初等函数的值域问题

　　求函数的值域是一个较复杂的教育教学问题，也是初等教育很重要的问题(因为它和求出函数和最值紧密相差)，历届高考试题中经常出现，应引起重视，求函数值域没有通用方法和固定模式，根据问题的不同特点综合而灵活地运用条件选择方法求之。

　　(一)分离常数法

　　例1：求函数y= 的值域。

　　∵ ≠0

　　∴值域为：{y—y∈R且y≠1}

　　例2：求函数y= 的值域。

　　解：原函数可化为：y=2+

　　∵-1≤sinx≤1

　　∴-5≤ ≤-

　　∴函数的值域为{y—-3≤y≤}

　　[点评]类似于y= (mn≠o)的函数，常用分离常数法求值域，有时这种类型的函数往往也可以用反函数法求解。

　　(二)判别式法

　　例3：求函数的值域。

　　解：原函数解析式变为：

　　(y-1)x2-(y-1)x+y-3=0

　　当y=1时，此时方程无解。

　　当y1时，由x∈R，此方程的判别式△≥0，

　　即：(y-1)2-4(y-1)(y-3)≥0

　　解得：1≤y≤ ，

　　又y≠1，故1　　故函数的值域为{y| |y≤ }

　　[点评](1)此法适用于y= (a1，a2不同时为0)型的函数。

　　(2)在解题过程中注意对二次项系数是否为零讨论。

　　(三)配方法

　　例4：求函数y= 的值域

　　解： y= =

　　因为-x2-6x-5所以-5≤x≤-1

　　故0≤y≤2，即所求函数值域为[0，2]

　　[点评]配方法适合的题型是二次型函数y=AX2+BX+C

　　(四)数形结合

　　例5：函数y=|x+1|+x-2|

　　=-2x+1，(x<-1)3， (-1≤x≤2)其图像如下图所示2x-1 (x>2)

　　故所求值域是[3，+∞)

　　(法二)把y看作是点(X，0)到定点A(-1，0)与B(2，0)的距离之和，故值域是[3，+∞)

　　例6：求函数y= 的值域

　　解：原函数式可化为y= 此式可以看做点(2，0)和(cosx，-sinx)连线的斜率，而点(cosx，-sinx)的轨迹方程为x2+y2=1+=1，如下图所示。

　　在坐标系中做出圆x2+y2=1和点(2，0)

　　由图可知，1的斜率的范围是[- ， ]

　　故函数的值域为：[- ， ]

　　[点评]数形结合求值域要求对几何图形有比较深入的把握。

　　(五)换元法

　　例7：求函数y=2x+ 的值域。

　　解：令t= (t≥0)

　　则x=

　　∵y=t2+t+1=(t- )2+

　　∴当t=- 即x= 时，ymax= ，无最小值。

　　∴函数值域为：(-∞， ]

　　[点评]对于形如y=ax+b+ 令t= ，

　　使之变形为二次函数，对于含 结构的函数，

　　可利用三角代换，令x=acosθ，θ[0，π]或令

　　X=asinθ，θ∈[- ， ]，转化为三角函数。

　　(六)不等式法

　　例8：求下列函数的值域

　　y=x2(x<0)

　　y=

　　解(1)y= = (x<0)

　　∵x+ ≤-2，

　　∴-3≤<0

　　即-3≤

　　∴函数值域为[-3，0]

　　[点评]不等式法：利用基本不等式a+b2≥ ，求函数值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即(1)a>0，b>0，(2)a+b或ab为定值，(3)取等号条件a=b

　　(七)、反函数法

　　例9：求函数y= 解出x，得x=

　　∴2y+1≠0

　　∴函数的值域为{y|y≠ ，且y∈R}}

　　[点评]类似于求函数y= (mn≠0)的值域问题，常用反函数法。

　　(八)求导法

　　例10：设函数f(x)=2x3-3(a-1)x2+1 (a>1)

　　求f(x)在R+上的值域。

　　解：f(x)=2x3-3(a-1)x2+1

　　F1(x)=6x2-6(a-1)x

　　令f1(x)=0

　　得x=0或x=a-1

　　∵a>1

　　∴a-1>0

　　则：

　　∴x∈R+时

　　f(x)min=f(a-1)=1-(a-1)3无最大值

　　∴f(x)的R+上的值域为[1-(a-1)3+∞)

　　[点评]对于高次函数求值域一般选用此法，在求值域的过程中要对它极值予以关注。

　　本文主要就初等函数求值域的常用方法和常见题型进行分析讨论，求函数值域没有通用方法和固定模式，在解题时要灵活运用条件，选择更恰当的方法解之。

　　作者：向正虎 来源：学生周报·教师版 2013年10期