基于Gumowski—Mira公式的分形图实现算法的解决

1 引言
　　分形是日常生活中常见的现象，本文只研究基于公式Gumowski-Mira的分形。通过对公式中参数的多次改变，研究图形的变化，从而研究各个参数的物理意义。对于程序代码，本文会着重讲解其中的每个参数和变量对图形的影响，从而把其中的物理意义进行总结归纳，让大家对分形以及在这个公式基础上的分形有一个清楚、全新的认识！
　　2 分形概述
　　分形的起源 其实，分形的研究可以上溯到很久以前。大约100年前，分形的思想已经开始出现在数学领域。但是，就像其他的一些革命性的思想一样，分形的研究受到主流学术的谴责，被人们认为只是研究一些数学中的怪异现象。那时候著名的数学家Charles Hermit把分形称为“怪物”，这代表了绝大多数人的观点。
　　IBM公司的数学家Benoit B. Mandelbrot认真地研究了分形与自然的关系，他向人们展示了分形广泛地存在于身边，一些现象都能够用分形来进行准确的描述，他和他的同事们用分形来描述树和山等复杂事物。他还扩展了维数的概念，开创性地提出了分数维的概念，并创造了“fractal”一词。“fractal”就是人们所说的“分形”，也叫“分维”，台湾的学者则称之为“碎形”。为了褒奖Mandelbrot的突出贡献，人们把他称为“分形之父”[1]。
　　分形的概念 Mandelbrot在解释“分形”一词时说：“我由拉丁语形容词fractus创造了‘分形’（fractal）一词。相应的拉丁语动词fragere意味着‘打破’和产生不规则的碎块。从而可见，除了‘破碎的’（如像碎片或曲折），fractus也应当具‘不规则’的含义，这两个含义都被保存在碎片（fragment）中。”[2]有许多数学结构是分形，如谢尔宾斯基三角形、科切雪花、皮亚诺曲线、曼德勃罗集、洛仑兹吸引子等。分形同样可以描述许多真实世界的对象，如云彩、山脉、湍流和海岸线等，当然它们不是单纯的分形形状。
　　Mandelbrot曾给出了一个分形的数学定义：一个几何对象，它的豪斯道夫维数严格大于其拓扑维数。这不仅有些抽象，而且也不是一个令人满意的定义，因为还有好多分形没有被该定义涵盖。后来他又给出一个比较通俗的定义：部分与整体以某种形式相似的图形。该定义仍然不能表达分形的全部意思，但会使很多初学者开始理解分形了，虽然还不能全部理解。
　　分形的几何特征 分形是破碎的、不规则的，其几何性质十分丰富，可以说，到目前为止它的几何性质还没有完全被挖掘出来。这里只将分形最常见的一些性质描述给大家：1）分形是破碎的，局部不能可微的不规则图形；2）分形一般是自相似的，或是统计自相似的；3）分形有时也是自仿射的；4）分形的维数一般是分数的，但也有整数维数的分形；5）分形图形具有精细结构，即无论局部放大多少倍数，仍然具有复杂的结构。
　　3 典型分形图形
　　图3.1是比较典型的分形图形，它们都具有自相似特性，但并不严格自相似，所以用“具有自相似”特性来定义分形已经有许多局限了，在人们的知识中应该继续扩展分形的含义。
　　通过前面的介绍已经知道：分形最明显的特征是自相似性，其他的特征包括无限复杂、无限细致等。分形图形图3.1，它表现出自相似的特性。这里的自相似性体现在：每一个图都是由它的更小版本组成，而整个图形并没有重复。也就是说，这时自相似的实质应该是某一个部分在其他地方重复出现。
　　图3.2是真实拍摄的一张蕨类植物的图片，它也具有自相似特性。在这棵蕨类植物中，枝杈是整个植物的小版本，而枝杈的枝杈则是更小的版本。这种特性可以无限地持续下去。但是，它并不像计算机生成的分形图形那样严格地自相似，这大概是因为在成长过程中受到许多外界因素的影响。正是因为分形具有的自相似特性，才使分形如此重要并且具有实际应用意义。自然界中许多植物具有自相似特性。
　　图3.3的风景图片是说明分形的另一很好的例子，这张美丽的图片是利用分形技术生成的。在生成自然真实的景物中，分形具有独特的优势，因为分形可以很好地构建自然景物的模型。其实，分形应用的领域很广，周围到处有分形应用的实例。如微生物中，菌落均呈现共同的形态特征：以母细胞为中心的环状层次结构。为了抽取隆起部分，科学家已经采用分形理论模型实现对菌落图像的纹理分割[3]。只要注意观察，就会注意到分形的应用非常广泛。
　　4 分形与Gumowski-Mira公式
　　Newton分形 一个连续函数f（x），如果取其Taylor展开前两项作为它的近似，则有：
　　f（x）≈f（x0）+f′（x0）（x-x0）
　　令f（x）=0，则函数f（x）的零点x可表示为：
　　X≈x0-f（x0）/f′（x0）
　　于是有了求f（x）=0方程根的Newton迭代法：
　　X（n+1）=X（n）-f（X（n）/f′（X（n））（n=0，1，2…）（4.1）
　　当n趋向于无穷大，极限x（n）存在，则序列{X（n）}平方收敛到f（x）的零点。
　　把复数Z运用到（4.1）式上，得到如下公式：
　　Zn+1=Zn-f（Zn）/f′（Zn）（n=0，1，2…）
　　并运用逃逸时间法就画得一幅Newton分形图。
　　Gumowski-Mira公式 Gumowski-Mira公式作为下面的迭代法出现：
　X（n+1）=b*Y（n）+f（x（n））
