贝叶斯下的市场风险资产损失计量

论文导读:：目前VAR模型是国际上通行的综合衡量和管理风险的计量技术，但当分布是非正态分布或是不连续的时候VaR就没有稳定性。本文应用VaR以及CVaR的基本原理，同时利用具有尖峰后尾特征的对数正态分布并结合贝叶斯风险，对参数通过先验分布和后验分布进行修正得到市场风险资产CVaR以及VAR的计算公式，对其进行分比较分析，将其与pareto分布下的市场风险VAR值进行比较。研究表明：对数正态分布下市场风险资产的损失率比损失率呈pareto分布的风险损失显现出更好的拟合特征，能够描述市场风险资产的随机性最大损失，以及CvaR计量下的市场风险资产损失比VaR计量下的有更好的尾部特征，更加符合风险的充分性。
论文关键词：VAR，CVaR，对数正态分布，贝叶斯估计，市场风险，先验分布，后验分布

　　引 言：随着社会经济的全球化迅猛发展，技术的进步以及观念的更新，人们在从事各种活动过程中所面临的可能会影响到结果的各种不确定性事件的发生率也在逐日增加，从巴林银行，安然公司的倒闭到现如今的雷曼，美林等大型金融企业的倒台，导致各行各业都将注意力集中到市场风险计量和管理上。目前基于市场价值测量法的风险价值方法（Value At Risk）贝叶斯估计，被称为风险管理的VaR革命，已经成为各国金融市场风险计量中的主流方法。研究VAR 以及VCaR的代表性文献有：茆诗松等给出的BVaR以及BCVaR等的概念以及性质和特点等的理论性研究^[7] ；penza和bansal系统给出了基于市场风险的风险价值计量方法的定义、原理和方法^[1]；刘小茂，田立对于VAR 和VCaR进行了简要的对比研究^[3]等等，这些研究都是在假设收益分布是服从正态分布的情况下给出了VaR和VCaR的计算公式，但近年来国内外的研究者通过数据检验以及各种实证研究发现在很多极端的情况下尾部的高风险（如巨额损失）发生的概率要高于标准正态分布下风险的概率，且这些事件的发生很可能会导致公司破产，也即是说市场风险存在尖峰后尾的特征，同时发现当收益分布是非正态分布或不连续的时候，VaR就缺少稳定性；当计量中涉及的数据量比较大的时候，VaR的计算就变得比较困难；当收益分布的维数比较高的时候，VaR对于风险的计量就变得基本不可行，目前只有钱艺平等在市场风险资产损失服从Pareto分布下对资产损失进行了VAR计量，同时对市场风险的尖峰后尾通过Pareto分布进行了描述并且给出了VAR的具体模型；对于CvaR与VaR的比较研究已经比较成熟，且条件风险价值^[9]（CVaR）已经被学术界公认为是比VaR更合理有效的现代风险管理方法。本文运用VAR以及CVaR的计算原理，利用具有尖峰后尾特征的对数正态分布贝叶斯估计，同时通过贝叶斯方法对对数正态分布下资产损失的各个参数估计进行修正，使之更能反映资产损失市场风险的实际情况，并给出修正后CVaR以及VAR计量的具体模型期刊网。这些研究对于资产损失的市场风险计量和管理具有重要的理论和指导意义。
　　一．VaR与CVaR的原理
　　（一）风险计量的三个基本要素
　　(1) 置信区间。置信区间的选择主要是依赖于对VaR验证的需要，内部风险资本需求，监管要求以及在各个机构之间进行比较的需要，一般都是在99%的置信度下计算VaR，摩根集团是在95%的置信度下计算VaR。
　　(2) 资产收益率的分布。应用VaR时，最重要的是R分布的假设，不同的资产收益率的假设分布，即使在相同的置信水平下也对应着不同的VaR值。
　　(3) 资产持有期的长度。资产持有期是计算VaR的时间范围，显然资产的持有期越长资产组合收益率的波动性就越大。而具体的持有期长度需要考虑资产的交易性，管理者的风险偏好，公司的资本状况，风险文化等因素^[5]。
　　（二）与基本原理
　　的直观解释就是“处于风险中的价值”，它是在一定的置信水平下贝叶斯估计，由于利率，汇率等市场风险要素发生的变化，使得某一资产组合或金融资产在未来特定的一段时间内面临的最大可能损失^[6]，即：
　　（1）
　　其中为资产在持有期内的损失，为置信水平，VaR置信水平下的风险价值期刊网。
　　由的定义，设为持有期初资产组合的价值，由于计算的是特定持有期的损失，为了使得大于0，假设R为持有期内的资产损失率，当R的概率密度函数服从正态分布时，满足方差——协方差法的假设，则在给定的置信水平下的资产组合的就可以表示为：
　　（2）
　　令,资产的最小回报率为 ，就能得到：
　　（3）
　　对于来说当损失分布是非正态分布或不连续的时候，没有稳定性；当数据量比较大的时候,的计算就变得比较困难；当分布的维数比较高的时候贝叶斯估计，对于风险的计量及变得不可行，针对的这些不足学者们提出了这一概念。是指在一定的置信水平下，损失超过的尾部事件的期望值，也就是在某段时间，一定置信水平下，资产的市场风险损失超过计量值时的平均损失。它反映了损失超过阈值时可能遭受的平均损失大小。具体可以表示为^[10]：
　　（4）
　　其中，为持有期内的资产损失率，就为在一定置信水平下资产所遭受风险的最大损失。由期望的基本性质我们可以推出：
　　

