在ＡＲＣＨ＆ＧＡＲＣＨ下的金融实例分析
发布时间：2015-07-04 20:32
一、引言
在接触到时间序列数据之前，我们主要利用最小二乘估计（ols）来分析横截面数据及面板数据。ols估计的几个重要的假设，其中很重要的一点就是：所有的误差项的条件期望值及条件方差均相同，即：同方差假设。可我们不禁要问：现实生活中真的是否存在同方差？关于同方差的假设一般是被应用到横截面数据当中的。可是我们发现，即使在横截面数据中也不一定存在同方差。我们曾经在用stata处理横截面数据的异方差问题时，用到了这样一个命令：robust standard errors。如果样本数足够多，那么robust standard errors是可以提供对异方差较好的估计的。但是，如果样本数并不多，或者说很少，用这个方法并不能达到预期的效果。在横截面数据中尚且如此，那么在时间序列中，尤其是金融产品领域，异方差是常有的事，如果仅仅依靠ols估计，或利用robust standard errors，并不能解决根本问题。
如果存在异方差时，仍利用ols估计，尽管对系数估计是无偏的，然而，在对标准误和置信区间估计时则不精确。也就是说传统的方法在分析异方差时是有缺陷的，而经济实务中的现实要求，对学术界提出了新的期待。于是，arch模型应运而生了。
所谓的arch模型就是自回归条件异方差模型，将异方差视为变量。以及后来又继续发展出来的garch模型，甚至还有egarch模型（nelson,1991），tarch模型（rabemananjara&zakoian,1993）。通过arch&garch模型，一方面可以弥补ols估计在衡量异方差时的缺陷，同时还可以用于预测误差项的方差。而一般情况下，我们把这些方法应用于金融领域，它们已经被广泛地应用于处理时间序列异方差模型中，运用这两个模型的目的，就是产生一个用于预测波动的工具。
在本次的研究中，本人主要将arch＆garch应用于风险价值的分析中。因此，本文力求在理论上给出一些解释，并进行相应的反思。
二、数据与模型
首先，对于本次研究对象value-at-risk，简称var，从经济学角度来说，在一定的持有期程一定的置信区间内，一个投资组合最大潜在损失是多少，资产在正常的市场条件下的风险值。var要计算的实际上是正常情况下投资组合的预期价值与在一定置信水平下的最低价值之差。以本次的例子来说，var（＄1,000,000，99%），表明这一投资组合有99％的可能性损失不超过＄1,000,000，换句话说，只有1％超过＄1,000,000。置信区间很重要，它主要反映一家银行风险的战略和经营特点。例如，大通银行是97.5％，花旗银行为95.4％，美洲银行和摩根斯坦利为95％。风险价值方法是近几年发展起来的用以测量和控制金融风险的量化模型，已经被全球各主要银行、非银行金融机构、公司和金融监管机构采用。1996年，巴塞尔委员会委员规定其成员银行及金融机构必须采用var技术针对交易书中的所有项目建立内部市场风险模型，用于风险控制、业绩评估、金融监管。
其次，本例中分析的是金融产品组合（portfolio），主要包括：50%纳斯达克（nasdaq）、30%道琼斯（dow jones）以及20%10年长期国债(10–year constant maturity treasury bond)。样本的时间是从1990年3月23日到2001年6月28日，同时还需要产生三个变量：rate = - dlog(usbyld)nq = dlog(nasdaq)，dj = dlog(djindus)，port = 0.5*nq+0.3*dj+0.2*rate。 在基本创建好相关的变量后，我们就可以利用数据进行相关的分析。
三、分析
首先，根据表1的相关数据进行分析。
