三次函数在高考中的应用的策略分析

近年来，高考中有关导数知识的题目，很多是以三次函数为载体来考查导数知识应用的.从这些题目来看，考查的切入点大多还是以导数的几何意义、极值、最值、单调性等，通过不等式，恒成立等问题的形式，进一步考查数形结合、分类讨论等数学思想.三次函数的导数为二次函数，考查导函数的性质（单调性、单调区间、极值、最值等），要注意结合一元二次方程、二次函数、二次不等式等有关的知识点（如方程根的分布、不等式恒成立等），培养学生的代数推理能力、语言转换能力.大致有以下几类.
　　一、与其他章节知识的综合运用
　　全国卷Ⅰ理的2009卷的第22题可视作对三次函数考查的一大亮点.因为此题首次将导数和线性规划有机地结合起来，一改以往单纯利用极值、最值、单调性考查不等式相关知识和分类讨论、化归等数学思想的老面孔，给人耳目一新的感觉.
　　例1（2009全国卷Ⅰ理）设函数f（x）=x+3bx+3cx有两个极值点x、x，且x∈[-1，0]，x∈[1，2].
　　（I）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；
　　（Ⅱ）证明：-10≤f（x）≤-.
　　分析：（I）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力.（Ⅱ）这一问考生不易得分，有一定的区分度.主要原因是含字母较多，不易找到突破口.此题主要利用消元的手段，消去目标f（x）=x+3bx+3cx中的b，（如果消c会较烦琐）再利用x的范围，并借助（I）中的约束条件得c∈[-2，0]进而求解，有较强的技巧性.
　　解：（I）f′（x）=3x+6bx+3c由题意知方程f′（x）=0有两个根x、x，且x∈[-1，0]，x∈[1，2].则有f′（-1）≥0，f′（0）≤0，f′（1）≤0，f′（2）≥0，故有2b-c-1≤0c≤02b+c+1≤04b+c+4≥0，右图中阴影部分即是满足这些条件的点（b，c）的区域.
　　（Ⅱ）由题意有f′（x）=3x+6bx+3c=0 ①
　　又f（x）=x+3bx+3cx ②
　　消去b可得f（x）=-x+x.
　　又∵x∈[1，2]，且c∈[-2，0]，∴-10≤f（x）≤-.
　　二、含参数的三次函数极值问题，考查不等式技能及分类讨论思想
　　探讨含参数函数的性质，主要是考查分类讨论的数学思想，在分类讨论的过程中，关键是如何确定分类讨论的标准.这与方程f′（x）=0根的具体情况有关，根的个数决定了极大、极小值是否同时存在，还是只存在一个.所以本质上是对根进行分类讨论.
　　例2（2009山东卷文）已知函数f（x）=ax+bx+x+3，其中a≠0，
　　（1）当a，b满足什么条件时，f（x）取得极值？
　　（2）已知a>0，且f（x）在区间（0，1]上单调递增，试用a表示出b的取值范围.
　　分析：本题为三次函数，利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值，函数在区间上为单调函数，则导函数在该区间上的符号确定，从而转为不等式恒成立，再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想、化归思想和分类讨论的思想解答问题.
　　解：（1）由已知得f′（x）=ax+2bx+1，令f′（x）=0，得ax+2bx+1=0，f（x）要取得极值，方程ax+2bx+1=0必须有解，所以△=4b-4a>0，即b>a，此时方程ax+2bx+1=0的根为：
　　x==，x==，
　　所以f′（x）=a（x-x）（x-x）.
　　当a>0时，
　　所以f（x）在x，x处分别取得极大值和极小值.
　　当a<0时，
　　所以f（x）在x，x处分别取得极大值和极小值.
　　综上，当a，b满足b>a时，f（x）取得极值.
　　（2）要使f（x）在区间（0，1]上单调递增，需使f′（x）=ax+2bx+1≥0在（0，1]上恒成立.
　　即b≥--，x∈[0，1]恒成立，所以b≥（--）.
　　设g（x）=--，g′（x）=-+=，令g′（x）=0得x=或x=-（舍去），
　　当a>1时，0<<1，当x∈（0，）时，g′（x）>0，g（x）=--为单调增函数；当x∈（，1]时，g′（x）<0，g（x）=--为单调减函数，所以当x=时，g（x）取得最大，最大值为g（）=-.所以b≥-.
　　当0　　综上，当a>1时，b≥-；当0　　三、考查导数的几何意义
　　导数f′（x）的几何意义是曲线y=f（x）上点（x，f（x））处切线的斜率.利用导数的几何意义求曲线上一点处切线斜率是解决曲线的许多有关切线问题的基本方法，在求曲线的切线时，一定要注意判断题目条件给出的点究竟是不是曲线上的点.
　　例3（2009江苏卷）在平面直角坐标系xoy中，点P在曲线C：y=x-10x+3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 .
　　解：考查导数的几何意义和计算能力.
　　y′=3x-10=2？圯x=±2，又点P在第二象限内，点P的坐标为（-2，15）.
　　评析：在高考中对导数几何意义的考查这一类题目属于简单题，因此基本上为填空、选择题的题型.但是在大多数省份的高考试卷中是必考题，真可谓是高考中的常青树.
