弓方面的更大变化等对小提琴性能上的要求。 1789～1799年，法国大革命之后，随着贵族与皇室的衰落，音乐也从宫廷走向民间，出现了为公众服务的交响乐队和音乐厅。为适应环境的变革，小提琴需要增大音量。18世纪末～19世纪初,小提琴琴颈加长变细,并向后倾斜：指板变长；琴马变高,并具更大的弧度；G弦早已包有银丝。这些变革的目的是为适应更大的张力。琴弦的增长使琴面上的压力增大，于是低音梁变长变厚，音柱也加粗，以此获得更大更有力的声音。1820年前后L.施波尔发明了腮托，使左手从完全承担持琴的作用中解放出来。腮托的设置，使左手在换把、揉弦、按弦更加自如。 小提琴18世纪末，音乐学院在欧洲相继出现，它使小提琴的需求量大大增加，从而促进了机器制琴业的发展。法国的米尔库、德国的米滕瓦尔德都是大量生产小提琴的地方。法国的.维约姆是 19世纪制琴业的著名人物。 维约姆雇用一些工人,在他的指导下制造小提琴,并以其名为牌号出售。他从世界各地搜集到许多散失在私人手中的优质琴，把它们送到演奏家、收藏家的手中，或者是博物馆。 巴洛克时期的德国伟大作曲家巴哈曾于1720年为小提琴创作了六首无伴奏作品：三首奏鸣曲，三首古组曲，是小提琴独奏曲的精华。今天请朋友们欣赏的是：巴哈的《 E大调前奏曲》，选自其第三首无伴奏组曲，由20世纪杰出小提琴家Itzhak Perlman 于1988年录制。它使用的是Guarneri – Gesu 小提琴，制作于1740年。 西洋小提琴传入中国是在清朝末年（约1920年代）。民国初，学堂音乐教育兴起，人们对外国音乐发生兴趣。从1920年代开始，世界著名小提琴大师先后到中国演出，鼓舞了许多热爱音乐的青年学习小提琴，并随之在北京，上海，广州，福建等地创立了音乐专科；许多高水平的小提琴家来华工作，同时也培养了众多中国自己的教师和演奏家，如：马思聪，刘天华，冼星海和黎国荃等。从这一时期开始，也陆续出版和翻译了不少《小提琴演奏法》，并有作曲家创作出许多经典的中国小提琴曲，像是《梁祝》和《苗岭的早晨》等，都是由上海音乐学院教授陈刚先生所作。 中档小提琴从1980年代开始，一批中国自己培养的青年小提琴家分别在众多的国际大赛中获奖，胡坤既是其中第一位。他曾在北京中央音乐学院师从林耀基教授，并获得芬兰西贝柳斯国际小提琴比赛的第五名好成绩。请欣赏他1999年演奏的《苗岭的早晨》，由陈刚根据苗族口笛独奏编曲。胡坤现在任教于英国梅纽因音乐学校和皇家音乐学院，他使用的是一把制作于1734年的小提琴。 中国在小提琴制造上，近年享有国际声誉。广州乐器厂陈锦农所制红棉牌小提琴,1980年获美国第4届国际提琴制作比赛“音质金奖”；北京提琴厂戴宏祥所制小提琴，获1983年于联邦德国卡塞尔市举行的斯波尔国际提琴制作比赛的“音质金奖”。编辑本段演奏艺术演奏 高档独奏小提琴艺术的发展 16世纪，小提琴开始在意大利出现时,一般用来伴舞、伴唱,或直接演奏歌曲。17世纪初，随着小提琴奏鸣曲的出现，演奏技术也相应发展。C.法里纳（约1600～约1640）在1627年的创作中，就采了用双音、震音、颤音及高把位，并模拟猫叫、狗吠、笛、鼓、吉他等声音。一些演奏家与作曲家也竞相仿效； 于是模拟杜鹃、夜莺、公鸡等声音的作品，充斥于当时的乐坛。直到17世纪后半叶，意大利作曲家和小提琴家A.科雷利才把小提琴艺术引上了正途。编辑本段演奏要点小提琴属于歌唱性的旋律乐器。因此，如何在小提琴上发出歌唱般的丰满、动听的声音，是小提琴演奏中最为重要的问题。就小提琴的演奏技术来说，有以下各种主要基本功。运弓优秀的演奏家能在小提琴上发出千变万化的声音，就运弓而言，取决于运弓的速度、弓在弦上的压力以及弓和弦的接触点这3种因素的不同结合。小提琴的弓法繁多，就其主要的有以下几种：①分弓：一弓演奏一个音，音要拉的干净，清楚；②连弓：一弓演奏许多音，在很多乐曲中都会用到，是最常用的弓法之一；③顿弓：音与音之间断开；④跳弓:弓毛离开琴弦。这4类弓法是最基本的，在20世纪中期，连顿弓，即在一弓中连续快速演奏许多音与音之间是断开的音，被人视为绝技，随后又出现了“自然跳弓”，即弓毛在琴弦上，而听起来或看起来像跳弓一样。