高职数学教学中引入计算机应用方案探析

1 引言
　　随着科学技术的发展，数学发挥着越来越重要的作用。为了适应新的形势，数学教学也面临改革，特别是信息时代的到来，要求数学教学增强实践性，数学实验这门课程就是基于此而产生的。以计算机和数学软件为平台开展数学实验是一种新的教学模式，它是基于过程导向的一种开放式教学，是对传统的数学教学模式的补充和完善。学生通过上机验证数学计算结果，能充分调动学习积极性和主动性，由被动接受知识转变成为主动接受知识。  
　　本文的目的在于探讨高职数学课教学中引进计算机应用，在微积分的几个重要环节，根据高职学生理论基础差的特点，改变教学模式，引入计算机应用方案，通过数学软件的使用，跨过微积分传统教学中的几个环节，使得所要求解的问题变得简单化，达到传统数学教学达不到的目的，以期望高职数学教学达到事半功倍的效果。
　　2 数学软件的类型及选用
　　数学实验软件平台由若干数学软件组成，它提供各种强大的运算、统计、求解、作图等功能。数学软件按用途，一般可分为通用数学软件和专用数学软件两大类。常见的通用数学软件包括MATLAB、Mathematica、Maple和MathCAD等，其中MATLAB以数值计算见长，Mathematica和Maple以符号运算、公式推导见长，MathCAD以绘图、设计见长。专用数学软件主要是为解决物理、数学和其他科学分支的某些计算问题而设计的，专用系统在符号和数据结构上都适用于相应的领域，如绘图软件类、数值计算类、有限元计算类、数理统计类、数学公式排版类、数学编程类等。
　　软件Mathematica的用户群中最主要的是科技工作者和其他专业人士。但是，Mathematica还被广泛用于教学中。数学中的许多计算是非常繁琐的，特别是函数的作图费时又费力，而且所画的图形很不规范，所以现在流行用Mathematica符号计算系统进行学习，从高中到研究生院的数以百计的课程都使用它，很多问题便迎刃而解。此外，随着学生版的出现，Mathematica已经在全世界的学生中流行起来，成为一个著名的工具。
　　就学校而言，在微积分教学中，笔者认为选用Mathe-matica较为适宜，它的主要特点是：从某种意义上讲，Mathematica是一个复杂的、功能强大的解决计算问题的工具。它的主要功能包括三个方面：符号演算、数值计算和图形。它可以自动完成许多复杂的计算工作。显然，针对高职数学中的主要内容，尤其是涉及有关微积分方面的知识，通过Mathematica的三大功能，很多问题都能很轻易地解决，大大提高教学效率，这是选用它的主要原因。
　　3 传统的教学模式
　　本文仅就导数问题及导数的应用问题在引入计算机应用后，探讨两种教学模式的优劣。传统的教学模式是：数学概念的背景→定义→几何意义→推导公式或介绍相关定理→性质→例题→作业等。
　　笔者的思路：讲解简单的数学概念来源，类似的问题提炼出来，如何解决，数学软件直接解决，省去若干繁琐的中间步骤，得到期望的结果。就像是足球比赛中，为了达到进球的目的，有很多打法，如压迫式打法、短传渗透式打法、长传冲吊式打法等。传统的教学模式类似于足球中的短传渗透式打法，强调的是中间过程（背景、定义、定理等，注重逻辑推理等），当然技术性要求较高。笔者思路中的教学模式类似于足球比赛中的长传冲吊，快速通过中场，省去中间的若干环节，如讲解定义、定理等过程，甚至求导过程（导数四则运算法则、复合函数求导等应用）的省略。尤其是基于高职学生基础差的原因，省去理论上的若干环节，用数学软件直接得到相应的结果，以求达到所要的目的。在笔者看来，这不失为一种高效便捷的方法。当然，对于基础好的学生，两种方法都可以使得他们更加尽善尽美。相当于足球强队配有不同的几套阵容，针对不同的对手，采用不同的打法。
　　1）求导问题。传统的教学模式中，经过导数概念的引进、定义、几何意义、推导导数公式之后，就是利用导数公式求导。
　　显然，碰到稍微复杂一点儿的情况，中间求导（部分过程省略）涉及导数的四则运算法则和复合函数求导问题，相当繁琐，不易计算。
　　2）导数的应用——作图问题。在函数作图这个案例中，传统教学模式中，实际涉及的概念有很多项。通过一一讲解各项概念、定义、定理、性质等，才能归纳解决最后的函数作图问题。因此，了解各种概念的相关性及教学组织形式，才能明了整体思路，理论上升到一定的高度。描绘函数图形时，它主要体现在：确定函数的定义域；确定函数的奇偶性；确定函数的单调性、极值；确定曲线的凹向与拐点；确定曲线的渐近线；需要时，还得由曲线的方程计算出一些适当的点的坐标；把上面所得结果，按自变量大小顺序列入一个表格内，以观察图形的大概形态，然后描绘成图。
