循环平稳信号EMD去噪分解的局限性研究
0 引言
EMD<sup>[1]</sup>去噪分解方法应用广泛，在地质勘探<sup>[2]</sup>、电力检测<sup>[3]</sup>、音视频处理技术<sup>[4]</sup>等领域都取得了较好效果。如一些大型发电厂、化工企业的大型齿轮箱有上百个齿轮，发生故障时，技术人员很难直接判断出故障部位，如果逐个部位拆卸检查，不仅影响工作进度，而且会对其它好的齿轮产生影响。在EMD分解与滤波去噪的基础上，通过分析大型齿轮箱振动信号并解调处理<sup>[5]</sup>，可以准确判断出故障部位。大型故障齿轮箱振动信号表现为故障调幅信号、调频信号、调频调幅信号等<sup>[5]</sup>。EMD分解算法虽然在一定程度上去除了噪声并分离有用信号，但过度分解会对有用信号产生破坏。
1 单个调频、调幅、调频调幅信号EMD分解局限性
1.1 单个调幅信号EMD分解局限性
理论上，EMD去噪分解过程中，单个调幅信号可以作为一个IMF分量<sup>[1]</sup>被分解出，但SD值<sup>[1]</sup>越小，信号被迭代次数越多，信号的包络越趋于对称化，因此在某一SD下能作为IMF分出的调幅信号在另一更小的SD下将被分解。从式（1）看出，调幅信号可看作3个单频成分的叠加。因此，SD值很小，调幅信号迭代次数过多，原调幅信
号被EMD分解完全破坏掉，变成3个单频分量析出。如图1所示，当SD=0.2时，信号被完整析出，当SD=0.002时，信号被破坏分解成两部分（7Hz、8Hz作为一部分，6Hz作为另一部分）。
[1+Acos（2πf<sub>1</sub>t）]cos（2πf<sub>2</sub>t）=cos（2πf<sub>2</sub>t）+
A2cos[2π（f<sub>1</sub>+f<sub>2</sub>）t]+A2cos[2π（f<sub>1</sub>-f<sub>2</sub>）t]（1）
图1 调幅信号在不同SD值下EMD分解情况
1.2 单个调频信号EMD分解局限性
单个调频信号与单频信号的包络特性与信号局部均值特性完全一致，因此SD值对信号分解效果影响不大，即使SD值设置很小，迭代次数增加，但其信号仍然能被完整解析出。
对比图2与图3，仿真信号x（t）=cos[2π10t+5sin（2π1t）]采样频率60Hz，采样点数1024点。可以看出，取SD=0.2与SD=0.002对信号的分解无太大影响。
图2 调频信号在SD=0.2下EMD分解
图3 调频信号在SD=0.002下EMD分解
1.3 单个调频调幅信号EMD分解局限性
调频调幅信号的包络特性类似于调幅信号，又类似于调频信号，如式（2）所示。一个同时调频调幅的信号可看作3个频率成分交叉的纯调频信号叠加。
x（t）=[A<sub>1</sub>+B<sub>1</sub>cos（2πf<sub>1</sub>t）]cos（2πf11t+C<sub>1</sub>sin（2πf<sub>1</sub>t））
=B<sub>1</sub>2cos[2π（f11+f<sub>1</sub>）t+C<sub>1</sub>sin（2πf<sub>1</sub>t）]+B<sub>1</sub>2cos[2π（f11
-f<sub>1</sub>）t+C<sub>1</sub>sin（2πf<sub>1</sub>t）]+A<sub>1</sub>cos（2πf11t+C<sub>1</sub>sin（2πf<sub>1</sub>t））（2）
从式（2）可以看出，上述3个调频信号的频率成分相互干扰，EMD分解先将高频成分析出，再析出低频成分。因此，无论SD值小，增加迭代次数，都不能将调频调幅信号分解，但过度分解会使信号包络均匀化，破坏原信号，出现虚假频率成分。仿真信号：
x（t）=[1+cos（2π1t）]cos[2π10t+2sin（2π1t）]对比图4中（a）、（b）、（c）小图，SD值越小，过度迭代越多次，信号变形破坏变形越严重，信号产生虚假频率成分越多且复杂。
图4 调频调幅信号过度分解产生假频
2 两个调频调幅叠加信号EMD分解局限性
调频调幅信号集合了调频信号与调幅信号的特征，本文主要分析两个调频调幅信号叠加的EMD分解局限性，如式（3）：
x（t）=[A<sub>1</sub>+B<sub>1</sub>cos（2πf<sub>1</sub>t）]cos（2πf11t+C<sub>1</sub>sin（2πf<sub>1</sub>t））