所以人们把小提琴演奏艺术称之为“运弓的艺术”。音准歌唱和乐器演奏中所发的音高，能与一定律制的音高相符，称为音准。有些乐器在制造或调音时就有音准要求。歌唱和乐器演奏过程中，随时都要通过演唱者和演奏者的控制来解决音准。音准的取得，有赖于敏锐的听觉、优良的乐器、精湛的技巧与适宜的演出环境。乐器的形体结构、音孔位置、张力变化以及空气湿度，都与音准有关。就弦乐器讲，长时间演奏及气温上升，均使弦松弛，因此弦乐器音准的突出问题是如何矫正偏低。就管乐器讲,虽然气温上升使管体略微伸长,但同时气压降低,声速提高,频率也随之增高（据实测，气温每升10℃可使管乐器发音升高3音分）,因此管乐器音准的突出问题是如何矫正偏高。歌唱及弦乐器、管乐器的音准,当有钢琴伴奏时,都以平均律为准则；但由于平均律的许多音程听起来并不严格协和，所以在独唱、独奏、重唱、重奏时，常常需要偏离平均律而趋近纯律或五度相生律，才算达到音准要求。揉弦揉弦是小提琴，二胡，吉他等弦乐演奏所掌握的最具表现力的演奏技巧之一。在乐句适当的地方加上适当的揉弦，会比没有揉弦的乐句在声音上要生动的多。 揉弦是一个小提琴演奏很有表现力的技巧，用它可以来表现不同风格和特征的每一个音或每一个乐段。揉弦的要点是怎样找到手的最佳动作，用速度快慢、揉弦宽窄来演奏出每一个乐段独特的风格和特征。 肘臂揉弦和手腕揉弦，两者都要练习。以能够表现出最好的音乐特征，来选择揉弦的速度和宽窄。 有几种方法，初学者可以试试，可能会有利于学习揉弦： 1.一是做指端关节前后屈仰动作。先在桌子上练，分别练习各个手指一关节向后躺下（不是完全贴在桌子上），再立起的动作，再分别作左右晃动。由快到慢，最后五个指头一起练习。 2.首先应学会手腕揉弦。其方法可先将手臂放在大腿上或椅臂上，然后将手腕放松前后摇动，力求平均，待动作习惯自如后，再放到指板上练习。 同时要注意： 在手腕前后揉动时，带动手指的关节，手指的触弦点不能随着手腕的揉动而移位。在练习手腕揉弦时，可先从三指开始。因为用三指揉动可以使动作更为宽松，然后再练习二指和一指。而练习四指时，还可将三指紧靠四指帮助揉动。这样的练习会使颤动的效果更为自如。在手腕揉弦练习的基础上也可逐渐学习和熟悉手臂的揉弦和手指的揉弦。目的是为了更好的丰富演奏上的表现力，适应于各种力度和情绪变化的需要。 3.还有大臂揉弦、手指揉弦。大臂揉弦多用于长的重低音，主要体现出乐曲的浑厚和伤感，手指揉弦多用于半拍的高音，可以表现出乐曲的欢快和优美，而想学好这些，前提是熟练的掌握手臂揉弦。把位左手手指在指板上的位置，称之为把位。靠近琴头的把位为低把，靠近琴马的为高把。从一个把位换到另一个把位，称为换把。换把位的方法有多种，例如空弦换把，同指换把，不同指以及泛音换把等。换把时产生非音乐需要的滑音，是技巧训练不足的标志。滑音可以使音与音之间的连接富于变化，增加一个优美的过度。特别是结合换把使用滑音，是一种富于表现力的演奏手段。双音与和弦小提琴可以同时演奏两个音甚至是3个音，也可以分奏4个音的和弦,这不仅丰富了它的表现力，并可不依赖其他乐器的伴奏进行单独演奏。小提琴的三度、六度、八度以及十度双音音阶，是演奏双音的基础，也是小提琴家必须终身练习的一项基本功。小提琴演奏中的左手颤音、泛音、拨弦等，都是一些高深的技巧。 双手技巧 小提琴的左手技巧：音阶、双弦、换把、颤指、泛音、拨奏。 右手技巧有：连弓、分弓、顿弓、跳弓、波弓、击弓、碎弓。 等等。小提琴家的魅力不少在于右手神奇的运弓。 小提琴特殊奏发在总谱中的标记： 拨弦：pizz 恢复正常演奏为arco 靠近琴马：sul pont恢复正常演奏为ord 靠近指板：sul tasto恢复正常演奏为ord 弓杆击弦：col legno恢复正常演奏为arco 加弱音器：con sord摘除弱音器为senza sord 另外在管弦乐里分部为div，齐奏为unisppp 最弱 pp很弱 p弱 mp中弱 mf中强 f强 ff很强 fz最强 fz或sf加强音 pizz拨奏 arco用弓拉奏（在拨奏之后） solo独奏 tutti全奏（全乐队） 8va高八度 .全弓 .上半弓 .下半弓 M.中弓 Fr弓根 Sp弓尖