基于函数单调性的导数关系变式研究

摘　要：单调性是函数的一种非常重要的性质，它反映了函数值随自变量增大而增大或减小的变化规律．本文对函数的单调性进行变式研究，得出了一些有用的结论。

关键词：函数；单调些；导数
一、函数单调性的判断
　　（一）判断某函数在某区间上具有某种单调性，常用的是定义法即根据定义来判断。
　　（二）运用简单函数的性质直接退出所求函数的单调性，注意以下几个性质的运用：
1、函数y=－与y=的单调性相反；
2、函数y=与y=的单调性相反；
3、复合函数的单调性取决于构成复合函数的两个函数的单调性，遵循以下口诀“同增同减为增，一增一减为减”。如函数y=就是由两个函数y=和u=－2x复合而成，其中函数y=在定义域上单调递增，函数u=－2x在（－，1）上单调递减，在（1.+）上单调递增，则函数y=在（－，1）上单调递减，在（1.+）上单调递增。
4、若判断函数在某区间上不是单调函数，只要举一反例说明即可，例如，要说明函数y=x+在（0，+）上不是增函数，可取特殊值x=时，y=；x=1时，y=2来否定。
二、变式研究
    定理1 对于区间上的任意两点，充要条件是在上恒成立且在上的根是离散的。
　　证明 （必要性）当时，，即。
令，则在上单调递增，从而在上恒成立且在上的零点是离散的，即在上恒成立且在上的根是离散的。
（充分性）构造函数。
　　因为在上恒成立且在上的根是离散的，即在上恒成立且在上的零点是离散的，所以在上单调递增。
从而
即
例 已知若函数图像上的任意（不同）两点的连线的斜率小于1，求实数a的取值范围：
解 设函数图像上的任意（不同）两点为，且。
根据两点连线的斜率，由定理1可知在R上恒成立，即在R上恒成立。
所以，可得