《常微分方程》课程教学纲要一、课程概述（一）课程学时与学分课程代码：1302，开课专业：数学与应用数学（师范）专业，第6学期开课，课程总学时72学时，4学分。课程总学时包括课堂讲授54学时，习题课18学时。（二）课程性质《常微分方程》这门课程是利用数学分析，高等代数，复变函数等课程中的基础知识，介绍常微分方程中方程的一般常用解法和基本理论。它将为数学，力学，物理系的学生在后期的学习中服务，对于数学联系实际和各种数学方法的灵活运用是不可缺少的基本训练。属于院专业必修课（三）教学目的«常微分方程»是高等师范院校本科教育专业继数学分析，高等代数等基础课之后开设的一门主干课，必修课。着重向学生介绍常微分方程的一般常用解法和基本理论，其中包括用初等积分法求解常见的几种类型一阶微分方程和如何求解高阶线形微分方程与方程组，以及微分方程理论中最重要的理论基础：解的存在唯一性定理，解的延展定理。在提高学生解决实际问题的能力的同时，简要的介绍该门课程的基本思想和方法，培养学生对一般微分方程进行分析的能力。 （四）本课程与其他课程的联系与分工 《常微分方程》这门课程是以数学分析，高等代数，复变函数等课程中的知识为基础的，它将为数学系的学生在后期的学习中提供帮助。如：微分几何，偏微分方程等课程。常微分方程这门课程是与实际联系比较紧密的一门课程，对于数学联系实际和各种数学方法的灵活运用是不可缺少的基本训练。二、课程教学的基本内容与要求（一）教学要求1、要结合学生实际水平和能力学习常微分方程。2、掌握微分方程中解方程的基本方法（分离变量法；恰当方程；一阶线性方程；初等变换法中的齐次方程，伯努里方程，黎卡提方程以及积分因子法）3、掌握最基本的理论基础：解的存在唯一性定理和解的延展定理。4、掌握高阶线形微分方程和线形微分方程组的某些定理和基本解法。5、了解奇解与包络的概念及二者的求法。（二）课程总学时数与课程学时分配 1、总学时: 18 4=72(学时)2、课程学时分配表 章 次 内 容 学时 第一章 基本概念 4 第二章 初等积分法 20 第三章 毕卡定理 12 第四章 奇解 8 第五章 高阶微分方程 8 第六章 高阶微分方程组 20 合计 72 （三）教学内容第一章 绪 论（一）教学目的和要求掌握微分方程及解的定义，掌握微分方程及解的几何解释以及线素场的基本做法。（二）教学重点与难点1、微分方程及解的定义2、线素场的基本做法（三）教学方式讲授为主，多举例题，多作练习。（四）教学内容第一节 微分方程及解的定义1、常微分方程的概念。2、常微分方程解的概念。（1）通解（通积分） （2）特解 3、初值问题（柯西问题）。4、如何求一个曲线族满足的微分方程。第二节 微分方程及解的几何解释1、积分曲线，线素，线素场，方向场的概念。2、微分方程及解的几何解释。3、如何作出某些简单类型微分方程的线素场。第二章 初等积分法（一）教学目的与要求熟练掌握初等积分法的几种类型，能作到快速判定方程类型，进而求解。掌握这些方法和技巧是学好本门课程及其他分支课程的基本训练。（二）教学重点与难点1、恰当方程的判定条件及如何用公式求解恰当方程。2、变量可分离方程的求解。3、一阶线形微分方程的形式特点与求解公式以及五点性质。4、初等变换法。5、积分因子法。6、如何求已知曲线族的等角轨线族，正交轨线族。（三）教学方式以课堂讲授为主，多举例题。课后布置一定量的习题作为作业，通过批改作业及课堂上小测验督促学生学习，提高对本章内容的重视程度。（四）教学内容第一节 恰当方程1、恰当方程的定义（全微分方程）。2、定理：如何判定一个对称形式的 方程是恰当方程及利用公式求解。第二节 变量可分离的方程1、变量可分离方程的定义。2、补充：某些丢失的解要找回来。3、直接积分求解。4、课后习题四给予讲解（涉及物理知识）。第三节 一阶线形方程1、一阶线形方程的定义。2、求解一阶齐次线形方程的公式。3、求解一阶非齐次线形方程的公式。