举例辨析 提高认识的策略

本章以中心对称为主线，探索图形旋转的性质和中心对称与中心对称图形的性质；研究了平行四边形以及特殊的平行四边形（矩形、菱形、正方形）的性质与判定；研究了三角形中位线的性质. 
　　一、 中心对称与中心对称图形 
　　例1 如图1，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形面积的（）. 
　　A. B. C. D. 
　　【点拨】此题考查的是中心对称图形的概念性质，因为矩形是中心对称图形，对称中心是对角线交点. 由题可知△DOF≌△BOE，求阴影部分的面积就是求△AOB的面积，本题选B. 
　　二、 平行四边形的性质 
　　例2 如图2，在菱形ABCD中，∠BAD 
　　=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF， 则∠CDF等于（）. 
　　A. 80° B. 70° C. 65° D. 60° 
　　【点拨】此题考查的是菱形的性质：菱形的每条边相等，对角线互相垂直且互相平分；菱形是轴对称图形，对角线所在的直线是它的对称轴. 所以连接BF，则BF=DF， 本题选D. 
　　三、 平行四边形判定与三角形中位线的性质 
　　例3 院子的四棵小树E、F、G、H刚好在梯形院子ABCD各边的中点上，若在四边形EFGH上种上小草，则这块草地的形状是（）. 
　　A. 平行四边形 B. 矩形 
　　C. 正方形 D. 菱形 
　　【点拨】这道题给了许多中点，所以想到中位线定理. 连接AC，可得EF=AC，EF∥AC，同理HG=AC，HG∥AC. 所以EF=HG，EF∥HG，由平行四边形的判定可知EFGH为平行四边形. 本题选A. 
　　此题主要考查的是中点四边形：一个任意四边形的四边中点顺次连接起来，都可以构成一个平行四边形. 至于一些特殊的四边形的四边中点顺次连接起来，可以构成特殊的四边形. 大家可以自己总结归纳一下. 
　　四、 特殊平行四边形的性质与判定 
　　例4 如图，ABCD是正方形，P是对角线上的一点，引PE⊥BC于E，PF 
　　⊥DC于F. 
　　求证：（1） AP=EF； 
　　（2） AP⊥EF. 
　　【点拨】此题主要考查了正方形的性质以及矩形的判定与性质等知识，根据已知得出PECF为矩形是解题关键. 延长AP与EF相交于点H，连接PC，因为BD是对角线，易证PA=PC，∠BAP=∠BCP. 根据PE⊥BC于E，PF⊥DC于F，知PECF为矩形，PC=EF，故AP=EF；又∠DAH=∠FPH，∠BAP=∠BCP=∠PFE，所以在△PHF中，∠FPH+∠PFE=∠DAH+∠BAP=90°，所以△PHF为直角三角形，故AP⊥EF. 
　　五、 平行四边形与特殊平行四边形的性质和判定、三角形中位线的性质 
　　例5在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AB，点E、F分别是OA、BC的中点，连接BE、EF. 
　　 
　　 
　　（1） 求证：EF=BF； 
　　（2） 在上述条件下，若AC=BD，G是BD上一点，且BG∶GD=3∶1，连接EG、FG，试判断四边形EBFG的形状，并证明你的结论. 
　　【点拨】本题考查了平行四边形的性质和判定、矩形性质、菱形性质、三角形的中位线、直角三角形斜边上中线性质、等腰三角形的性质等知识点，主要考查同学们综合运用定理进行推理的能力，特别要注意“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”的运用. 
　　（1） 根据平行四边形性质推出BD=2BO，则AB=BO. 根据三线合一定理得出BE⊥AC，在△BEC中，根据直角三角形斜边上中线性质，求出EF=BF=CF即可. 
　　（2） 连接CG，根据矩形性质和已知求出G为OD中点，根据三角形中位线求出EG∥AD，EG=AD，求出EG=BC，EG∥BC. 又由点F为BC中点可求出BF=EG. 仿照上小题可同理推出EG=GF. 故四边形EBFG为菱形. 
　　（作者单位：江苏省常熟市莫城中学）