　　四、恒成立问题
　　如果要证明f（x）k（k为常数，x∈（a，b））恒成立，只要证明函数在（a，b）是单调递减的，k为函数在（a，b）上的最小值即可.这类恒成立问题本质是考查转化思想，将恒成立问题转化为函数的最值问题，利用函数的单调性来确定最值.
例4（2011江苏卷19）已知a，b是实数，函数f（x）=x+ax，g（x）=x+bx，f′（x）和g′（x）分别是f（x），g（x）的导函数，若f′（x）g′（x）≥0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性一致.
　　（1）设a>0，若函数f（x）和g（x）在区间[-1，+∞）上单调性一致，求实数b的取值范围；
　　（2）设a<0且a≠b，若函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值.
　　分析：本题为三次函数，利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值，函数在区间上为单调函数，则导函数在该区间上的符号确定，从而转为不等式恒成立，再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想、化归思想和分类讨论的思想解答问题.
　　解：由已知，f′（x）=3x+a，g′（x）=2x+b，a，b∈R.
　　（1）由题设“单调性一致”定义知，f′（x）g′（x）≥0在区间[-1，+∞）上恒成立，
　　即，（3x+a）（2x+b）≥0在区间[-1，+&in fin;）上恒成立，
　　因为a>0，所以3x+a>0，所以2x+b≥0在区间[-1，+∞）上恒成立，
　　即，b≥-2x在区间[-1，+∞）上恒成立，而y=-2x在[-1，+∞）上有最大值y=-2（-1）=2，
　　所以，b≥2，即b∈[2，+∞）.
　　（2）由“单调性一致”定义知，f′（x）g′（x）≥0在以a，b为端点的开区间上恒成立，
　　即，（3x+a）（2x+b）≥0在以a，b为端点的开区间上恒成立.
　　因为a<0，所以，由（3x+a）（2x+b）=0，得x=-，x=，x=-.
　　①若b>0，则开区间为（a，b），取x=0，由f′（0）g′（0）=ab<0知，f（x）和g（x）在区间（a，b）上单调性不一致，不符合题设；
　　②若b≤0，因x，x均为非负，故不在以a，b为端点的开区间内，所以，只有x在区间上.
　　由f′（x）g′（x）≥0在以a，b为端点的区间上恒成立，知x=-要么不小于a，b中的大者，要么不大于a，b中的小者.
　　因为a，b都不大于0，所以（2x+b）≤0，由f′（x）g′（x）≥0知（3x+a）≤0，所以-≤x≤0.
　　当0>a>b≥-时，由f′（x）g′（x）≥0在区间（b，a）上恒成立，即（3x+a）（2x+b）≥0在区间（b，a）上恒成立，知|a-b|最大值为|a+|，而由a>-解得a>-.
　　此时，|a+|=|-（）+|，配方后知，取不到最大值.
　　当0≥b>a≥-时，显然，此时，当b=0，a=-，即b=0，a=-时，|a-b|取得最大值|0-（-）|=；
　　综上，|a-b|的最大值为.
　　针对上述考点，我们对三次函数的基础知识应有清晰的理解，对以下四个问题一定要理解透彻：
　　（1）确定函数单调区间的基本步骤；
　　（2）三次函数的导数由于是二次函数，则它的单调区间一般有几段？具体如何确定？
　　（3）三次函数是否一定有极大值和极小值？
　　（4）三次函数的极值和最值有什么联系和区别？
　　不妨设函数f（x）=ax+bx+cx+d（ab≠0），f′（x）=3ax+2bx+c，
　　（1）讨论可导函数的单调性可按如下步骤进行：
　　①确定f（x）的定义域；
　　②求f′（x），令f′（x）=0，解方程求分界点；
　　③用分界点将定义域分成若干个开区间；
　　④判断f′（x）在每个开区间内的符号，即可确定f（x）的单调性.
　　（2）方程f′（x）=0，若判别式Δ>0，设不同的两个根为x，x（x　　①当a>0时，（-∞，x）和（x，+∞）是函数的单调增区间，（x，x）是函数的单调减区间；当x=x时，函数取得极大值，当x=x时，函数取得极小值.
　　②当a<0时，（-∞，x）和（x，+∞）是函数的单调减区间，（x，x）是函数的单调增区间；当x=x时，函数取得极小值，当x=x时，函数取得极大值.
　　（3）方程f′（x）=0，若判别式Δ=0，方程的两个实根相等，设根为x，则：
　　①当a>0时，（-∞，x）和（x，+∞）（或者实数集R）是函数的单调增区间，函数没有极值；
　　②当a<0时，（-∞，x）和（x，+∞）（或者实数集R）是函数的单调减区间，函数没有极值.
　　（4）三次函数的极值不一定是最值，只有给出函数的定义域[a，b]，通过确定函数在区间[a，b]上的单调性和极值，用极值和端点值比较，较大的是最大值，较小的是最小值.
　　三次函数的导数是二次函数，所以我们对一元二次函数和一元二次方程的相关基础知识要能熟练掌握，比如：一元二次函数的对称性，函数单调性与对称轴的关系，函数值的分布与对应方程的根的关系，一元二次方程的韦达定理，满足根的各种分布情况的条件等.