+[A<sub>2</sub>+B<sub>2</sub>cos（2πf<sub>2</sub>t）]cos（2πf22t+C<sub>2</sub>sin（2πf<sub>2</sub>t））（3）
通过仿真得出以下结论：
（1）两调频调幅信号的中心频率离得越远（即f<sub>2</sub>远大于f<sub>1</sub>），两个信号越容易分解开。因此，在工程实践中，当两个或多个信号中心频率接近时，通过EMD分解法很难将它们分开，EMD分解对这种中心频率很接近的实际叠加信号的分解往往无能为力。
（2）只有当高频信号能量比低频信号能量高很多时（即A<sub>2</sub>远大于A<sub>1</sub>，B<sub>2</sub>远大于B<sub>1</sub>），才能将信号有效分开，因此对实际工程信号要求很高，EMD方法对低频分量能量高于高频分量能量的实际工程信号分解效果不明显。
仿真信号1：
x（t）=2[1+cos（2π1t）]cos[2π10t+sin（2π1t）]
+[1+cos（2π1t）]cos[2π14t+sin（2π1t）]（4）
仿真信号2：
x（t）=[1+cos（2π1t）]cos[2π10t+sin（2π1t）]
+2[1+cos（2π1t）]cos[2π14t+sin（2π1t）]（5）
如式（4）、图5所示，取低频成分能量为高频成分的2倍， 并不能将两个叠加信号分开，还因过度迭代产生了大量的虚假频率成分。
如式（5）、图6所示，取高频成分能量为低频成分的2倍，能将两个调频调幅信号分开。
采样点数1 024点，采样频率60Hz SD值0.02，低频部分极值点数374点，高频部分极值点数511点，叠加信号迭代后为375点。
（3）调制系数值越小（即C<sub>2</sub>、C<sub>1</sub>都很小），则信号调制边频带越窄，两个调频调幅成分越不容易发生干涉，分解效果越好。EMD分解对各频率分量边频带较宽的实际工程信号的分解效果较差。
图5 低频分量能量是 图6 高频分量能量是
高频分量2倍
低频分量2倍
综上所述，当高频调频调幅分量和低频调频调幅分量由于中心频率接近或边频带较宽产生频率干扰时，或者叠加信号中低频成分能量高于高频成分能量时，叠加信号并不能将其分开。此时，过度分解将出现假频。当两调频调幅叠加信号不能分解时，SD值越小，迭代次数越多，则过度迭代产生的假频将越多越复杂。
3 结语
（1）对于单个信号，单个调幅信号可以看作是3个单频信号的合成，如被EMD过度分解，将解体为3个单频
信号;单个调频信号最稳定，不易被EMD过度迭代影响;单个调频调幅信号可以看作是3个频带重叠的单独调频成分的叠加，过度EMD分解不能使其分解，但会产生复杂的虚假频率成分。
（3）对于叠加信号，无论哪种信号，两个叠加信号被分开的条件是两个信号频率成分隔开，即高、低频率分量中心频率离得越远越好，高、低频率分量各自边频带越窄越好，边频带不发生干扰，而且要求高频信号分量的能量大于低频信号分量。但实际工程信号很难满足上述条件，因此往往造成EMD去噪分解效果不佳。
（3）当叠加信号不能被分解时，信号被过度迭代，严重变形，产生假频成分，SD设置值越小，假频现象越严重。
（4）EMD分解方法适合于频率成分少，各IMF分量间频率成分差异较大，不产生频率干涉，各IMF分量局部均值差异较大，能量从高频分量到低频分量逐步减小，各分量包络不易干扰的非平稳信号。故障齿轮箱振动调制信号是循环平稳信号，频率成分非常复杂，各分量局部均值都可看作是零，各分量间频率干涉与包络干涉非常严重，其EMD分解去噪算法对这类相互重叠干涉的复合循环平稳信号效果较差。
参考文献：
[1＼] HUANG NE， SHEN Z，LONG SR，et pirical mode decomposition and the hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis[J]. The Rayal Society， 1998（454）： 903-995.
[2] 陈凯.基于经验模式分解的去噪方法[J]. 石油地球物理勘探， 2009（5）：603-608.
[3] 孙金宝，朱永利，刘丽轻， 黄建才.基于EMD的绝缘子泄漏电流去除噪声研究[J].华北电力大学学报：自然科学版， 2010（6）：1-5.
[4] 李烨.基于EMD的图像拼接和图像识别研究与实现[J].重庆：重庆交通大学，2010.
[5] 丁康，李巍华，朱小勇.齿轮及齿轮箱故障诊断实用技术[M].北京：机械工业出版社，2005： 91-108.