　　
　　当且仅当相互独立时（1）式等号成立。
　　由（1）式可以推出无论资产损失率分布是否呈现正态分布，都是具有有一致性的风险度量，且其具有次可加性，能够满足在分布呈高维下处理不足的情况，同时能够简单明了的说明对于任意几个单项投资来说，其投资组合的风险损失明显小于单项投资损失之和，这就和经典分散投资理论相吻合。
　　由（2）式可以推断出具有凸性，它可以简单有效的计量当数据量很大时的风险损失情况从而弥补了在计量数据量较大时计量带来的不足。
　　此外当损失分布呈正态分布时容易证明其贝叶斯估计，以及均值—方差理论在计量风险损失方面具有相同的最优解。
　　从以上的说明中可以看出在计量风险损失方面比具有更好的适用性期刊网。
　　（三）与的数学关联性
　　通过计算两者之间的算术表达等式可以进一步的说明与之间的关系。
　　
　　又由
　　
　　其中，故我们可得：
　　（5）
　　其中。
　　二．贝叶斯方法在损失分布中的应用
　　现在我们一般应用的风险管理模型，常常采用计算机模拟的方法去拟合损失分布，常存在比较严重的失真现象，即拟合的分布与实际的情况之间总是会存在或多或少的差异，比如以前我们对于市场风险的资产损失分布是假设其服从正态分布的，但随着各种较大风险的发生通过研究逐渐发现其分布实际是具有后尾特征的（其发生风险的概率要远远大于正态分布假设下认定的概率）。因此为了提高准确性，我们就要利用各种有用的信息来提高精度。
　　本文先利用历史数据对各个参数进行正态拟合，得到正态分布下各个参数的修正值，并且以此作为各个参数的先验分布，然后通过历史样本数据对其各个参数再进行贝叶斯修正，得到各参数的后验分布，进而就能得到各参数比较精确的估计值^[7][8]。
　　（一）的贝叶斯修正
　　由市场风险损失的历史数据（）,,为计算方便起见我们不妨假设是已知的，且其值为。这样通过抽样可以得到样本的似然函数：
　　（6）
　　实际的计算过程中可以根据历史数据结合最大似然估计等方法用最小方差无偏估计来做为已知的值，或者可以直接应用经过贝叶斯修正以后的值。
　　已知正态分布中的的共轭先验分布的形式为倒伽马分布贝叶斯估计，Gamma分布的密度函数为：
　　（7）
　　由此可得共轭先验分布的分布密度函数，其中与为已知。
　　（8）
　　于是的后验分布为：
　　（9）
　　容易看出，这是倒Gamma分布，它就是正态分布的后验分布，取其后验分布的期望为的修正后估计，就能得到：
　　
　　（二） 的贝叶斯修正
　　正态分布的期望本身也是服从正态分布的，,为了方便，我们不妨假设是已知的，且期刊网。由历史数据通过抽样可以得到样本的似然函数为：
　　 （10）
　　正态分布的共轭先验分布仍然为正态分布，由此可知的共轭先验分布为,且其共轭先验分布的密度函数为：
　　（11）
　　其中均为已知。
　　于是后验分布的密度函数就为：
　　
　　
　　
　　显然可以看出的后验分布是服从正态分布(,)，且其后验分布的期望值为：
　　