4、初步了解常数变异法。5、一阶线形方程解的五条性质，部分做练习。第四节 初等变换法1、举两个例题说明某些不能求解的方程通过初等变换可以求解。2、齐次方程： ，做变换 求解 。3、形如 的方程如何作变换求解。4、伯努力方程 做变换 。5、黎卡提方程 形式上最简单的非线形方程求解只做一般了解。第五节 积分因子法1、积分因子的定义。2、定理3，4分别给出两个特殊类型微分方程的积分因子3、进一步介绍分组求积分因子。4、定理6是课后部分习题的基础，做详细讲解。第六节 应用举例1、等角轨线族，正交轨线族的定义。2、如何求已知曲线族的等角轨线族，正交轨线族。第三章 毕卡定理（一）教学目的与要求存在和唯一性定理又称毕卡定理，是微分方程理论中的基本定理。要熟练记忆并深刻理解毕卡定理的内容。对于证明思想和方法，逐次迭代法构造毕卡序列，证明毕卡序列一致收敛到方程的唯一解 ，要熟练和掌握。解的延展定理是讨论方程某些解的存在区间问题，选讲中山大学，东北师范大学教材的部分内容，适当补充一些例题和课后习题，对于延展定理主要是使用推论。（二）教学重点和难点1、毕卡定理：李普西兹条件，替换条件。2、证明过程。3、补充说明。4、解的延展定理和推论。5、几道重要典型例题。（三）教学方式以课堂讲授为主，作到细致入微。要求学生课后认真复习，完成补充的课后作业。（四）教学内容第一节 毕卡定理1、介绍李氏条件的概念及替换条件： 对 有连续偏导。2、毕卡定理的内容及证明过程。第二节 解的延拓1、介绍局李普西兹条件。2、举例讲解解的延拓情况。3、引入解的延拓定理及推论。4、使用定理及推论做补充习题，并布置补充的作业题。第四章 奇解（一）教学目的与要求掌握求解一阶隐式微分方程的两种方法：微分法，参数法。掌握奇解概念及求奇解的方法。掌握包络的概念及包络的求法。掌握克莱洛方程的类型及解法。（二）教学重点与难点1、一阶隐式微分方程的求解，重在掌握微分法，参数法。2、奇解概念及求奇解的方法，两个定理要运用自如。3、包络的概念及求包络的求法，两个定理要运用自如。4、奇解和包络的关系。5、克莱洛方程的类型及解法。（三）教学方式以课堂讲授为主，补充例题和习题，扩充视野，多做练习题。（四）教学内容 第一节 一阶隐式微分方程1、形如 的方程利用微分法求解。2、形如 的方程利用参数法求解。3、包络的概念及如何使用两个定理求出曲线族的包络。4、奇解概念及如何使用两个定理求出方程的奇解。5、克莱洛方程的类型及解法。第五章 高阶微分方程（一）教学目的与要求对于几种特殊类型的可降阶的高阶微分方程要掌握其解法；能作到 阶微分方程与 阶微分方程组之间的互化及找出二者解之间关系；熟知 阶标准微分方程组的两种向量形式及初值问题解的唯一性。（二）教学重点与难点1、几种特殊类型的可降阶的高阶微分方程的解法。（1） （2） （3）恰当导数方程。2、引入变量，使 阶微分方程与 阶标准微分方程组之间互化。3、 阶标准微分方程组的向量形式。（三）教学方式以课堂讲授为主，辅以学生做课后习题。（四）教学内容第一节 几种特殊类型的可降阶的高阶微分方程1、形如 的方程的解法，令 。2、形如 的方程的解法，令 。3、恰当导数方程。4、补充习题。第二节 维线形空间中的微分方程1、 阶微分方程与 阶标准微分方程组之间的互化，引入变量 2、 阶标准微分方程组的两种向量形式， 是常用的一种。3、 阶标准微分方程组的初值问题的解的存在唯一性。第六章 线形微分方程组（一）教学目的与要求掌握线形微分方程组的一般理论主要是了解它的所有解的代数结构问题，中心问题是齐次线形微分方程组的基解矩阵。非齐次方程组的任一解可由基解矩阵通过积分求得。对于常系数线形微分方程组要能通过求特征根求得基解矩阵。对于高阶线形微分方程要求能求得齐次方程的基本解组，进而求通解。对于非齐次方程右端的两种特殊形式，能求出相应的特解，进而求通解。