基于比例积分控制器的分布式动态带宽数据算法

　　0引言
　　随着超大规模集成、微电机械系统和通信网等技术的进步，给人们提供了具有感知、数据处理、驱动和通信能力的设备。这些设备对于通过通信网形成分布式控制系统来说是必不可少的，它们被用于监测和控制人们工作和生活的各种特定环境[1-2]。传感器生成一连串感知数据并通过网络传递给控制器，控制器对感知数据采样进行处理并生成合适的控制信号，再通过网络发送给执行机构，执行机构又把控制信号转换成执行动作，从而影响和控制特定环境。
　　分布式控制系统通常通过局域网或专用网络来实现。近年来，开放标准网络由于其更低的成本、更高的速率和易安装配置等优势，已经演化成一种适用方便的分布式控制通信方式[3]。然而，通过开放标准网络实现分布式控制仍然局限在局域网和有限区域内的网络。如果分布式控制广泛用于无处不在的网络互连协议（Internet Protocol， IP网络，则网络带宽就是一个至关重要的问题。因为当多个应用争夺有限的带宽资源时，如果没有合适的协调机制，那么拥塞就必然会出现。在绝大数带宽分配策略中，都是采用公平分配带宽来衡量带宽分配效率。因此本文的目标就是公平地分配带宽，以避免拥塞和尽最大能力来满足每个系统的需求。
　　本文主要讨论建立在广域网和地理上呈分布式网络的分布式控制系统。更具体地说，主要针对建立在IP网络上的闭合反馈控制环路进行研究。关于这方面，最近有文献提出了一种端到端的算法，这种算法把读出缓冲器、自适应采样和控制策略集合在一起，从而使控制系统能够适应不同层次的网络服务变化[4]。
　　在一些文献中，通常也把通过通信网实现的分布式控制系统称为网络化控制系统（Networked Control System， NCS[5]，以下在分析时采用这个术语。
　　关于NCS的带宽分配已经引起了研究人员的广泛关注提出的分配算法利用网络的可用带宽和每个系统的状态误差来适应采样周期，但没有讨论一个重要的实施问题即占用带宽的测量（据此可根据网络容量推断出有关的可用带宽。本文针对工作在广域网（Wide Area Network， WAN上的NCS，提出了一种动态带宽分配算法，WAN可以是异步的、动态灵活的和完全分布式的，而且能够有效地在几个控制系统之间分配网络带宽。其主要思想是，控制系统基于从网络反馈回来的拥塞信息来改变其采样周期（即带宽消耗。其显著特点在于，带宽分配算法能够确保全部控制系统的稳定性；能够实现全部控制系统总的性能最大化；能够有效地利用网络带宽和控制拥塞，使延迟和损耗最小化，并通过充分实现不同控制回路的目标性能来获得公平性；而且分配算法提供了一个完全分布式的、异步的和可升级的解决方案，每个节点利用本地信息执行独立的算法而无需中心管理实体。
　　1问题描述及算法思想   []
　　图1所示为一个单一的NCS原理结构。图1中，反馈回路通过网络形成闭合。传感器对物理量进行采样，并把采样值写入数据包，然后把数据包发送给控制器。控制器检测接收到的采样值并生成控制信号，然后发送给执行机构。
　　图片
　　图1具有1个被控系统和1个控制器的分布式控制系统
　　把两个采样数据包之间的时间间隔称为采样周期，用τ来表示。换句话说，传感器每隔时间τ发送一个包含采样数据的数据包，采样周期的倒数
　　r=1/τ（1
　　就是从设备到控制器的传输速率（即采样速率，以下对二者不作区分。同样，从控制器到设备的反向路径上的速率可以类似地定义。尽管从原理上讲，这两个速率可能不同，但在大多数应用中，把这两个速率视为相同的。传输速率就是一对特定的设备控制器所消耗的带宽资源的数量。如果这个速率超过端到端可利用的带宽，网络就会出现拥塞，通信就会出现包丢失、延迟和抖动。一般来说，这个速率应当避免拥塞。但NCS通常又要求更高的采样速率，因为采样速率越高，则网络越倾向于更快速地跟踪期望的参考状态。而且在某些极端情况下，采样速率过低，还会造成系统不稳定，这时，甚至很小的干扰都可能引起严重的故障。因此，采样速率r必须在网络利用和期望的运行状态之间寻找一个平衡，所以采样速率是NCS中一个关键的可调节因素。
