几类特殊极限的算法

摘　要：本文主要探讨、总结求极限的一般方法并补充求极限的特殊方法，而且把每一种方法的特点及注意事项作了详细重点说明，并以实例加以例解。

关键词：等价无穷小；微分中值定理；海涅定理；Stolze定理

　　极限一直是数学分析中的一个重点内容，它是研究分析方法的重要理论基础，许多重要的概念如连续、导数、定积分、无穷级数的和及广义积分等都是用极限来定义的。但是对于一些特殊的极限我们使用一般的方法很难得到极限的结果，这时候我们就要用一些特殊的方法的获得它们的解。
　　1 利用海泥归结原理求极限
     定理1（海泥归结原理）设函数在内有定义，存在的充要条件：对任何含于且为极限的数列，极限都存在且相等。
     此定理的意义在于把函数极限归结为数列极限问题来处理，通常利用此定理的逆否命题来判断极限不存在。
　　例1 求极限，。
　　解：设，当，有，由海泥归结原理可知，如果存在，则有
=
下面我们先求，因
=
又因为
==，=，
所以，
=，
故有
==。
2 利用施托兹定理求极限
　　对于一些分子分母为求和式的比式极限题目用通常方法进行证明是非常麻烦的，但是用此定理就非常的简单了，而用此定理可使分子分母中的很多项消去从而简化计算，应用比较方便。
　　施托兹定理的数列形式：
　　定理2（） 已知两个数列，,数列严格单调上升，而且下，（当时）,若=，则＝
　　定理3() 已知两个数列，，数列严格单调下降，而且下，，（当时），若= ，则＝
　　施托兹定理的函数形式：
     定理4（）设函数，在有定义，且存在正数，满足：
               1），；
               2），在内闭有界，且；
               3）=，则=
     定理5（）设函数，在有定义，且存在正数，满足：
               1），；
               2）==0；
               3）=，则=
　　例3 求。
　　解：由施托兹定理，
     ==
==
                 ===。
　　注：此两题的解决过程中，可以看出利用施托兹定理求极限的形式是非常有规律的，应用是十分成功的，但其使用方法十分灵活。
3 利用托布利兹定理求极限
　　若出现，对，问题，有时需要用变换利用题目中所给的条件，简化计算。
　　定理6 设，若
           1），，； 
           2）有；
           3）有，且，
则。
　　例4 设，，若，，则
　。
　　证明：令(，)
则，，又，

故有，，由定理10知，
。
　　应用托布利兹定理关键在于构造一个托布利兹变换，其构造方一般以通过分析表达式的结构得出，最后验证条件，但应注意要具体条件具体分析，要学会灵活运用。
4 利用黎曼引理求极限
　　黎曼-勒贝格引理 设函数在区间上可积且绝对可积，是以为周期的函数，且在上可积（常义），则
=。
　　例6 设=，且=0，又在区间上可积，计算
。
　　解：因为
　　===，
所以是以1为周期的函数，据黎曼-勒贝格引理可得
=，
而
=
=
　　　　　　　　　　　　　   =,
故有，
===。
　　5 结论
　　极限的方法较多，本文列出了特殊的几种。在做求解极限的题目时，仅仅掌握以上方法的而不能够透彻清晰地明白以上各方法所需的条件也是不够的，必须要细心分析仔细甄选，选择出适当的方法。这样不仅准确率更高，而且会省去许多不必要的麻烦，起到事半功倍的效果。
参考文献：
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