　　依据上面结果，按自变量大小顺序列表（表1）。根据表格作图，见图1。
　　上面的作图步骤第3、第4项，也就是前面做的任务1和任务2，即是导数问题，在传统教学中花费的学时较多，授课顺序这里不再详述，仅导数相关概念及相关运算法则连带练习，就耗费相当多的学时。而用数学软件Mathematica求导数，则省去在函数求导、导数运算法则、复合函数求导法则、高阶导数等很多时间。
　　4 改变教学模式
　　介绍简单数学概念→数学软件使用→软件求解结果。
　　案例1的数学软件解法：描绘的曲线。　　用Mathematica软件直接图解，由于Mathematica软件强大的作图功能，可以分两步来研究和讲解导数和函数图形的关系。而且不需要会手工求导数及如何运用导数相关的四则运算法则及复合函数求导法则，只需要按照Mathematica数学软件要求语法格式输入相应的命令运行即可，来达到求导数和作图等目的。相关命令及分析见图2和图3。
　　图中涉及的Mathematica操作命令为：定义函数→求导数（可高阶求导）→求解方程→作图→相关分析。实际操作过程中，可根据需要选择相关命令，有些命令顺序相关性不大。做题过程中，学生当然需要掌握有关Mathematica命令的相关语法，这里不再详述，相关部分的命令格式详见有关书籍或Mathematica软件帮助。
　　案例2：作函数的图形。
　　解法1：传统解法（由于篇幅有限，传统做法省略，类似案例1）在前面的任务2求导中看到，仅一阶、二阶导数就很麻烦。
　　解法2：直接用Mathematica求导，相关步骤及理解等同案例1，见图4（求导等）及图5。可以看到，相比案例1更复杂的情况，很容易地就解决了。
　　以上通过案例1及案例2的传统的理论课环节，及用数学软件Mathematica两种解决方法来描述案例，学生可从实际的案例，用Mathematica做题的作图过程中体会，再理论上对比理解这个案例。
　　5 数学软件知识扩展
　　通过比较Mathematica方法和传统教学方法，看到了它们的差别与优劣，实际上，将计算机引入数学教学后，产生新的数学教学模式。在教学中，教师不仅需要讲授相关的数学理论知识，还需要讲授相关的数学软件操作常识，通过指导学生上机实验，或利用计算机进行数学运算，或验证数学结论。本项研究以教学模式为着眼点，强调在高职数学教学中，根据学生的基础或学科的差异，可采用灵活的教学模式，基础好的学生或专业要求高的情况，增加数学实验课的有关内容。课上引入计算机应用，对一个数学问题采用案例教学，根据问题的性质，提供多种计算机解决方案。
　　除了数学软件Mathematica、MATLAB等，还可以介绍学习应用数学编程类软件、办公软件Office等常用软件，目的是通过计算机技术的应用加强学生的动手能力和独立思考、解决实际问题能力。在实际生活中会碰到各种各样的问题，有的问题，通过不同软件，可以给出多种解法，但并不是所有问题用数学软件Mathematica都能解决，每个软件都有它的强项及范围和应用领域。
　　回归分析问题或其他问题。以一元回归为例，常用办公软件就可以解决得很好，在基础数学的理论教学中应实时根据学生的基础及学科的差异，引入计算机的应用，对于有计算机编程基础的学生，至少可介绍两种计算机解决方案，达到举一反三的目的；对于计算机知识相对薄弱的学生，介绍常用的、容易操作的软件方法，如可以讨论用计算器和Excel解决一元回归问题的差异，引导学生对用计算机解决数学问题的兴趣。  
　　6 结语
　　综上所述，本文以Mathematica作为软件工具，结合导数和导数的应用等数学内容，用数学软件求解来组织教学内容，省略了传统数学教学理论上难懂的过程，定义—定理—性质等推导过程，直接用数学软件解题，让问题变得简单化，在学生能够体会到的计算机应用环境下实践数学软件。这里推荐采用“案例教学、任务驱动”教学法讲解知识与训练技能，适用于理论、实践一体化教学。以此案例为背景，为下一个问题的提出、解决或本门课程后续章节讲解打下一定的基础。
　　过去训练学生用数学工具解决实际问题的困难（手工计算，后来用过高级语言编程……），现在可以通过计算机强大的运算、图形功能和方便的数学软件，使学生可以自由地选择算法和软件，在屏幕上通过数值的、几何的观察、联想、类比，去发现线索，探讨规律。最后是进一步激发学生学好数学的兴趣，促进数学教学的进一步发展。
　　参考文献
　　[1]樊映川.高等数学讲义[M].2版.北京：人民教育出版社，1964：320.
　　[2]孙平，张忠毅，范广玲.高等数学及其实验[M].哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社，2013：52.