　　传输速率r对系统动态性的影响通常用效用函数U（r来描述。U（r表示某个系统从采样速率r获得效用的程度。通常，U（r是采样速率r的单调递增函数，即是说更高的采样速率会得到更好的控制性能。在实践中，U（r通常又是r的严格凹函数，它反映了当速率增大时，效用递减的规律。所以，效用函数的定义仅仅针对r≥rmin，rmin为最小速率，低于这个速率，系统就会变得不稳定。为了便于数学分析，假设U（r二次可微，在NCS文献中，通常采用二次和指数式效用函数。
　　1.1带宽分配效用最佳的数学模型
　　定义一个公平分配来使各个NCS效用函数的总和（即全部NCS的总效用最大化，即目标为：为第i个NCS确定一个传输速率ri，以使效用总和∑iUi（ri最大，并满足：1每个系统i的稳定性约束ri≥rmin，i；2每条链路l的容量约束∑i∈S（lri≤Cl。
　　上述目标用数学形式描述为：
　　max∑iUi（ri； ∑i∈S（lri≤Cl，l=1，2，…，Lri≥rmin，i （2
　　其中：S（l为全部NCS的集合，其通信回路利用链路l，Cl为链路l的容量，L为网络中链路总数量。在式（2中，对每个NCS来说，假 设其通信回路能够利用链路l仅1次，即如果全部链路是全双工通信机制，则这个假设总是成立的。
　　由于U（r的凹特性，式（2就是一个凸优化问题，这意味着可以对这个问题迅速求解，从而得到一个全局最优解。但本文采用分布式方法来求解这个问题。
　　1.2效用模型的分布式算法思想
　　根据本文所研究的问题类型以及式（2的结构形式，可以把它分解为子问题，然后就可以用分布式方式来得到解，即各个控制系统和链路执行各自独立的算法。下面来阐述本文提出的分布式算法和协议。
　　为便于算法实现，本文在传感器和控制器数据包中引入一个专门的头字段，这个字段携带从链路返回到设备的拥塞信息，每个链路l基于本地信息计算出一个拥塞信息pl，如总输入流量或队列长度。当传感器生成一个数据包来携带采样数据时，设备就把这个字段的值初始化为零；当数据包通过网络链路沿指定路径从传感器到控制器并回到执行机构时，每个链路就把pl的当前值添加到头字段中。这样，当控制数据包到达设备时，这个头字段就包括沿指定路径从传感器到控制器并回到执行机构时的全部链路的pl值的总和。基于接收到的控制器数据包，执行机构应用控制信号，传感器基于反馈回来的拥塞信息按式（3调节其采样速率r：
　　r（pt=min{max{U′-1（pt，rmin}，rmax}（3
　　其中：pt为接收到的控制器数据包p的值，它是从设备到控制器再返回到设备的全部链路的pl值的总和；U′-1为效用函数的一阶导数的倒数；rmin为满足设备稳定性条件的最小传输速率；rmax为一个设备可利用的最大采样速率或最大传输速率。
　　基于最新计算得到的r（pt，然后按式（1计算τ值，这个值决定了生成下一个采样的间隔时间。
　　假设路由器能识别并能处理这个头字段，同时假设这个字段的开销与数据包大小相比可以忽略。如果实际实现中另加说明，则本文协议中的pl值可以量化并可用2个基于显式反馈的协议（Explicit Congestion Notification， ECN二进制位来编码。
　　2算法实现
　　为了实现上述算法，本文首先把控制系统和链路之间的相互作用建模为一个时延动态系统，然后设计链路队列控制器来提高算法性能。
　　2.1NCS队列相互作用的建模
　　在实际实现时，通常是路由器连接2个或更多个网络链路，所以链路算法实际上是在路由器上执行，被用作链路的输入。路由器利用缓冲区保存和分析输入数据包来提供服务，链路拥塞可能导致缓冲区溢出，从而导致长时间的延迟、抖动和包丢失。本文的目标就是使缓冲区的队列长度稳定在一个可控的、大于零的范围内，这样有2个好处：一是可以消除过渡延迟、抖动和包丢失；二是可以避免网络链路为空和不被充分利用，因为队列总是有包要发送。因此，分配算法的性能主要是关于队列长度。
