过程中引发学生数学思考的方式建设

　《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“数学课堂教学应激发学生的学习兴趣，引发学生的数学思考，它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法.”[1]教师应引导学生“追求揭示知识的生长过程”，[2]启发学生积极思维. “没有学生思维的参与，他掌握的是一堆‘死’的知识，学生就不能激活它，驾驭它，更不能运用它.”[3]教师一方面要使学生在获得基础知识与基本技能的同时，学会学习和形成正确价值观的过程，另一方面让学生“经历”“体验”“探索”知识产生与发展的过程，通过师生、生生之间的互动，促使学生自主建构知识.笔者近年来关注过程教学，现以浙教版初中函数内容为例，谈谈帮助学生掌握认知技能，促使学生从学会向会学转变的做法和体会，与同行交流.
　　一、联系生活情境，学会概念迁移
　　对学生来说，变量、函数这两个概念较难理解.因为，从数学自身的发展过程看，变量与函数的引入，标志着数学由常量数学向变量数学的迈进.初中函数概念是用“变量说”来定义的，变量是数学中一切抽象事物的建筑材料，但是让学生理解变量的内涵并不容易.从学生思维发展水平看，初二学生的思维水平还处于不成熟的阶段，他们看问题往往是局部的、静止的、割裂的，很难在静止与运动、离散与连续之间进行转化.学生还不善于把抽象的概念与具体事例联系起来，还不能用辩证思维的思想来理解函数概念.这与函数概念的运动、变化、联系的特点是不相适应的，这又是造成函数概念学习困难的一个重要原因.
　　因此，这两个概念的教学离不开过程教学.以变量教学为例，在以往的教学中，学生会脱离生活情境，静止地从函数解析式中去寻找常量和变量.如：①当我们把一个小石头丢进平静的水里时，水面会有一个个圆形水波荡漾开来，设圆的面积为S，半径为r，则圆的面积S与半径r的函数关系为 S=πr2，指出其中的常量和变量. 如果仅对S=πr2，有学生以为常量是π和2，犯错误的原因是没有认识到常量和变量是针对变化过程中的数量而言的，如果纠结在函数解析式中寻找变量和常量，其教学设计就偏离了课程的核心目标. 从逻辑上讲，[第一论文网lunwen. 1 专业提供写作论文和毕业论文写作服务，欢迎您的光临]是先确定变量，再有解析式，而不是先确定函数解析式再找常量、变量.通过生活情境的引入，对变量、常量的理解就更顺畅了.②一根金属棒在0℃时的长度是q（m），温度每升高1℃，它就伸长p（m）. 当温度为t（℃）时，金属棒的长度l=pt+q. 问：这四个量中，常量是 ，变量是 . 这里学生经常会犯的错误是看到字母就以为是变量.
　　教师如果在教学中没有让学生对活动进行思考，经历思维的内化、整合过程，没有在头脑中对活动进行描述和反思，那么就没办法使学生达到对概念的真正理解. 因此，教学中应该列举大量和生活有关的事例，让学生体会运动和变化，体会在一个过程中，哪些量会发生变化，哪些量始终保持不变.
　　二、激发学生体验和探索，提炼数学思想方法
　　数学概念、公式、性质等知识，都明显地写在教材中，是有“形”的知识，而数学思想方法却隐含在知识体系中，是无“形”的知识.[4]数学思想方法比数学知识更抽象，不可能机械地照搬和运用. 数学思想方法是渗透在数学活动过程中的教学，重在应用中领会和掌握. 离开数学活动过程，数学思想方法的掌握也就无从谈起. 可见在数学思想方法的教学中，学生的参与非常重要. [4]学生是学习的主体，学习应当是一个生动活泼的、主动的富有个性的过程. 第斯多惠说过：“教学是一种艺术，这种艺术不是传授艺术，课堂教学的艺术是激发、启迪和活跃.”教师应激起学生学习的兴趣，通过积极思考、自主探索与互助合作，使他们在成功中体验学习的乐趣，获得数学学习经验.
　　1.问题探究，体会数学思想
　　在反比例函数图象和性质教学时，教师有意识地进行课堂设问，使数学思想方法显性化. 问：你能类比研究一次函数的思路，提出研究反比例函数图象和性质的方法吗？这里渗透类比的思想方法；在画出y=■，y=-■和y=■，y=-■后，问：你能概括出反比例函数y=■（k≠0）的图象和性质吗？这里渗透从特殊到一般的归纳思想；根据图象特征，你能探究出函数的性质吗？通过图象研究函数的性质. 这里渗透数形结合思想；分k>0和k<0两种情况讨论函数性质. 这里渗透分类讨论思想.
　　2.经历问题转换，培养数学思维
　　通过“二次函数与方程、不等式的联系”的学习，让学生经历和研究函数问题和方程问题、不等式问题的转换，培养学生的数学思维和探究能力. 数学思想方法存在于概念、性质、法则、定理之中，它是这些数学知识的本质反映，数学思想方法教学是以数学知识为载体，在知识教学的过程中来实现数学思想方法的教学.