　　(12)
　　所以的贝叶斯修正估计值就为。
　　 三.对数正态分布的引入及其具体应用
　　（一）对数正态分布的引入
　　对于由市场风险引起的风险损失,已有学术著作运用贝塔函数拟合方法和蒙特卡洛模拟方法对商业银行的损失分布进行研究，得到损失分布的尾部特征是具有厚尾现象的，同时近年来国内外的研究者通过数据检验和实证研究发现高风险（小概率事件）发生的概率要高于标准正态分布下风险的发生概率，严重情况下有可能导致导致公司破产，由此不难推出由市场风险引起的损失分布也具有尖峰后尾现象。我们知道对数正态分布是具有尖峰后尾现象的贝叶斯估计，因此本文通过假设市场风险的损失分布是服从对数正态分布，利用贝叶斯方法充分利用已知的先验信息然后利用抽样获得的信息推断出相关参数的后验分布，这样就能充分利用各种有用的信息来提高拟合精度，从而得到更加符合实际的结果。
　　假设市场的风险损失率服从参数为的对数正态分布，其中是期望市场风险资产损失率（平均市场损失率），是市场风险资产损失的标准差，反映的是市场风险的波动程度。市场风险资产的损失率的概率密度函数为：
　　 （13）
　　（二）对数正态分布的具体应用
　　由前文的说明可知市场风险的资产组合损失率是服从对数正态分布的，且损失率lnR的密度函数为：
　　
　　因此由在险价值VaR的定义，在给定置信水平下，市场风险资产的VaR应满足：
　　（14）
　　应用标准这正态分布可将其转换为：
　　(15)
　　其中。
　　将（13）式带入（12）式，得
　　 （16）
　　所以，在给定的置信水平下，就能通过式（16）带入相关数字后得到市场风险资产组合的。根据（5）和（16）结合能够得出条件在险价值.
　　四，实例应用
　　本文通过一个具体的实例来说明如何利用已知的历史数据来用文章中所阐述的方法得到VaR以及CVaR.(所引用的数据来自于人大统计与精算学报的2009年第5期中80页中所用到的数据^[5])
　　假设某一资产万元,损失率服从分布：，此处我们不妨取时间为一年贝叶斯估计，损失率如下图所示（计算中取置信度为99%）。(单位：%)
　　

运用MATLAB软件对上面的数据进行描述性统计分析，得到资产的市场风险损失率近似服从对数正态分布，然后应用贝叶斯估计通过多次抽样对正态分布下的两个参数分别进行贝叶斯修正期刊网。通过对已知的历史数据进行随机抽取得到一组样本，重复这样的抽取次数越多得到的结果越符合实际情况，我们不妨取每次抽样的样本个数为100，重复进行抽样100次，这里取标准差的先验分布函数，根据计算可得；取方差的先验分布为，通过计算得。（为了精确起见需要进行多次抽样，每次模拟抽样都能得到一个以及，然后分别求其均值得，），将所得的数据带入（16）式，置信度为99%时得59.9，置信度为95%时得49.5.通过与文献[5]中的结果（置信度为99%时得46.02）进行比较显然可知在对数正态分布的情况下资产的损失具有更好的厚尾特征贝叶斯估计，更能确保风险的充分性，说明对数损失率在对数正态分布下的风险损失计量比parato分布下的风险计量具有更好拟合性。将所得的值代入（5）式可以得到：置信度为99%下，=69.5；置信度为95%下，=55.4，可以看出方法比方法在风险计量方面更具充分性，能相对较好的描述市场风险带来的资产损失。
　　五，结论与展望
　　目前很多国家都在积极的使用各种方法对市场风险进行计量，其中已经成为了主流的计量方法，但近几年来随着研究的进一步深入，学者们极力推荐在市场风险计量方面比更加有效的。由于中国的金融市场还处在变革和继续发展以及完善的阶段，中国金融监管部门力推金融机构采用模型来规避金融市场风险，模型是国际上通用的衡量市场风险的工具，对于各个国家的风险管理有着重大的借鉴和现实意义。
　　本文通过对对数正态分布的两个参数进行贝叶斯修正后，利用其厚尾特征对资产损失的市场风险损失率进行了详细的描述，并相应的得出了市场风险资产和的估计值贝叶斯估计，以及在损失率呈对数正态分布情况下和以及它们与置信水平之间的关系，同时通过分析知对数正态分布对于资产损失的市场风险计量比pareto分布在市场风险的度量上具有更好的拟合性，在风险计量方面比在风险方面有更好的充分性，适用性以及实用性。但无论是那一种计量方法都只是在一定置信度内对市场风险的最大损失或尾部事件发生的平均可能性进行评估，忽视了置信度外的超额损失，另外利用贝叶斯方法修正得到的参数值也只是使得其更加接近于实际，并不能达到完全一致，因此准确预测资产的市场风险，还有待于进一步的探讨。

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