　　本文对N个NCS和一个单一瓶颈链路之间的相互作用进行建模。假设进入瓶颈链路的总速率∑Ni=1ri（t总是大于链路容量C，这样，链路上队列长度的变化率q.（t就与进入链路的总流量和链路容量有关，即：   []
　　q·（t=∑Ni=1ri（t-C（4
　　通常，假设全部NCS的延迟恒定不变且均匀。把从设备到队列的延迟用dpq来表示，从队列到设备的延迟用dqp来表示。在时刻t，设备j接收到一个新的p（t值，相应地以速率rj（p（t发送数据包，在延迟dpq后，将影响队列长度，从而队列就计算出一个新的p（t值，这个新的p（t值在延迟dqp后到达设备j，于是可得到下列方程组（忽略边界条件rmin和rmax时，式（6与式（3相同：
　　q·（t=∑Ni=1ri（t-dpq-C（5
　　rj（t=U′-1j[p（t-dqp]； j=1，2，…，N（6
　　通常，U（r和U′-1（p（t是非线性函数。为了研究由式（5和（6所描述的系统性能，把两个方程关于工作点（q0，rj0，p0线性化，这里q0是期望的稳定状态队列长度，rj0是设备j稳定状态时的传输速率，p0是对应于每个设备j以速率rj0传输时的p值，则线性化后的方程组为：
　　δq·（t=∑Ni=1δri（t-dpq（7
　　δrj（t=δp（t-dqpU″j（rj0； j=1，2，…，N（8
　　为简单起见，定义d=dpq+dqp，Bj=1/U″j（rj0，B=∑Ni=1Bi，结合式（7和（8得到：
　　δq·（t=[∑Ni=1Bi]·δp（t-d=B·δp（t-d（9
　　式（9中缺少联系p（t和q（t的函数，这正是接下来要讨论的内容。
　2.2比例和比例积分控制器
　　本文在频域里来分析线性化模型（9。不失一般性，本文分析线性化模型初始时（即q（0=0，p（0=0，rj（0=0和收敛到稳定状态（即q0，rj0，p0时的响应。由于δq（0=q（0-q0=-q0，则式（9的拉普拉斯变换为s·δq（s+q0=B·δp（s·e-sd，整理后得到：
　　δq（s=（-q0/s+（B/s·δp（s·e-sd（10
　　图2给出了式（10的原理。图中C（s为把p（t和q（t联系起来的函数的拉普拉斯变换，把它称之为队列控制器。
　　闭环传递函数为1/（1-BC（se-sd/s。对于处于稳定状态的闭环来说，特征方程的根即1-BC（se-sd/s=0的解必须位于复平面的左半部。
　　下面来设计控制器C（s以稳定和改善闭环响应。在不同控制器中，最简单的就是比例（Proportional， P和比例积分（ProportionalIntegral， PI控制器。采用较简单的控制器算法能使路由器更有效和实时地处理大流量数据。P控制器的传递函数为CP（s=kP，PI控制器的传递函数为CPI（s=kP+kI/s，kP和kI分别为比例增益和积分增益常数。如果PI控制器中的kI为零，则PI控制器就成为P控制器，因此在分析时取控制器形式为CPI（s；当需要CP（s时，令kI=0即可。
　　对于PI控制器，特征方程为：
　　s2-B（kPs+kIe-sd=0（11
　　接下来确定kP和kI的值，以得到一个稳定的闭环响应。由于指数项来自反馈回路的延迟，则式（11有无穷多个根。因此，为了得到kP和kI的稳定值，本文采用文献[12]的方法来得到使闭环稳定的kP和kI值的全部集合。本文采用积分加延迟（Integral Plus Delay， IPD而不采用一阶对数加延迟（FirstOrder Lag Plus Delay， FOLPD[12]。根据文献[12]第7章的知识 ，得到使闭环系统稳定的关于kP和kI的条件如下：
