因式分解与唯一性定理教学的方式

一元多项式理论是高等代数与解析几何课程的重要内容之一。虽然它在整个高等代数与解析几何课程中是一个相对独立且自成体系的一部分，却为高等代数与解析几何课程的基本内容提供了理论依据。此外，一元多项式理论中的一些重要定理和方法，在进一步学习其它数学理论以及解决实际问题时也经常要用到。
　　如求矩阵的Jordan标准形时，需要先求出其特征矩阵的全部初等因子。此时，需要用到的是一元多项式理论中的互素理论：
　　设，，若多项式，都与，互素，则矩阵与等价（见文献[1]第262页引理8.3.5）。
　　一元多项式理论可归纳为以下四个方面：①基本理论：包括数域上一元多项式的基本概念、运算、导数及其基本性质；②整除理论：包括整除、最大公因式、互素等的概念与性质；③因式分解理论：包括不可约多项式、因式分解与唯一性定理、重因式、实数域、复数域上多项式的因式分解、有理系数域上多项式不可约的判定等；④根理论：包括多项式函数、多项式的根、代数学基本定理、本原多项式、有理数域上多项式的有理根求法等。虽然一元多项式理论内容丰富，但重点是整除理论和因式分解的理论，主要定理是带余除法、最大公因式存在性表示定理、因式分解唯一性定理。在教学过程中，若能把握住两大重点和三大基本定理，就能够避免一元多项式理论由于“概念术语多且抽象、证明思路难入手”所带来的麻烦，进而从整体上掌握一元多项式理论，提高课堂教学效果。
　　就因式分解与唯一性定理的教学而言，目前国内主要教材（见文[1-4]）采用的是：首先给出不可约多项式的概念、列举出不可约多项式的3条性质，最后讲因式分解与唯一性定理并证明之。老师没有用更多时间强调不可约多项式的定义、让学生充分理解不可约多项式的概念。另一方面，因式分解存在性的证明采用的是中学不怎么讲的数学第二归纳法。虽然唯一性定理的证明采用的是数学第一归纳法，但仍有很多学生学习起来有一定困难。结合笔者在因式分解与唯一性定理的教学实际，我们首先用给出数域一元多项式不可约的两个充分必要条件，以让学习充分理解这一数学概念；然后用反证法证明因式分解与唯一性定理的存在性，以期让学生更容易地理解这一重要的基本定理。
　　1 不可约多项式的充分必要条件
　　关于不可约多项式的定义，国内教材基本都采用如下形式：
　　定义[1] 设为数域上一元多项式，且的次数。如果不能表示为数域上两个次数比低的多项式的乘积，则称为上的不可约多项式。否则，称为上的可约多项式。
　　下面，我们给出不可约多项式的两个充分必要条件。
　　定理 设为数域上一元多项式，且的次数。则下列命题等价：
　　⑴ 为上的不可约多项式；
　　⑵ 若，是满足的任意多项式，则或者，或者；
　　⑶ 若，是满足的任意多项式，则或者，或者是非零的常数。
　　证明 ⑴⑵：见[1，第9页性质1.3.3]。
　　⑵⑶：假设。则由⑵知，或者，或者。从而有，或者。（*）
　　另一方面，由假设可知：
　　。 （#）
　　欲使（*）式和（#）式都成立，除非 ，或者 。因此，或者，或者是非零的常数。
　　⑶⑴：设为的任一因式，即有，。由⑶知，要么，要么，其中且。若，则为上的不可约多项式。若，则， 。从而，仍为上的不可约多项式。
　　2 因式分解与唯一性定理的新证明
　　定理[1] 设为数域上一元多项式，且。则可唯一性地分解成数域上一元不可约多项式的乘积。唯一性指的是，如果有两个分解式
　　其中和均为数域上不可约多项式，，，则必有，而且适当排列不可约因式的次序后，有，，其中为数域上非零的常数。
　　证明 唯一性：同文[1-4]中相应证明。下面，我们给出存在性定理的一个新的、更为学生所能理解的简捷方法。
　　存在性：记
　　不能表示成一些不可约多项式的乘积，。
　　故需证明。我们用反证法证明之。假设。令
　　。
　　从而。记中的最小元为，相应的一元多项式为。故不能表示成一些不可约多项式的乘积，且自身也不是一个不可约多项式。从而，存在数域上一元多项式，，使得，其中，两者中至少有一个不能表示成一些不可约多项式的乘积。不妨设不能表示成一些不可约多项式的乘积，从而。故，
　　。
　　因此，。这与为中的最小元相矛盾。故。
　　参考文献：
　　[1]. 同济大学应用数学系编. 高等代数与解析几何[M]. 北京：高等教育出版社，2005.
　　[2]. 孟道骥. 高等代数与解析几何（上册）[M]. 第二版. 北京：科学出版社，2007.
　　[3]. 陈志杰. 高等代数与解析几何（上册）[M]. 北京：高等教育出版社，2000.
　　[4]. 王心介. 高等代数与解析几何 [M]. 北京：科学出版社，2002.
　　* 基金项目：校教育教学研究课题（JYB201109）。
　　通讯作者简介：余柏林（1979- ），博士，讲师，主要研究为组合矩阵理论及其应用。