（二）教学重点与难点1、齐次线形微分方程组的通解构造。2、刘维尔公式 。3、基解矩阵的两性质。4、非齐次方程组的通解构造及求解公式。5、常系数线形微分方程组的基解矩阵。（1）利用若当标准型求得（2）利用待定指数函数法求得6、常系数非齐次线形微分方程组的通解公式。7、将方程组的某些理论推广到高阶线形微分方程上去。8、高阶齐次线形微分方程的通解构造。9、两种类型的高阶非齐次线形微分方程的通解构造。（三）教学方式以课堂讲授为主，通过多做例题，多做习题加深学生对授课内容的理解。（四）教学内容 第一节 一般理论1、齐次线形微分方程组（1）通解构造（基解矩阵）（2）利用朗斯基行列式判定线形相关（无关）（3）基解矩阵的两个性质。2、非齐次方程组（1）通解构造（2）利用常数变异法求出通解公式。第二节 常系数线形微分方程组1、矩阵指数函数的引入及性质。2、常系数齐次线形微分方程组的基解矩阵为 。3、利用若当标准型求得基解矩阵为 。4、利用待定指数函数法求得基解矩阵。（1）A有单根（2）A有重根5、举出可以不用定理5，6求解的方程组的特例。第三节 高阶线形微分方程1、高阶线形微分方程的一般理论（1）齐次线形微分方程的通解构造。（2）基本解组的引入及如何判定其为基本解组。（3）非齐次线形微分方程的通解构造。（4）重要例题。2、常系数高阶线形微分方程（1）利用特征方程的特征根求得齐次方程通解。（2）就两种特殊类型的非齐次方程，如何利用其特殊性求得特 解，进而求通解。（3）举例说明某些方程组可以转化为方程计算求解。（4）本节课后大部分习题给予讲解。三、教学方式与方法理论及例题部分以课堂讲授为主。课后习题大部分由学生独立完成，较难的在辅导课时间给予讲解。通过批改作业及课堂进行小测验督促学生学习及检验学生对所学内容的掌握情况。四、课程考核与要求考核方法：闭卷笔试与平时成绩相结合，由教师掌握。采取百分制。五、课程纲要制定程序本课程纲要的制定是由师范学院院长梁晓俐教授、副院长牛平、数学系主任周毅、聂锡军、李艳红、于强共同研究初步定稿，由聂锡军老师具体执笔编写。六、课程使用的教材与教学参考资料（一）教材名称：常微分方程（二）参考资料：1、常微分方程 东北师范大学 2、常微分方程 中山大学 3. 常微分方程 丁崇文（三）其他参考资料:1.常微分方程典型题解法和技巧 丁崇文2.常微分方程习题与解答 丁崇文3.常微分方程习题解 庄万
随机微分方程数值解在泄洪风险分析中的应用摘要: 根据泄洪过程中库水位过程的随机微分方程,利用数值解方法,模拟了随机干扰下的库水位及其波动状况.采用相应公式计算了洪水漫越坝顶事件的概率以及库水位过程在不同时刻的样本均值.并通过比较在同样强度的随机干扰下库水位的高低状况,确定出各种泄洪方案的优劣,从而对防洪工作具有重要的指导意义.关键词: 随机微分方程;数值解;欧拉法;泄洪风险1 引 言收稿日期:2005-06-27基金项目:国家自然科学基金(60474037);教育部新世纪优秀人才支持计划(NCET-04-415) 对于洪水,风暴潮等自然灾害事件,风险分析是一种极为有效的工具[1].由于洪水过程具有很多种不确定性因素,随机性便很自然地被引入到防洪过程的分析.近年来,这方面的很多研究工作都认为洪水过程是一随机点过程[2—4];Sen以一阶马尔科夫过程为工具对具有线性相关结构的水文系列风险进行计算[5].特别地,随机微分方程被引入防洪风险分析,由此建立了水库调洪演算的随机数学模型[6,7].由于随机微分方程本身的复杂性,除了一些线性的或者特殊结构的方程以外,可求出显示解的随机微分方程很少[8,9].本文中讨论的随机微分方程不具有上述性质,因此无法求出显示解.姜树海根据其解过程的一阶概率密度函数满足Fokker-Plank向前方程,而这一方程又是一偏微分方程,从而利用偏微分方程的有限差分法求出其数值解[6],但这种方法不能求得概率特征,于是JC计算方法被用于近似地算出洪水漫越坝顶的概率[7].