圆度误差评定中最小区域法的计算机叠代算法
发布时间：2015-07-04 09:16
回转体零件，其横截面轮廓是否为一正圆，需要与一理想圆进行比较才能得出结论，圆度误差的评定过程就是将被测横截面的实际轮廓与理想圆比较的过程。最小条件法是圆度误差评定中寻找理想圆的基本原则，目前经常采用的方法有最小二乘法、最小外接圆法、最大内切圆法和最小区域法。其中，最小区域法是一种新的优良评定方法，它不仅可以获得最小的误差评定结果，而且对零件的性质有稳定的约束(通过包边界)，因而是现代测量技术致力研究的评定方法。在传统圆度测量仪中，实现最小区域圆评定的方法是测量仪通过传感器描绘出被测工件的轮廓误差曲线，然后测量人员用同心圆模板来试凑包容轮廓误差曲线，直到符合最小区域圆条件为止。当用计算机对传统圆度仪进行改造时，首先要解决的就是各种评定方法的算法，我们用计算机叠代法推导了最小区域圆的算法。
1零件坐标系的建立
当被测零件放在测量仪器的工作台上时，零件圆心不能与工作台圆心绝对重合，所以零件坐标系不等于仪器坐标系，在实际测量中，测量点的坐标值是仪器坐标值，而圆度误差测量的基准参考系应是零件基准坐标系。因此，必须将测量点的仪器坐标值转换成零件坐标值。最小区域圆的评定过程就是根据基于仪器坐标的实际测量值，寻找满足最小区域圆条件的零件坐标原点，并将仪器坐标值转换成零件坐标值的过程。
1.1最小区域圆条件
最小区域圆是指用两同心圆包容基于仪器坐标的实际测量曲线，且两同心圆与测量曲线应至少有内外交替的四点接触，满足此条件的两同心圆半径差为最小，两圆的圆心为满足最小区域圆条件的零件坐标系原点，如图1所示。两圆的半径差为被测工件的圆度误差。
1.2确立零件坐标原点
1.2.1确立初始零件坐标原点
零件坐标系应基于仪器坐标系，在测量点均匀分布的情况下，可采用最小二乘法确立零件初始坐标原点，在测量非均匀分布的情况下，可取前3点求圆确定其圆心为零件初始坐标原
点。设有n个测量点pi(i=1，2，⋯，n)，基于仪器坐标值为(xi，yi)，所求初始零件坐标原点基于仪器坐标系的坐标值为(x，y)，则根据最小二乘圆原理可求得x=2/nσxiy=2/nσyi
我们可以将(x，y)作为最初零件坐标原点基于仪器坐标的坐标值，但该值不一定满足最小区域圆条件，它只能作为寻找满足最小区域圆条件的坐标原点的初值。
1.2.2用叠代法求取理想坐标原点
所谓理想坐标原点就是满足最小区域圆条件的两同心圆的圆心，根据最小区域圆的条件，两同心圆的半径差应为最小，所以应使圆心向减少外圆半径和增加内圆半径的方向移动。设与外圆接触的pmax点到圆心的距离矢量为rmax，与内圆接触的pmin点到圆心的距离矢量为rmin，则应使圆心分别向rmax方向和rmin相反的方向移动。设移动步长为el，el的确定过程如下。
移心方向确定后，移心步长便可由公式确定。如图2所示，两同心圆的圆心由o移到o′，被测轮廓上任一被测点pi至两同心圆的中心距离由ri变为ri′，αi为opi与oo¢(n)的夹角，则
设pl为延续外接触点，移心后，外接圆半径rl变为rl′，由式(1)得
式中rl——移心前pl点所在外接圆的半径被测圆上任意一点与外接触圆接触的条件为
将式(1)、(2)代入式(3)，便得到使pi点成为外接触点所需移动步长eli的计算公式
对应测量轮廓曲线上的n个点，可求出n个el，其中最小的el即为最佳移动步长。移动后的坐标原点为x′=x+elcosamax(5)y′=y+elsinamax
式中amax——最大距离矢量rmax与x轴正方向的夹角
2.1最小区域圆条件判断算法
根据以上的步长和移动方向求出的圆心还必须满足最小区域圆的另一个条件，即被测轮廓曲线必须有四点分别交替与两同心圆接触。满足此条件的算法为与外圆相接触的两点连线和与内圆相接触的两点连线的交点在轮廓曲线之内。若不满足此条件，则反复叠代，直至找到为止。
2.2圆度误差的求取
若满足以上条件，则求取两线段的中垂线交点，该点即为符合最小区域圆要求的零件坐标原点。此时可求取零件的圆度误差fmz=rmax-rmin
式中rmax，rmin——分别为轮廓曲线上到零件坐标原点的最大值、最小值，即外圆半径、内圆半径
3数据处理实例分析
我们用c语言完成了以上算法，对石家庄金刚集团所生产的康明斯牌系列发动机上的6bt活塞销，在三坐标测量机上的测量数据进行处理。该活塞销的技术参数为f40±0.0032，圆度公差f为0.0025，圆度公差等级为5级，表面粗糙度为ra为0.8。对试件1#、2#、3#采用等角度采点(每间隔10°采一个测量点，共36个测量点)在三坐标机上进行测量，圆度误差值分别是0.0024、0.0020和0.0022。
4结论
最小区域圆为目前国际、国内推荐使用的一种圆度误差评定方法，但确定其圆心点的算法是几种评定方法中难度最大的。通过对实验过程和数据结果分析可知：根据最小区域判别准则，利用本文所述的计算机叠代方法确定其圆心，可快速、精确地计算出圆度误差。