　　1比例增益kP可在区间（0，π/2Bd上取任意值；
　　2对每个给定的kP=k^P值，积分增益kI可在区间（0，λ上取任意值，这里：
　　λ=（α20 cos（α0/（Bd2（12
　　且α0为Bk^P-（α/d·sin（α=0在区间（0，π上的解。
　　对于一组给定的B和d值，采用定义在上述范围内的全部kP值来求得kI，就可以得到稳定增益kP和kI的取值范围。
　　3仿真
　　3.1仿真模型及参数设置
　　仿真软件本文采用NS2仿真软件，对其加入了2个新的代理：NSCSPlant和NSCSController，分别代表网络化传感器控制系统设备和控制器，NSCSPlant是一个代理类，可以用来仿真多个控制系统，NSCSController可以用来仿真一个控制器控制一个设备。采用这两个代理，就可以把实体系统和通信网络的动态仿真结合起来。
　　网络拓扑实验拓扑如图3所示。图中，全部NCS共享连接了2个路由器R1和R2的单一瓶颈链路，设备连接到R1，相应的控制器连接到R2；链路带宽和传输时延示于图中，选取d为区间[0，50]ms上均匀分布的随机变量，第一个设备的d和最后一个设备的d分别设置为0ms和50ms。
　　设备和控制器本文采用标量线性时不变（Linear Time Invariant， LTI设备[13]和比例控制器，每个设备的状态x（t满足下列微分方程：
　　（t=ax（t+bu（t（13
　　其中：a和b为常数，u（t为来自控制器的输入，传感器采样x（t在离散时间情况下得到的值为x（t0，x（t1，…，x（tj，对每个采样x（tj来说，控制器按下式计算u（tj：
　　u（tj=-K（R-x（tj（14
　　其中：K为恒定不变的控制器增益，R为设备要求的参考点。
　　根据文献[13]，标量LTI NCS的设备i的效用函数为：
　　Ui（ri=ai-biKiai·eai/ri（15
　　这种效用函数满足1.1节中的条件1和2，且rmin由式（16给出：
　　rmin，i=ailnbiKi+aibiKi-ai（16   []
　　实验参数设置为了比较P和PI控制器的性能，实验参数选取如下：设备数量N=50，且全部设备有相同的物理特性，即ai=0.01，bi=1.0，全部设备都有相同的控制器Ki=1.5；全部开始和结束时刻均相同，即开始时刻tstart=0.1s，结束时刻tend=320s；全部数据包的大小为100B，根据图4，链路容量为180kbps/（100×8=225packet/s，每个设备的传输速率收敛到稳定状态时的值为r0=225/50=4.5packet/s；选取往返延迟为2s， B=1523.8，d=2.0。对于PI控制器，选取kP=3.0×10-4，kI=4.0×10-5；对于P控制器，选取kP=3.0×10-4，设控制队列长度在50个数据包左右。
　　3.2仿真结果及分析
　　图4和5为实验仿真结果。从图4（a和（b可见，当采用PI和P控制器时，全部设备的传输速率正好在较短时间内收敛到全部设备均等共享的链路带宽值；从图4（c和（d可见，对于P控制器，队列出现了一个稳定状态误差，而且这时设备有较大的往返时延，而对于PI控制器，完全不存在这个问题，而且队列稳定在期望设置点50个数据包左右。
　　图5给出了方波输入（如图5（a时1号和50号NCS的响应。从图5（b、（c和（d、（e可见，对于PI控制器，NCS保持稳定并能准确跟踪输入信号，而对于P控制器，较大的延迟严重降低了NCS的性能。
　　4结语
本文针对网络化分布式控制系统中的带宽分配提出了一种新的算法，给出了最优化表达式，而且还提出了提高分配算法性能的技术。这种算法适合工作在大型分布式网络或WAN，同时能够确保每个NCS稳定工作，使全部NCS总的性能最大化。
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