提高高中数学解题练习有效性的几种方法

　摘 要：习题不仅是教材的有机组成部分，而且对检验教师的教学效果与学生的学习成果具有非常重要的意义与作用。教师要提高学生的数学应用能力，可以从提高学生解题练习的有效性入手，根据不同的题目难度与题目类型选用不同的方法。
　　关键词：高中数学 解题练习 有效性 方法
　　习题不仅是教材的有机组成部分，而且对检验教师的教学效果与学生的学习成果具有非常重要的意义与作用。特别是教材里每个章节所配套的练习，基本上涵盖了该章节的知识要点，而且也体现出该章节的能力要求。与此同时，它也是许多习题册进行习题难度升级、题型转化的蓝本。因此，教师要想提高学生的数学应用能力，可以从提高学生解题练习的有效性入手，根据不同的题目难度与题目类型选用不同的方法。
　　一、以题目难度为划分标准
　　根据题目难度由浅至深、由简入繁、由表及里的叠加原则，可以将题目难度划分为以下三类。
　　1.基础型——原理定律法
　　基础型题目指的是浅显易懂的、无须花费过多时间思考即可求解的题目，它往往是某一个定律或者原理的直接体现。对于这类基础型题目，教师应当引导学生利用原理定律法来完成。以“集合与函数”这一知识点为例，题目“求解由方程x2-9=0的实数根组成的集合”即为基础型题目。该题目的求解关键在于实数开方的运算方式，学生可以通过心算得出答案为“A={3，-3}”。对于这一类基础型题目，提高学生解题有效性的关键在于督促学生提高对原理、定律的熟悉程度。譬如一定要熟练掌握该章节中集合的运算法则A∪（B∪C）=（A∪B）∪C，A∩（B∩C）=（A∩B）∩C，A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）等。只要学生能够熟记固定的公式，就可以在短时间内顺利解答基础型题目。
　　2.综合型——条分缕析法
　　综合型题目指的是题目包含的知识要点多且杂，同一道题目可能涉及多个板块的知识要点。对于此类题目，教师应当指导学生利用条分缕析法来完成。以“函数的奇偶性与周期性”这一知识点为例，题目“判断f（x）=x2+x，x<0，-x2+x，x>0？摇的奇偶性”即为综合型题目，该题目本身就分成了两种情况，明确指出需要学生进行区分。因此，学生在解题时，首先要遵循题目要求进行分情况求解，然后在分情况的基础上在最后进行结论的融入。以该题目的求解为例，当x<0时，-x>0，则f（-x）=-（-x）2-x=-（x2+x）=-f（x）；当x>0时，-x<0，则f（-x）=（-x）2-x=x2-x=-（-x2+x）=-f（x）。
　　因此，对于任意x∈（-∞，0）∪（0，+∞），都有f（-x）=-f（x），所以f（x）为奇函数。
　　在运用条分缕析法解答综合型题目时，应当注意两个核心：其一是题目的识别。一方面是要正确审题，避免遗漏题目中隐含的信息。另一方面是要明确题目的考查要点，避免在解题过程中出现遗漏要点的情况致使答案有所欠缺。其二是步骤的安排。综合型题目一般都内含几个小问题，这些问题或是以平行的方式出现，或是以递进的方式出现，对此，学生应当根据小问题间的关系来安排解题的先后顺序，避免出现思路的紊乱。
　　3.开放型——创新思维法
　　开放型题目主要指的是题目没有明确规定答题的方向，甚至没有标准答案，其难度系数最高，对学生的挑战也最大。对于此类题目，学生应当运用创新思维法来提高解题的有效性。以“数列”这一知识点为例，题目“假如有两张长x米，宽y米的长方形桌子，要将它们拼组成一张长方形的桌子，可以有几种拼法，每一种拼法拼成的桌子的座位安排如何”即为开放型题目。从这一题目来看，学生一方面要考虑人员座次的安排，另一方面要考虑拼组的实际可能性。这一看似简单的题目实则既考查了学生数列方面的相关知识，同时也考查了学生对实际生活的观察能力。面对这类开放型题目，很多学生都会因方向不明或审题不准而出现无从下手甚至主观放弃的念头。因此，教师在指导学生运用创新思维法解答该类开放型题目时，一方面要让学生尽可能将已知的、掌握的知识要点往题目上靠，以尽快寻找到解题思路，另一方面要鼓励学生采用学科融合的方式来思考，以寻求解题的关键所在。总的来讲，提高该类题目练习有效性的方式应当从培养学生的创新思维入手，避免学生在彷徨中陷入僵化固有的思维模式之中而无法破解题目。
