等腰三角形中的分类的问题和策略

　三角形是最简单的多边形，也是最基本的多边形，它在几何图形中占有重要的地位. 众多复杂的多边形的问题，都可以通过分割分解成若干个三角形，运用三角形的知识来解决；三角形的许多重要性质，是研究其他几何图形的基础. 
　　三角形的全等和相似是研究图形问题最基本的方法和策略. 它是研究四边形、圆等复杂图形以及函数等知识的重要工具. 
　　三角形的知识在中考试题中占有相当重要的地位，希望同学们努力掌握好基础知识以及最基本的解决问题的方法和策略，能灵活地解决相关问题. 
　　 
　　 
　　 
　　等腰三角形中的分类讨论 
　　 
　　等腰三角形是初中数学的基础内容之一，中考考点的核心就是它与分类讨论结合考查. 举例如下： 
　　一、 关于角的讨论 
　　例1 （2013·钦州）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）. 
　　A. 80° B. 80°或20° 
　　C. 80°或50° D. 20° 
　　【解析】分80°角是顶角与底角两种情况讨论：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°；②80°角是底角时，顶角为180°-80°×2=20°. 综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°. 故选B. 
　　【变式】若将80°改为100°要注意100°角不能做底角. 
　　例2 在△ABC中，∠A=50°，当∠B=_____°时，△ABC是等腰三角形. 
　　【解析】①∠B是顶角时，∠A一定是底角，则有∠B=80°；②∠B角是底角时，∠A若是底角，则有∠B=50°，∠A若是顶角，得∠B=65°. 
　　【点评】这一类问题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；题目中没有明确顶角或底角，做题时要注意分情况进行讨论，这是解决问题的关键. 
　　二、 关于边的讨论 
　　例3 （2013·淮安）若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长为（）. 
　　A. 5 B. 7 C. 5或7 D. 6 
　　【解析】因为已知长度为3和1两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论. ①当3为底时，其他两边都为1，∵1+1<3，∴不能构成三角形，故舍去；②当3为腰时，其他两边为3和1，3、3、1可以构成三角形，周长为7. 
　　【变式1】（2013·凉山州）已知实数x，y满足x-4+=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是______. 
　　【答案】20. 
　　【变式2】已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+4（k-0.5）=0. 
　　（1） 判断这个一元二次方程的根的情况； 
　　（2） 若等腰三角形的一边长为3，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长及面积. 
　　【答案】（1） b2-4ac=（2k-3）2≥0，所以方程有实数根. 
　　（2） 分两种情况讨论：①若腰为3，则x=3是方程的一个根，可求得三边为3，3，2.那么这个等腰三角形的周长为8，面积为2. ②若底为3，则b2-4ac=（2k-3）2=0，可求得三边为2，2，3. 那么这个等腰三角形的周长为7，面积为. 
　　【点评】本例考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；在已知条件中没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这点非常重要，也是解题的关键. 
　　例4 （2013·玉林）如图1，在直角坐标系中，O是原点，已知A（4，3），P是坐标轴上的一点，若以O，A，P三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点P共有______个，写出其中一个点P的坐标是______. 
　　 　　【解析】本例考查了等腰三角形的判定、坐标与图形的性质. 如图2，从x轴上考虑，以OA为腰长的等腰三角形有3个，P4（5，0），P2（8，0），P5（-5，0），以OA为底边的等腰三角形有1个，P8 
　　，0. y轴上情况与x轴相似，P3（0，5），P1（0，6），P6（0，-5），P70 
　　，，故满足条件的点P共有8个. 
　　【变式1】如图3，一种电子游戏，电子屏幕上有一正方形ABCD，点P沿直线AB左右移动，当出现：点P与正方形四个顶点中的任意两个顶点构成等腰三角形时，就会发出警报，则直线AB上会发出警报的点P有______个. 
　　【答案】设正方形边长为a. 分类讨论如下：①腰长为a的等腰三角形有4个；②腰长为a的等腰三角形有4个；③以CD为底边的等腰三角形有1个. 共9个. 