从均值（mean）来看，nq是最大的，而rate最小的，均值主要是反映投资的回报的高低。从标准差（）来看，显然，nq是最大的，也就是说它的波动最大，风险最高，而rate是最小的，port虽然不是最小，但是可以看出它比nq和dj都来得小，这主要是由于port是产品组合，通过多样化（diversification）的投资可以减少风险。同时这两个数据反映了这么一种关系：报酬越高，风险可能也就越大。再次，从偏度（skewness）来看，都小于0。也就是它们的实际收益率数据分布并不关于0点对称。如图2所示，本例中的数据均呈现出左偏斜。同时，从该图中，我们能看到峰度（kurtosis）都>3,这表明实际的收益率尾部概率比正态分布大，这也被称为“厚尾”现象。
其次，对于该金融产品组合来说，要来检验是否存在arch模型，是可以通过对残差平方做自相关分析。结果见表2，如下：
从一阶自相关系数是0.210，随着滞后阶数的增加，自相关系数总体呈现递减趋势，15阶自相关系数是0.083。这反映了，近期的影响较大，随着时间跨度增大，影响越小。从表2中能看得出来，p值非常的小，也就是说拒绝“不存在arch”的零假设。
在garch（1，1）中是否存在arch呢？这需要通过对标准误的平方作自相关分析。与表2一样，在该模型中，自相关系数随着滞后阶数的增加呈现递减趋势，然而，p值却比较大，基本上大于0.5，可见不能拒绝“不存在arch”的零假设。
最后，我们需要利用var与实际损失（loss）来评估这个模型是否可以被用于实践中。分别对样本内（1990-3-23 到2000-3-23）和样本外（2000-3-24到2001-3-24）数据做图，（其中具体的产生变量的方法详见ppt）。结果分别如图1、图2所示。从图1、图2可以看出，loss的值基本上是在var之下，即在置信区间内，其中只有1％的部分是超过var的。也就是说，该模型是可以用于实际预测的。但是，需要明白的是，var的真正用途在于衡量波动，而不能精确地估计某一个特定的值。也就是说，这只是一个对一定时期的可能的预测。
在接触到时间序列数据之前，我们主要利用最小二乘估计（ols）来分析横截面数据及面板数据。ols估计的几个重要的假设，其中很重要的一点就是：所有的误差项的条件期望值及条件方差均相同，即：同方差假设。可我们不禁要问：现实生活中真的是否存在同方差？关于同方差的假设一般是被应用到横截面数据当中的。可是我们发现，即使在横截面数据中也不一定存在同方差。我们曾经在用stata处理横截面数据的异方差问题时，用到了这样一个命令：robust standard errors。如果样本数足够多，那么robust standard errors是可以提供对异方差较好的估计的。但是，如果样本数并不多，或者说很少，用这个方法并不能达到预期的效果。在横截面数据中尚且如此，那么在时间序列中，尤其是金融产品领域，异方差是常有的事，如果仅仅依靠ols估计，或利用robust standard errors，并不能解决根本问题。
如果存在异方差时，仍利用ols估计，尽管对系数估计是无偏的，然而，在对标准误和置信区间估计时则不精确。也就是说传统的方法在分析异方差时是有缺陷的，而经济实务中的现实要求，对学术界提出了新的期待。于是，arch模型应运而生了。
所谓的arch模型就是自回归条件异方差模型，将异方差视为变量。以及后来又继续发展出来的garch模型，甚至还有egarch模型（nelson,1991），tarch模型（rabemananjara&zakoian,1993）。通过arch&garch模型，一方面可以弥补ols估计在衡量异方差时的缺陷，同时还可以用于预测误差项的方差。而一般情况下，我们把这些方法应用于金融领域，它们已经被广泛地应用于处理时间序列异方差模型中，运用这两个模型的目的，就是产生一个用于预测波动的工具。
在本次的研究中，本人主要将arch＆garch应用于风险价值的分析中。因此，本文力求在理论上给出一些解释，并进行相应的反思。
二、数据与模型