参考文献
1闵莉，吴玉厚，富大伟.圆度误差的现状与展望.沈阳建筑工程学院学报，1999(3)
2侯伯杰.一种快速、准确的圆度误差评定的计算机实现方法.计量技术，1994(4)
3齐秀彪.圆度误差数学模型的建立与仿真分析.本溪冶金高等专科学校学报，2001(2)
1零件坐标系的建立
当被测零件放在测量仪器的工作台上时，零件圆心不能与工作台圆心绝对重合，所以零件坐标系不等于仪器坐标系，在实际测量中，测量点的坐标值是仪器坐标值，而圆度误差测量的基准参考系应是零件基准坐标系。因此，必须将测量点的仪器坐标值转换成零件坐标值。最小区域圆的评定过程就是根据基于仪器坐标的实际测量值，寻找满足最小区域圆条件的零件坐标原点，并将仪器坐标值转换成零件坐标值的过程。
1.1最小区域圆条件
最小区域圆是指用两同心圆包容基于仪器坐标的实际测量曲线，且两同心圆与测量曲线应至少有内外交替的四点接触，满足此条件的两同心圆半径差为最小，两圆的圆心为满足最小区域圆条件的零件坐标系原点，如图1所示。两圆的半径差为被测工件的圆度误差。
1.2确立零件坐标原点
1.2.1确立初始零件坐标原点
零件坐标系应基于仪器坐标系，在测量点均匀分布的情况下，可采用最小二乘法确立零件初始坐标原点，在测量非均匀分布的情况下，可取前3点求圆确定其圆心为零件初始坐标原
点。设有n个测量点pi(i=1，2，⋯，n)，基于仪器坐标值为(xi，yi)，所求初始零件坐标原点基于仪器坐标系的坐标值为(x，y)，则根据最小二乘圆原理可求得x=2/nσxiy=2/nσyi
我们可以将(x，y)作为最初零件坐标原点基于仪器坐标的坐标值，但该值不一定满足最小区域圆条件，它只能作为寻找满足最小区域圆条件的坐标原点的初值。
1.2.2用叠代法求取理想坐标原点
所谓理想坐标原点就是满足最小区域圆条件的两同心圆的圆心，根据最小区域圆的条件，两同心圆的半径差应为最小，所以应使圆心向减少外圆半径和增加内圆半径的方向移动。设与外圆接触的pmax点到圆心的距离矢量为rmax，与内圆接触的pmin点到圆心的距离矢量为rmin，则应使圆心分别向rmax方向和rmin相反的方向移动。设移动步长为el，el的确定过程如下。
移心方向确定后，移心步长便可由公式确定。如图2所示，两同心圆的圆心由o移到o′，被测轮廓上任一被测点pi至两同心圆的中心距离由ri变为ri′，αi为opi与oo¢(n)的夹角，则
设pl为延续外接触点，移心后，外接圆半径rl变为rl′，由式(1)得
式中rl——移心前pl点所在外接圆的半径被测圆上任意一点与外接触圆接触的条件为
将式(1)、(2)代入式(3)，便得到使pi点成为外接触点所需移动步长eli的计算公式
对应测量轮廓曲线上的n个点，可求出n个el，其中最小的el即为最佳移动步长。移动后的坐标原点为x′=x+elcosamax(5)y′=y+elsinamax
式中amax——最大距离矢量rmax与x轴正方向的夹角
2求取圆度误差
2.1最小区域圆条件判断算法
根据以上的步长和移动方向求出的圆心还必须满足最小区域圆的另一个条件，即被测轮廓曲线必须有四点分别交替与两同心圆接触。满足此条件的算法为与外圆相接触的两点连线和与内圆相接触的两点连线的交点在轮廓曲线之内。若不满足此条件，则反复叠代，直至找到为止。
2.2圆度误差的求取
若满足以上条件，则求取两线段的中垂线交点，该点即为符合最小区域圆要求的零件坐标原点。此时可求取零件的圆度误差fmz=rmax-rmin
式中rmax，rmin——分别为轮廓曲线上到零件坐标原点的最大值、最小值，即外圆半径、内圆半径
3数据处理实例分析
我们用c语言完成了以上算法，对石家庄金刚集团所生产的康明斯牌系列发动机上的6bt活塞销，在三坐标测量机上的测量数据进行处理。该活塞销的技术参数为f40±0.0032，圆度公差f为0.0025，圆度公差等级为5级，表面粗糙度为ra为0.8。对试件1#、2#、3#采用等角度采点(每间隔10°采一个测量点，共36个测量点)在三坐标机上进行测量，圆度误差值分别是0.0024、0.0020和0.0022。
4结论
最小区域圆为目前国际、国内推荐使用的一种圆度误差评定方法，但确定其圆心点的算法是几种评定方法中难度最大的。通过对实验过程和数据结果分析可知：根据最小区域判别准则，利用本文所述的计算机叠代方法确定其圆心，可快速、精确地计算出圆度误差。
参考文献
1闵莉，吴玉厚，富大伟.圆度误差的现状与展望.沈阳建筑工程学院学报，1999(3)
2侯伯杰.一种快速、准确的圆度误差评定的计算机实现方法.计量技术，1994(4)
3齐秀彪.圆度误差数学模型的建立与仿真分析.本溪冶金高等专科学校学报，2001(2)
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