　　【变式2】如图4，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴上，四边形ABCO为矩形，AB=16，点D与点A关于y轴对称，=，点E，F分别是线段AD，AC上的动点（点E不与点A，D重合），且∠CEF=∠ACB. 
　　（1） 求AC的长和点D的坐标； 
　　（2） 说明△AEF与△DCE相似； 
　　（3） 当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标. 
　　【答案】（1） AC=20，D（12，0）； 
　　（2） 欲证△AEF与△DCE相似，只需要证明两个对应角相等. ∠CDE=∠CAO，∠AEF 
　　=∠DCE； 
　　（3） 当△EFC为等腰三角形时，有三种情况：①当CE=EF时，△AEF与△DCE的相似比为1，则有AE=CD=20，E（8，0）. 
　　②当EF=FC时，此时过点F作FM⊥CE于M，则点M为CE的中点，△FME∽△ABC得出=，那么△AEF∽△DCE的相似比为5∶6，E 
　　，0. 
　　③当CE=CF时，F点与A点重合，E点与D点重合，这与已知条件矛盾，故此种情况不存在. 
　　例5 如图5，半圆O的半径为4 cm，AB是☉O的直径，BC切☉O于点B，且BC=4 cm，当点P在☉O上运动时，是否存在点P，使得△PBC为等腰三角形？若存在，有几个符合条件的点P，并分别求出点P到线段BC的距离；若不存在，请说明理由. 
　　 　　【解析】本例是等腰三角形与圆相结合的一个综合题，解决问题的关键是分BC为腰、BC为底边两种情况来解决. 如图6，①BP1=BC，②CP2=BC，③CP=BP，即作BC的垂直平分线交☉O于P3，P4. 
　　例6 如图7，抛物线y=-x2+4x+n经过点A（1，0），与y轴交于点B. 
　　（1） 求抛物线解析式和顶点坐标； 
　　（2） 若P是坐标轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求P点坐标. 
　　【解析】本例是等腰三角形与二次函数结合的综合题. 
　　（1） 由该函数图像经过A点（1，0），由0=-1+4+n得n=-3，解析式是y=-x2+4x-3 
　　=-（x-2）2+1，顶点坐标为（2，1）. 
　　（2） 由题意知，B点坐标是（0，-3），AB的长是，要注意的是问题中强调“以AB为腰”所以不必习惯性地分AB为腰，AB为底边两类讨论，而是分P点在x轴或y轴上进行讨论. ①当P点在x轴上时，P点坐标为（1+，0），（1-，0），（-1，0）；②当P点在y轴上时，P点坐标为（0，3） ，（0，-3+），（0，-3-）. 
　　【变式】如图8，已知二次函数的图像经过点A（3，3）、B（4，0）和原点O. P为二次函数图像上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA交于点C. 
　　 　　（1） 求出二次函数的解析式； 
　　（2） 当点P在直线OA的上方时，用含m的代数式表示线段PC的长，并求线段PC的最大值； 
　　（3） 当m>0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，如果存在，请直接写出所有P的坐标；如果不存在，请说明理由. 
　　【答案】（1） 设y=ax2+bx，把A、B点坐标代入，求出解析式为y=-x2+4x； 
　　（2） 根据点P（m，-m2+4m），点C（m，m）的坐标代入，得PC=PD-CD=-m2+4m-m=-m2 
　　+3m=-m 
　　-2+，PC的最大值为； 
　　（3） 当0　　当m≥3时，PC=m2-3m，OC=m，分三种情况： 
　　①当OC=PC时，m2-3m=m，解得：m=3+或m=0（舍去），P（3+，1-2）； 
　　②当OC=OP时，（m）2=m2+（-m2+4m）2，解得：m1=5，m2=3（舍去），P（5，-5）； 
　　③当PC=OP时，（m2-3m）2=m2+（-m2+4m）2，解得：m=4，P（4，0）. 
　　（作者单位：江苏省宝应县实验初级中学）