材料力学中组合梁组合变形的一种通用解法

摘　要：两种或多种不同材料制成的组合梁是工程实际中的一种常用结构。本文基于材料力学中的平面假设、胡克定律等基本假设和概念，给出了组合梁组合变形分析的一种通用解法，建立轴力、弯矩与拉伸位移和弯曲挠度的关系，推导出拉伸位移和弯曲挠度满足的微分方程。该分析方法简单易懂，适合材料力学教学和工程实际应用。

关键词：材料力学；组合梁；组合变形

　　梁是工程中最常用的构件，杆或梁的拉、弯、扭变形分析是材料力学课程最基本的讲授内容。两种或多种不同材料制成的组合梁是工程实际中常见的一种结构。在材料力学教学中[1-3]，根据叠加原理，很容易分析求解同一种材料组成的、截面形状较为简单的杆、梁的拉、弯、扭等两种或多种受力的组合变形问题。但是，组合梁的拉-弯组合变形问题的分析显得十分困难。根据实际教学经验，基于简单的微积分知识，本文给出了组合梁组合变形的一种通用分析方法。运用该方法，分析了悬臂梁端部受三种不同载荷作用下，悬臂梁的水平位移和弯曲变形情况。在完成材料力学课程教学内容的同时，该分析方法可作为拓展内容进行讲述。
　　一、组合变形几何关系
　　图1 所示的组合梁，宽度为，由上下两种材料组成，上层高度为，材料的弹性模量用表示；下层高度为，材料的弹性模量用表示，且。建立直角坐标系oxy，x轴与两种材料的界面重合。在x轴上，组合梁受x轴方向的分布力、分布弯矩和横向分布力共同作用。x轴上任一点沿x方向的水平位移为，挠度为。
　　
　　根据材料力学挠曲线方程[2,3]，组合梁任一横截面的转角? 可由挠度表示为
　　                                             （1）
从x轴到y轴的旋转方向为正。根据几何关系，可以得到微元△x中任一点沿x方向的位移
　　                         （2）
　　根据应变的定义[1-3]，得到微元△x中纤维的应变
　　                 （3）
　　二、组合变形物理关系
　　根据材料力学的平面假设，纵向纤维之间没有挤压应力，每一纤维都是单向拉伸或压缩。即在弹性范围内，由单轴应力状态下的胡克定律可得横截面上的正应力分布
　　                （4）
　　由材料力学梁的弯曲应力可知，横截面微元△x上的微力组成一空间平行力系，最终该力系简化为横截面上轴力和弯矩，与正应力的关系为
                 （5）
将应力（4）式代入上式中，得到
                          （6）
                          （7）
式（6）和式（7）分别是轴力和弯矩与轴向位移和挠度之间的关系，其中的、和分别被称为抗拉刚度、拉弯耦合刚度和抗弯刚度
                          （8）
                       （9）
                     （10）
式（8）-式（10）给出的抗拉刚度、拉弯耦合刚度和抗弯刚度仅与材料性能和横截面的尺寸形状有关。容易验证，当上下两层等厚，材料相同时，我们有
                  （11）
则公式（6）和（7）变为
                     （12）
即退化到矩形截面均质梁的结果。
    即是对于均质的梁，如果，那么拉弯耦合刚度。
三、组合变形平衡关系
　　根据静力学关系可知，微元△x截面上的内力轴力、弯矩和剪力与微元△x上的外力平衡，即内外力满足的下列平衡方程
                                       （13）
                           （14）
                         （15）
将轴力和弯矩的表达式（6）、（7）代入方程（13）、（14）（15）得到水平位移和挠度满足的微分方程
                        （16）
                     （17）
方程（16）、（17）即是以位移和挠度为未知函数的组合梁组合变形的微分方程。
四、方程的通解
　　将方程（16）微分后代入方程（17），得到
　　                         （18）
上式中为等效抗弯刚度，为等效分布载荷
　　                      （19）
　　                   （20）
方程（18）即为材料力学中的梁弯曲问题的微分方程[1-3]，其通解为
          （21）
其中式中的、、和是由边界条件确定的常数。
　　将挠度（21）式代入（16）式，得到水平位移的通解
     （22）
其中式中的和是由边界条件确定的常数。
五、悬臂组合梁变形
     如图2所示的长度为宽为的组合悬臂梁，仅在端部处作用集中力。
　  
　　根据通解（21）和（22），梁的挠度和位移分别为
                     （23）
                       （24）
　　在固支端A，转角、挠度和水平位移均为零，即
        当时，                   （25）
从而可以得到
                                           （26）
即有
                        （27）
                       （28）
那么将（27）和（28）式代入（6）和（7）式得到轴力、弯矩和剪力为
                         （29）
                  （30）
                              （31）
（一）悬臂梁受轴向力的情况
　　假设组合悬臂梁端部受轴力作用，即
当时，                   （32）
将（29）-（31）式代入（32）式，得
                （33）
　　将（23）式代入（27）和（28），得
                 （34）
可以看出，组合悬臂梁在端部受轴力时，除了产生轴向位移外，还产生了弯曲变形。当拉弯耦合刚度时，挠度为零，也即没有耦合变形。
（二）悬臂梁受弯矩的情况
　　悬臂梁在端部受弯矩的作用，边界条件为       
当时，                （35）
将（29）-（31）式代入（35）式，得
                 （36）
最后给出问题的解
                  （37）
可以看出，组合悬臂梁在端部受纯弯矩时，除了产生挠度外，还产生了水平位移。当拉弯耦合刚度时，轴向位移为零，也即没有耦合变形。
（三）悬臂梁受剪切力的情况
　　在端部受剪力的作用，边界条件为
当 时，                  （38）         
将（29）-（31）式代入（38）式，得
                   （39）
最后给出问题的解
         （40）
结果表明，组合悬臂梁在端部受剪切集中力时，在引起弯曲变形的同时，也产生水平位移。当拉弯耦合刚度时，轴向位移为零，没有耦合变形。
　　六、结 论
　　本文利用了材料力学中的平面假设及胡克定律，由简单的微积分知识，提出了组合梁组合变形的一种通解。作为方法的应用，给出了组合悬臂梁的三种特殊受力分析的解，通过这组解，可以很容易地理解组合梁的拉-弯变形特性。如果仍应用材料力学中的中性层、中性轴假设，将会带来一些困惑。这一方法可以推广到多层组合梁的求解分析，引出层状复合材料力学的一些基本的概念和方法，应用到材料力学教学中，对于拓展学生的知识面，具有很好的帮助。

参考文献  (References)
[1]刘鸿文主编.材料力学(I).北京：高等教育出版社，2004.
[2]孙训方,方孝淑，关来泰等. 材料力学(I).北京：高等教育出版社，2009.
[3]许德刚主编.材料力学(I).郑州：郑州大学出版社，2006.