不难看出,这种方法由于采用多次转化,误差比较大.本文利用随机微分方程数值解方法,结合实际例子,分析总结了库水位在布朗运动干扰下的随机波动状况;直接求出了洪水漫坝的风险概率和库水位过程在不同时刻的数学期望.并且还对不同的方案进行分析比较,以确定哪种方案的效果更好,从而可对防洪决策过程提供一定的依据.2 调洪过程的随机微分方程调洪过程中入库洪水和出库泄量是随机过程,其库容水位满足随机微分方程[6]:dH(t) =Q-(t) -q-(H,c)G(H)dt+dB(t)G(H)H(t0) =H0(1)H(t)为库水位过程;H0为初始库水位,它是一个随机变量;Q(t)为任意时刻入库洪水量;q(h,c)为相应时刻的泄洪流量;Q-,q-分别为来流和泄洪的均值过程线;c为流量系数等水利参数.G(H) =dW(H)dH,W(H)是水库的库容量,B(t)是一均值为零的Wiener过程,dB(t)/dt是一正态白噪声,B(t)的一维概率密度函数f(B)为:f(B) =12πt·σexp -B22σ2t.由上式可以看出,E[B(t)] = 0,D[B(t)] =σ2t.洪水漫越坝顶的泄洪风险率定义为Pf=Pf[H Z],其中,Z为相应的坝高.3 计算方法由于随机微分方程很少可求出显示解,故其数值解方法得到广泛的研究和应用.相对于常微分方程数值法而言,随机微分方程数值解方法引入了随机增量,它将所考虑的时间区间做有限划分,一步一步地在节点处生成样本轨道的逼近值,其数值解方法主要有:Eu-ler法、Milstein法、Runge-Kutta法等.这里采用Euler法. 随机微分方程解的欧拉逼近法考虑一般随机微分方程:dXt=a(t,Xt)dt+b(t,Xt)dWt(2)其中,t0 t T,初始条件是Xt0=X0.我们对时间区间[t0,T]进行离散化:t0=τ0<τ1<…<τn<…<τN=T. 采用Euler逼近法[8],构造一连续过程Y= {Y(t),t0 t T}满足以下迭代格式:Yn+1=Yn+a(τn,Yn)(τn+1-τn) +b(τn,Yn)(Wτn+1-Wτn)其中,n= 0,1,2,…,N- 1,Y0=X0.将通过逐步迭代得出的有限个离散的随机变量作为原随机微分方程在相应时间节点的近似解.显然,如果扩散项系数为零,则原随机微分方程退化为一般的常微分方程,于是随机微分方程的Euler法就退化为常微分方程的Euler法.就数值方法而言,一般讨论其强收敛性.定义1[8] 对于一个最大步长为δ的离散逼近序列Yδ,它在时刻T强收敛于一个Ito∧过 你好，我有相关论文资料（博士硕士论文、期刊论文等）可以对你提供相关帮助，需要的话请加我，7 6 1 3 9 9 4 5 7（扣扣），谢谢。
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微分方程在力学中的应用是非常广泛的。但是你的问题问得太不着边际了，很难回答。微分方程分为常微分方程和偏微分方程。一般来说，后者应用更为广泛。常系数常微分方程通常用来解一些最简单、最基本的动力学问题，例如速度、加速度、弹簧受力分析等等。例如：F=m*d(ds/dt)/dt就是牛顿第二定律。这些方程一般都可以解出。最常见的非常系数常微分方程有贝赛尔方程、薛定鄂方程以及非线性薛定鄂方程等，这些方程一般应用在边界条件为圆柱或圆球形状的波的振动描述上。偏微分方程是分析波动、二维受力分析等常见的方程了。如果你要写论文，可以考虑以下两方面的应用：1 牛顿定律分析2 波动分析
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举例说明常微分方程模型是各类数学建模竞赛中常见的模型, 并通过列举一些参考文献来说明此类模型的建模方法和求解求解技巧不仅相同. 从而得出"常微分方程在数学建模中的应用"是值得研究的.