　　二、以题目类型为划分标准
　　从视觉感官及逻辑思维的角度看，数学题目大致上可分为以下三类。
　　1.数值求解类——反复强化法
　　数值求解是数学题目中最常见最大众的类型，从题目结构及因素的角度来说，这类题目是纯数字的运算。以“等差数列”这一知识点为例，题目“一个等差数列的前12项和为354，前12项中，偶数项和与奇数项和之比为32∶34，求公差d”“等差数列an的前n项和为Sn，已知a10=30，S10=50，求通项an及当Sn=242时，n的数值”即为数值求解类题目。通过观察可以发现，数值求解类题目的本质在于数值之间的多重运算，其关键在于对运算法则的熟悉程度、对数值的敏感程度以及解题时对细节的把握程度，而这些技能和素质均可以通过系统的训练来培养。因此，提高该类题目练习有效性的方式是通过训练反复强化学生的数学基本技能和基本素质。需要注意的是，该类题目具有的另一个特征就是形式的变化，从正向向逆向转变，从分组向合并转变等。教师在指导学生进行该类题目的求解练习时，还应当重视对题目进行单元归并及举一反三，帮助学生实现精准时短的解题效果。
　　2.图形演练类——模拟假借法
　　图形隶属于几何的范畴，在高中数学里，包括直线、平面、棱柱、棱锥、圆、球等。在图形演练类题目中，一般包括推论证明与数值求解这两大类，而且它们均是以考查学生的空间想象能力为基础与前提。对于此类抽象型题目，教师应当指导学生采用模拟假借法来进行练习。具体来讲，一方面，在解题教学中，教师可以变抽象为具象，如将平面图纸上的球比喻成地球仪、足球、篮球等常见之物，这既有利于教师因地制宜地借用现有教学资源，同时也有利于提高教师讲解过程的生动性与形象性，帮助学生更好地理解题目并解答题目。 另一方面，鼓励学生在自行解题的过程中也可以巧借外来之物进行模拟想象，比如利用七巧板、积木等搭建起与题目图形类似的形状，帮助学生更好地进行观察与分析。总的来讲，对比单纯的数值求解类题目，图形演练类题目的抽象性更高，难度也更大，其解题练习有效性的关键在于变抽象为具象，变立体为平面，以实现空间的转化与思维的演练。
　　3.生活应用类——联系实际法
　　生活应用类题目指的是题目以生活场景为背景，以生活例子为实例。以“导数”这一知识点为例，题目“已知火车最高速度为每小时120千米，且其锅炉每小时消耗煤的费用与火车行驶的速度的立方成正比，已知当火车速度为每小时20千米时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需200元，问如何才能使火车从甲城开往乙城的总费用最省”即为生活应用类题目，此类题目的最大特点是生活气息强，题目内容往往是学生可接触到的或是容易耳闻所知的生活实例，因此，教师在指导学生进行该类题目的练习时，应当采用联系实际的方法来提高解题的有效性。一方面，可鼓励学生多从生活可能性的角度来思考问题，避免求解结果偏离实际。另一方面，可鼓励学生在日常生活中多思考、多观察，潜移默化地培养自己的逻辑思维能力。
　　题目的解答不仅可以实现由理论到实践的转化，而且也有助于学生顺利完成知识的吸收与运用。有鉴于此，为了提高学科能力，不少学生都热衷于“题海战术”，寄希望于通过量的叠加来实现质的转变。但根据辩证唯物主义的理论，由量变到质变需要某种特殊的条件，而对于解题来讲，这种特殊条件就是解题练习的有效性。因此，教师在进行数学解题练习的讲解时，应当根据不同的题目难度、不同的题目类型介绍不同的解题方法，以帮助学生选择适合自己的、科学合理的解题思路与答题方式，这样才能取得“四两拨千斤”的理想效果。