　　过程一：由方程的解寻找二次函数与横轴或平行于横轴的交点坐标.
　　问题：一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为10m/s，经过t（s）时球的高度为h（m）. 已知物体竖直上抛运动中，h=v0t-■gt2（v0表示物体运动上弹开始时的速度，g表示重力系数，取g=10m/s2）. 问球从弹起至回到地面需要多少时间？经多少时间球的高度达到3.75m？
　　在教学中，创设问题情境，通过生活化的语言和事例，激发学生学习数学的兴趣，形成学生主动学习的意愿.
　　（1）根据已知条件，你能写出h关于t的函数解析式吗？
　　（2）你能画出大致图象吗？
　　（3）如何求球从弹起至回到地面所需的时间？
　　（4）如[第一论文网lunwen. 1 专业提供写作论文和毕业论文写作服务，欢迎您的光临]何求经多少时间球的高度达到3.75m？
　　通过以上几个问题的设置，学生能根据函数图象获得球从弹起至回到地面所需的时间就是图象与横轴交点之间的距离. 于是令h=0，得到方程10t-5t2=0，求出两个根.
　　通过以上问题的解决，学生有了下面的体会：
　　①从数的角度看，一元二次方程ax2+bx+c=0的根，二次函数y=ax2+bx+c，函数值为0时自变量的值.
　②从形的角度看：一元二次方程ax2+bx+c=0的根，抛物线与x轴交点的横坐标.
　　过程二：由二次函数做桥梁把 方程和不等式联系起来.请完成下表（见表1）：
　　表1
　　通过完成表格，发现利用二次函数图象可以获得一元二次方程的解，同样也可以非常直观地得到一元二次不等式的解.
　　过程三：由二次函数图象寻找方程的近似解.
　　问题：利用二次函数的图象求一元二次方程x2+x-1=0的近似解.
　　通过提问“在构造函数时还有不同的方法吗？”引导学生将方程x2+x-1=0变形，如变形为x2=-x+1，这样方程的解可以看成是二次函数y=x2和一次函数y=-x+1交点的横坐标.
　　也可以变形为x2-1=-x或变形为x2+x=1. 教师引导学生比较，发现第二种方法对于画图更方便一些.
　　巩固提高：判断方程x3-2x2-x+1=0的解的个数. （该题针对有能力的同学）
　　教师通过过程一完成了从方程到函数的一个转换，是一个数形结合的过程. 在过程二的问题解决中，“函数思想”起到了关键的作用，是它把方程、函数和不等式联系起来. 同时，在这个过程中学生体会到了初中数学学习中的一些重要的数学思想：如方程思想，分类思想、转化思想和数形结合思想等等. 通过过程三，学生发现利用函数图象可以近似地求出方程的解，也就完成了从函数到方程的一个转换，也是一个数形结合的过程.
　　函数和方程互相转化，由二次函数做桥梁把方程和不等式联系起来，帮助学生由已有的成功实践逐步总结出一般的方法或模式，在以后类似的情况下，这些方法或模式就可起到启发和指导的作用.
　　三、教学思考
　　杜威说过：“实际思维是一种过程……只要一个人思考，它就处于不断的变化之中. 智力教育的真正问题在于将自然能力转变为专家性的、可测量的能力：将多少随意的好奇心和零散的启示转变为明察的、谨慎的和完全的探究态度. ”[5]要达到这个目的，最根本的一条就是重视学生获取知识的思维过程，就是重视知识产生的思维过程. 在数学教学中暴露数学思维活动，展现数学的发生和发展过程，使数学教学成为数学活动的[第一论文网lunwen. 1 专业提供写作论文和毕业论文写作服务，欢迎您的光临]教学，使学生在此过程中学会思维学会创造.离开过程教学，思想方法教学就无从谈起. 这就要求我们遵循认识规律，适当展示知识的产生过程，引导学生积极参与其中，通过对数学概念的抽象、概括，通过对解题思路的分析、归纳，才能使学生仔细体验到数学知识得以产生的基础以及获得这一知识的程序与技巧，逐步领悟最终形成数学思想和方法. 创造学生积极参与的学习环境，让其经历思维建构的过程，揭示新旧知识之间的内在联系，获取学会学习、自主学习、合作学习与问题解决的能力，学生才有机会实现会学的目的，也是教师应具备的高水平教学技能的核心所在.
　　参考文献：
　　[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012：2.
　　[2] 喻平.正确处理数学教学中的基本矛盾（上）[J]. 教育理论与实践，2009（9）：41-45.
　　[3] 余文森.有效教学十讲[M].上海：华东师范大学出版社，2013：176.
　　[4] 李祎.数学教学方法论[M].福州：福建教育出版社，2010.
　　[5] 施良方.课程理论——课程的基础、原理与问题[M].北京：教育科学出版社，1996：89-95.