　　Y（n+1）=f（X（n+1））-X（n） （4.2）
　　式中b用于控制轨道是膨胀还是收缩，如果b稍大于1，比如1.004，则轨道就会膨胀；反之若稍小于1，比如0.998，轨道就会收缩。在对下面这些函数作图时，大多数用的是1.005，一个经典的函数是：
　　f（x）=aX+2（1-a）X2/（1+X2）
　　下面这些函数是常用的：
　　f（x）=aX+2signx（1-a）x2/（1+x2）
　　f（x）=sign（x*a*X）+（1-a）x2/（1+x2）+sinx
　　f（x）=-0.05aX+a（∏-ax）x2/（1+x2）
　　式中sign=
　　Mira公式算法 Mira公式算法[4]（w代表函数，random是随机数，0　　初值：
　　a=random-0.5
　　b=1.005
　　w=1
　　x=0.0004
　　y=0.0004
　　计算轨道，在迭代100到20000次间，每次都画（x，y）点，当然也可加进颜色：
　　z=x
　　x=（b*y）+w
　　w=f（x）（如上所列的某一个。）
　　y=w-z
　　Plot（x，y）
　　5 基于Gumowski-Mira公式的分形图生成
　　下面是根据Gumowski-Mira公式在VC环境下编写的部分程序代码 [5-8]：
　　void CMyView：：OnDraw（CDC* pDC）
　　{
　　CMyDoc* pDoc = GetDocument（）；
　　ASSERT_VALID（pDoc）；
　　int n；a=0.001，b=0.99，f； //设置a、b的初始值
　　float mx，my； //程序
　　x=-15；
　　y=-15；
　　for（n=1；n<=1000000；n++） //设置循环的次数，即点
　　的个数
　　{ mx = b*y + a*x + （1-a）*2*x*x/（1+x*x）；
　　my = -x + a*mx + （1-a）*2*mx*mx/（1+mx*mx）；
　　x=mx； //根据公式重新赋予x值
　　y=my； // 根据公式重新赋予y值
　　pDC->SetPixel（x*30+280，300-y*30，RGB（255，0，0））；
　　//画点函数
　　}
　　}
　　6 Gumowski-Mira公式参数的意义
　　主要通过对不同参数值的设置所对应的图形的不同来研究各个参数（即参数n，b，a）的物理意义。
　　通过图6.1、图6.2的对比可以看到参数n决定着图像的清晰程度，因为参数n代表着循环的次数，即点的个数，所以n的值越大图像越清晰。
　　通过图6.3、图6.4和图6.5的对比可以看出，参数b是一个非常敏感的常数，通常非常接近于1.0。如果b有一个轻微增长，比如由0.99增大到0.999，轨迹会膨胀，或者螺旋向外至无限。如果b有一个轻微的减小，比如0.985，那么轨迹会收缩至奇异吸引子。
　　通过图6.6、图6.7、图6.8、图6.9可以看出，其实参数a也是一个很敏感的参数，a对图形的舒展有很大影响，随着a值的增大，图形周围的类似于翅膀的东西就会迅速收敛。
　　通过图6.10和图6.11可以看出，随着y乘的倍数缩小，图形会在纵轴即y轴方向变扁，也就是说这个系数控制着y轴方向舒展的程度。
　　通过图6.10、图6.12和图6.13可以看出，随着y轴偏移量的增大，图形会往下面移动，说明坐标y会随着偏移量的增大而增大，所以偏移量增大，图形会往下移动。
　　通过图6.10、图6.14和图6.15对比可以看出，随着x所乘倍数的变大，图形就会在x方向舒展；相反，图形就会在x方向上收敛。
　　通过图6.16、图6.17和图6.18可以看出，随着x坐标偏移量的增大，图形就会右移，即坐标x会随着偏移量的增大右移。
　　7 总结
　　分别通过调用函数“pDC->SetPixel（x*30+280，300-y*30，n）”（n为颜色值），对n分别设置为RGB（255，0，0）、
　　RGB（0，0，255）、RGB（0，255，0），分别得到红色、蓝色、绿色的图像。
　　通过上面的研究可以看出，各个参数具有敏感特性，因此通过对参数的多次改变，研究图形的变化，从而研究各个参数的物理意义，以及函数中各个值的变化对整个图形的影响，从而研究总结原因。
　　参考文献
　　[1]金以文，鲁世杰.分行几何原理及其应用[M].杭州：浙江大学出版社，1998.
　　[2]Mandelbrot B B.大自然的分形几何[M].上海：上海远东图书发行部，1998.
　　[3]王永铭，等.分形模型用于菌落图象的纹理分割[J].天津大学学报，1997（6）.
　　[4]李水根.分形[M].北京：高等教育出版社，2004.
　　[5]《电脑编程技巧与维护》杂志社.Visual C/C++图形图像与游戏编程典型实例解析[M].北京：中国水利水电出版社，2006.
　　[6]勒济芳.Visual C++小波变换技术与工程实践[M].北京：人民邮电出版社，2004.
　　[7]陆宗骐.C/C++图象处理编程[M].北京：清华大学出版社，2005.
　　[8]张宏军，党留群，赵天巨.Visual C++ 6.0编程案例精解[M].北京：电子工业出版社，2005.