首先，对于本次研究对象value-at-risk，简称var，从经济学角度来说，在一定的持有期程一定的置信区间内，一个投资组合最大潜在损失是多少，资产在正常的市场条件下的风险值。var要计算的实际上是正常情况下投资组合的预期价值与在一定置信水平下的最低价值之差。以本次的例子来说，var（＄1,000,000，99%），表明这一投资组合有99％的可能性损失不超过＄1,000,000，换句话说，只有1％超过＄1,000,000。置信区间很重要，它主要反映一家银行风险的战略和经营特点。例如，大通银行是97.5％，花旗银行为95.4％，美洲银行和摩根斯坦利为95％。风险价值方法是近几年发展起来的用以测量和控制金融风险的量化模型，已经被全球各主要银行、非银行金融机构、公司和金融监管机构采用。1996年，巴塞尔委员会委员规定其成员银行及金融机构必须采用var技术针对交易书中的所有项目建立内部市场风险模型，用于风险控制、业绩评估、金融监管。
其次，本例中分析的是金融产品组合（portfolio），主要包括：50%纳斯达克（nasdaq）、30%道琼斯（dow jones）以及20%10年长期国债(10–year constant maturity treasury bond)。样本的时间是从1990年3月23日到2001年6月28日，同时还需要产生三个变量：rate = - dlog(usbyld)nq = dlog(nasdaq)，dj = dlog(djindus)，port = 0.5*nq+0.3*dj+0.2*rate。 在基本创建好相关的变量后，我们就可以利用数据进行相关的分析。
三、分析
首先，根据表1的相关数据进行分析。
从均值（mean）来看，nq是最大的，而rate最小的，均值主要是反映投资的回报的高低。从标准差（）来看，显然，nq是最大的，也就是说它的波动最大，风险最高，而rate是最小的，port虽然不是最小，但是可以看出它比nq和dj都来得小，这主要是由于port是产品组合，通过多样化（diversification）的投资可以减少风险。同时这两个数据反映了这么一种关系：报酬越高，风险可能也就越大。再次，从偏度（skewness）来看，都小于0。也就是它们的实际收益率数据分布并不关于0点对称。如图2所示，本例中的数据均呈现出左偏斜。同时，从该图中，我们能看到峰度（kurtosis）都>3,这表明实际的收益率尾部概率比正态分布大，这也被称为“厚尾”现象。
其次，对于该金融产品组合来说，要来检验是否存在arch模型，是可以通过对残差平方做自相关分析。结果见表2，如下：
从一阶自相关系数是0.210，随着滞后阶数的增加，自相关系数总体呈现递减趋势，15阶自相关系数是0.083。这反映了，近期的影响较大，随着时间跨度增大，影响越小。从表2中能看得出来，p值非常的小，也就是说拒绝“不存在arch”的零假设。
接下来，我们可以利用计算var的公式：var。从1990-3-23 到2000-3-23该产品组合的风险价值是22,477.60，从1999-3-23到2000-3-23为24,653.38，从2000-01-01 to 2000-3-23为35,158.92。从中可以看出，第一阶段与第二阶段的差距很小，而变化主要集中在第三阶段即最后1个季度，这也证明了存在波动。对于本例的grach模型的情况，通过表3来分析。应该来说，该图表表示的garch的模型形式与stock书中所说的还是有一定差别，主要是在表达方式上。本表中是通过c、arch（1）和garch（1）分别对照书上的截距、一阶误差项平方和一阶条件方差。将各系数相加后值小于1，也就是说存在稳定趋势。
在garch（1，1）中是否存在arch呢？这需要通过对标准误的平方作自相关分析。与表2一样，在该模型中，自相关系数随着滞后阶数的增加呈现递减趋势，然而，p值却比较大，基本上大于0.5，可见不能拒绝“不存在arch”的零假设。
最后，我们需要利用var与实际损失（loss）来评估这个模型是否可以被用于实践中。分别对样本内（1990-3-23 到2000-3-23）和样本外（2000-3-24到2001-3-24）数据做图，（其中具体的产生变量的方法详见ppt）。结果分别如图1、图2所示。从图1、图2可以看出，loss的值基本上是在var之下，即在置信区间内，其中只有1％的部分是超过var的。也就是说，该模型是可以用于实际预测的。但是，需要明白的是，var的真正用途在于衡量波动，而不能精确地估计某一个特定的值。也就是说，这只是一个对一定时期的可能的预测。