终于看到有问数学的了。其实可以看得出来你得到是尽量降低了问题的难度，因为这是可以降的常微分方程。你可以看看相关书籍，可以先看看差分方程，类比一下。当然了，我们不能直接告诉你结果，学习数学的认最忌讳的就是这个了。我建议你读读经典微分方程教材。
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1500字太夸张了，给你一下提示吧！ 1、运用微分方程或微分方程组，可以描述经济系统的动态运行规律。2、运用微分方程，可以分析经济系统的均衡与稳定性。3、在微分方程中加入控制变量，将经济学问题转化为最优控制问题，可以分析经济系统的最优控制策略。目前比较常用的微分方程在经济学中的应用有：（1）最早的哈罗德-多马经济增长模型、索罗模型等均属于微分方程（或转化为差分方程）模型。（2）后来的经济增长的世代交替模型等也是运用的微分方程。（3）技术扩散的巴斯模型，以及分析竞争洛克塔-瓦塔利亚模型也是微分方程模型。（4）亚瑟的路径依赖与锁定模型是随机微分方程。（5）布莱克-斯科尔斯期权定价模型，源于随机微分方程和变分法。（6）各种进化博弈模型中的复制动态方程是微分方程。
微课对小学数学高效课堂构建的作用论文
在平时的学习、工作中，大家都写过论文，肯定对各类论文都很熟悉吧，论文写作的过程是人们获得直接经验的过程。那么你有了解过论文吗？以下是我帮大家整理的微课对小学数学高效课堂构建的作用论文，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
摘要 ：小学数学是小学教育的基础学科之一，对小学生的数学启蒙具有重要的教育意义。微课是一种高效的教学辅助手段，能够帮助学生快速地归纳知识，让学生掌握重点和难点知识，从而达到高效学习的目的。小学数学教师应该本着"以人为本"的教学观念，结合微课构建小学数学高效课堂。微课的灵活性使数学教师不仅能够随时地帮助小学生学习数学知识，还能够重点地培养小学生的数学核心素养，促进小学生数学能力的全面发展，从而提高小学数学的教学成效。
关键词： 微课；小学数学；高效课堂；
一、微课的教学意义
随着教育的改革发展，小学数学作为学生数学学习的出发点，其教学模式也应随之改变。微课就是新教学手段之一。微课一般时长十分钟左右，能够帮助学生快速地梳理知识点和掌握知识的重难点。微课视频具有很大的教学价值，因为其高度的灵活性，使教学在时间上不再局限于课堂、在知识范围上不再局限于课本。微课还可以让学生自由地调整自己的学习时间，帮助每个学生完善自己在知识学习上的不足。
结合微课构建小学数学的高效课堂，首先，教师要强调预习和复习环节，可以利用微课来调整学生的学习时间，让学生获得最大的学习效果；其次，教师要注重课堂形式，可以结合微课来丰富课堂教学，营造课堂氛围，激发学生的学习兴趣；最后，教师要让数学学习贴近现实生活，可以让学生在生活中学习数学，并从数学中学习生活知识。因此，数学教师结合微课，能够使课堂教学多元化，在提高学生学习能力的同时，能够促进学生全面发展。
二、基于微课的小学数学高效课堂的构建策略
（一）注重预习和复习
小学数学学习的每个环节都非常重要。课堂上的学习时间固然重要，但学生只有做好预习和复习，才能在学习上取得事半功倍的效果。预习可以使学生为上课做好准备，让学生在课堂上更有信心，并能够保证学生的课堂学习质量。复习能够加深学生对新学知识的印象，并能够巩固知识。因此，教师应敦促学生做好课前预习和课后复习，并要注重引导学生自主学习，不依赖于教师和课堂，从而培养学生的自主学习能力。
