巧用数组实现长整数的精确计算

摘 要：本文阐述了利用数组实现长整数的算法

关键词： 数组 算法 vb

abstract：use array to realize the precise calculate of longteger

key words：array arithmetic vb
1、前言
我们都知道，计算机的一个最重要的功能就是进行科学计算。利用一些标准的数学函数和运算符号可以进行任何复杂的数学运算，数学运算对计算机来说当然也是十分轻松的事情。但由于计算机内存空间的限制等原因，计算机在计算很大的数据时，往往是用科学记数法表示。比如在vb6.0和其他的一些高级编程语言中，计算机所能处理的长整数的范围是从-2,147,483,648 到 2,147,483,647。也就是说超出这个范围的整数计算机就不能处理甚至不能识别了，那时计算机就会把数据转换为科学记数法后再进行处理，比如1.398865e19，它表示1.398865乘以10的19次方。
假如我们需要知道两个很大的整数相乘的精确结果呢？看起来是很难实现，因为计算机不支持很长的位数计算。然而，我们只要愿意去做，拿一张纸和一枝笔一步一步地进行人工计算，最后总能得到精确结果.我们能不能把我们人工计算的方法告诉计算机，让计算机来完成这些计算工作呢？答案是肯定的。我们可以找出一个算法，让计算机来模拟我们人工计算的方式进行计算，并且也不会超出计算机的整数计算范围。本文就是通过对人工计算步骤的分析和模拟，最后找出一个算法，用高级语言实现长整数的精确计算。
2、人工计算步骤的分析和模拟
首先我们来分析一下人工进行乘法计算的过程。例如：347×78=27066
a 347
b × 78
c1 2776
c2 2429
c 27066
为了便于说明，我们用a表示被乘数，用b表示乘数，用c表示结果。并且把个位数定义成第一位，十位数定义成第二位，依次类推。
人工计算过程为：
1. 用b的第一位依次去乘a的各位，中间结果放在c1中，最后的c1要累加进结果c中，而且c1的第n位要累加到c的第n位。
2. 用b的第二位依次去乘a的各位，中间结果放在c2中，最后的c2也要累加进结果c中，而且c2的第n位要累加在c的第n+1位。
3. 假如b的位数很长的话，按上面的方式，用b的第m位依次去乘a的各位，中间结果放在cm中，最后的cm要累加进结果c中，而且cm的第n位要累加在c的第n+m-1中。
4. 把c1、c2……cm 都累加成结果c,最后c的值就是a乘b的积。
这里有一点要注意，当用b的第m位去乘a中的第k位时，有可能产生进位，这时的进位要累加在cm的第k+1位，也就是最后结果c中的n+m+k中。
3、程序算法：
现在我们来总结人工计算的算法，告诉计算机怎么按这个算法去计算。
前文已经提过，太长的整数计算机不能处理，所以我们首先要解决输入和输出的问题。我们知道，计算机不能处理很长的整数，但能处理很长的字符串。所以我们把输入和输出都转换成数字型字符串来处理。同时字符串没有数字计算的能力，所以我们还要把字符串分拆成一个一个的数字，这样计算机就既能计算，又能处理很长的数据了。
我们定义三个可变数组a(),b()和c()，其中a()存放被乘数的每一位，最低位（个位数）放在a(1)中，同样地，b()存放乘数的每一位，c()存放结果。
由于c1、c2、一直到最后一个中间结果最终都要累加进结果c中，所以我们在程序中可以直接把中间结果cm直接累加到结果c()中，实际上c()中的每一单元都是一个累加器，当一个单元c(n)中的结果大于9时，我们把c(n)对10的余数放在c(n)中，把c(n)整除10的结果累加进c(n+1)中，这样就实现了进位处理。
用乘数b的每一位去乘被乘数a的各位时，我们设计一个循环，依次取出b的每一位。循环变量设为i，i从1递增到b1(最高位)，步长为1。
用b的任何一位数m去乘a的各位数，我们也设计一个循环，依次取出a的各位。循环变量设为j，j从1递增到a1(最高位)，步长为1。这样利用这个双重循环就可以计算到a和b的每一位。把结果都累加进c()中的相应位中，最后从高位到低位逐位输出数组c就得到我们所要的长整数乘积。
源程序如下：

dim a(), b(), c() as byte '定义输入和输出数组
sub main()
ts = "整数乘法"
xx = inputbox("请输入被乘数：", ts)
if xx = "" then end
yy = inputbox("请输入乘数", ts)
if yy = "" then end
a1 = len(xx) '取xx的位数
b1 = len(yy) '取yy的位数
c1 = a1 + b1 '确定结果的最大位数
redim a(a1), b(b1), c(c1) '重定义数组
for i = 1 to a
a(i) = mid(xx, a1 - i + 1, 1) '给数组a的每一位赋值
if not isnumeric(a(i)) then '检查输入的合法性
msgbox "被乘数输入错误", , ts
end
end if
next i
for i = 1 to b1
b(i) = mid(yy, b1 - i + 1, 1) '给数组b的每一位赋值
if not isnumeric(b(i)) then '检查输入的合法性
msgbox "乘数输入错误", , ts
end
end if
next i
for i = 1 to c1 '结果数组c初始化
c(i) = 0
next i
for i = 1 to b1 '取b中的每一位
for j = 1 to a1 '取a中的每一位
c(j + i - 1) = c(j + i - 1) + b(i) * a(j) '相乘结果累加到c中的相应位
zz = c(j + i - 1)
k = 0
do while zz >= 10 'c中的每一位进位检查
c(j + i + k - 1) = zz mod 10 '本位处理
c(j + i + k) = c(j + i + k) + zz \ 10 '进位处理
zz = c(j + i + k)
k = k + 1
loop
next j
next i
zz = ""
for k = c1 to 1 step -1
if c(k) <> 0 then exit for '去掉结果中的前导0
next k
k = iif(k < 1, 1, k)
for i = k to 1 step -1
zz = zz + trim(str(c(i)))
next i
zz = xx + " x " + yy + " = " + zz
ts = "计算结果： " + str(a1) + "位 x " + str(b1) + "位 结果为" + str(k) + "位"
msgbox zz, , ts '算式和结果输出
end
end sub
以上程序在vb6.0上编译通过，并且能正确计算254位乘254位的长整数，输出结果为508位长整数，精确到每一位。
5、结束语
理论上这个算法可以计算任意位数的整数乘法，本程序为了说明算法，只设计了一个模块，没有使用到窗体。使用的是vb中的标准输入输出函数。所以它能处理的结果位数位508位，因为超过254位的数据不能输入了。要增加处理位数，只需要增加一个窗体，把输入和输出放在窗体上就可以了，实际上还可以用多个字符串连接，这样能计算的位数就没有限制了，而且当所处理的位数超过数组的最大定义范围时还可以用多维数组。总之，只要采用一定的方法，可以计算任意长度的数字。
把本程序稍做修改，可以做成一个自定义函数，把两个输入参数作为函数的参数，在其他地方调用本函数就可以计算任何整数的阶乘（n!），也可以计算任何整数的整数次方(n^m)。
本文给出的算法能给我们一种编程思路，也给我们一种启示，即只要我们充分利用计算机的功能和特性，有些看来是不可能实现的计算处理，通过一定的转换，我们总能找到解决的方法。

参考文献：
visual basic 6.0 中文版实用参考手册——语句、函数、对象与方法篇.晶辰工作室. 电子工业出版社, 1998
visual basic 6.0 中文版控件大全. 李玉东，李罡，李雷. 电子工业出版社, 2000
数据结构. 刘良观，黄水松. 武汉大学出版社, 2000