例如，在人教版小学数学四年级上册《平行四边形和梯形》的学习中，教师就要在上一节课提前布置预习任务，让学生利用微课视频来大概了解章节内容，将课本中不理解的地方标识出来，并熟悉平行四边形和梯形的相同之处和不同之处。在这节课的课堂教学进行之后，教师要让学生在课下利用微课视频来进行复习，并归纳本节课所学内容。只有这样，小学生才能养成预习和复习的良好学习习惯，才能在课堂上轻松地进行学习。微课的利用在包括预习、课堂和复习的整个小学数学教学中，都能发挥极大的效用，从而提高教学质量，培养学生自主学习的`意识和提高数学学习的能力。[1]
（二）构建魅力的课堂
小学数学的知识内容广泛，是小学生之前从未接触到的学科。作为小学数学教师，我们要在课堂上营造良好的教学氛围，才能激发小学生的好奇心，促使他们快速地进入学习状态。为此，小学数学教师可以结合微课视频，播放小学生感兴趣的学习视频，从而吸引学生的注意力，引导他们集中到课堂学习中来。微课视频这种丰富多彩的教学形式，能够帮助教师营造课堂教学氛围，构建魅力小学数学课堂，从而让学生能够充分地吸收知识。
例如，在人教版小学数学三年级下册第五单元《面积》的学习中，教师可以让学生在课上观看关于《面积》的微课视频，并提出问题如"如何衡量教室的面积"等，来激发学生的求知欲。教师还可以用微课来丰富课堂形式和进行课堂互动，如播放一个有问答题目的《面积》学习视频，在每个题目出来后让学生快速地计算面积，对回答问题最快、最正确的学生给予奖励。因此，教师通过利用微课视频，能够营造课堂的学习气氛，激发学生的学习兴趣，帮助学生快速地进入学习状态，从而提高小学数学课堂的教学效率。
（三）贴近生活，让学多动手
小学生对新知识具有好奇心。因此，小学阶段是培养学生的兴趣爱好和学习能力的重要阶段。数学是贴近实际生活的学科。小学数学教师要注重培养小学生在生活中发现、观察、感受数学知识的能力，并使学生通过学习和动手实践，能够理解一些生活中的数学常识，以及解决一些生活中的数学问题。因此，在小学数学教学中，教师可以利用微课视频，开展一些手工制作活动，提高学生动手能力。
例如，在人教版小学数学三年级下册《年、月、日》的学习中，教师可以让学生准备纸笔，根据今年的日历推算明年的日历，来亲手制作一个日历本。教师可以让学生根据微课视频中的步骤和口诀"一三五七八十腊",来准确地制作好每一个月的日历。日历不仅贴近生活，还有实际用处。在学生完成日历的制作后，教师就可以让学生将日历装订好，送给自己的亲人作为纪念。
因此，小学数学教师结合微课进行教学，不仅可以巩固学生的课本知识，还能锻炼学生的动手实践能力，拓展学生的数学思维和培养他们的数学核心素养。
总而言之，在小学数学教学中，教师在课堂教学中融入微课，可以实现课堂效率的最大化。微课的灵活性，可以丰富课堂形式，让课堂教学变得更加人性化。同时，微课的灵活性还能够让学生自主支配学习时间，建立自己的学习方式和体系，为以后的数学学习打下基础。另外，教师通过微课来实施贴近实际生活的数学教学，提高学生的实践能力，促进他们数学综合能力的提高。
三、参考文献
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历史教育论文参考文献
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电力工程论文参考文献
在个人成长的多个环节中，大家都不可避免地会接触到论文吧，论文是一种综合性的'文体，通过论文可直接看出一个人的综合能力和专业基础。写论文的注意事项有许多，你确定会写吗？下面是我为大家整理的电力工程论文参考文献，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
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