试探高三数学试题的教学的方法和技巧

福建省从2006年实施新课程标准,教学模式、考试大纲都有很大的变化。内容多、时间紧是高三数学复习课的特点,如何进行有效的高三数学总复习一直是大家热议的话题。从某种意义上可以说高三数学总复习就是数学试题的解题教学,解题教学质量能直接影响到总复习教学效果。笔者结合这几年在高三的教学实践,提出以下教学基本策略。
　　1精选试题
　　由于现在高三数学复习资料五花八门,选择真正适合本校学生的习题是复习的第一步,也是关键的一步。
　　1.1选题以《考试大纲》和《考试说明》为依据: 解读从2010年起的福建省《考试说明》可以发现,解析几何中双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程由掌握降到了解,立体几何对棱柱、正棱锥、球的性质不作要求,文科数学不要求直线与平面所成的角和二面角,而理科要求能用空间向量解决,等等。如果高三教师不注意这些变化或要求,必然会使自己在选题上陷入盲目境地,使自己的复习偏离《考试大纲》的方向。
　　2011年福建省高考理科第11题:
　　运行如图所示的程序,
　　输出的结果是.
　　本题在高考抽样实测结果是:正确率94℅,错误6℅,令人震惊的是这题错误答案几乎集中在两个区市(6000份错误答案中分别点43℅、36℅)。《考试大纲》的要求:1.理解程序框图的三种基本逻辑结构:顺序、条件分支、循环;2.理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义。如果我们不研究《考试说明》,复习只关注框图而忽略算法语句,高考出现以上问题是难免的。
　　1.2回归课本,改造变式
　　高考命题的一个基本原则是“以考纲为准,以教材为本”,新课程标准教科书有五套:人教版A、人教版B、北师大版、苏教版、湘教版,这些教材都为我们提供了丰富的复习素材。翻阅2012年全国各地高考卷,其中北京理科第16题:
　　如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点,且DE∥BC,DE=2,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如图2.
　　(Ⅰ)求证:A1C⊥平面BCDE;
　　(Ⅱ)若M是A1D的中点,求CM与平面A1BE所成角的大小;
　　(Ⅲ)线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?说明理由.
　　这题的母题就是新教材人教版A选修2-1第128页复习参考题B组第3题:
　　如图,在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,∠ABC=900,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=12.
　　(Ⅰ)求四棱锥S-ABCD的体积;
　　(Ⅱ)求面SCD与面SAB所成的二面角的正切值.
　　课本中的例题、习题的内容,体现着本节知识应达到的能力要求。据统计,每年有很多高考题都来自教材的改编、整合。高三教师在复习时应注重回归课本,对课本的例题、习题进行变式教学,做到旧题新做,熟题重温。
　　1.3注重双基,强化训练: 数学学科的基础知识和基本技能既是训练和形成数学的能力的重要依据,又是数学学科素养的重要组成部分。根据《考试说明》福建省高考试题的难、中、易比例约为2:4:4,全卷难度值控制在0.6左右。新课程标准实施后的高考删除繁杂的计算,淡化解题技巧,强调通性通法,因而选题时应注意基础训练,切不可以有“拿来主义”。关注平时学生在容易题、基础题上的错误,并有针对性设计相应的试题强化训练,争取做到能做就不会错。
　　1.4题量适当,注意知识交汇: 新课程标准的教科书增加了不少内容,如:必修部分有幂函数,函数的零点,二分法,三视图,算法初步,几何概型;选修部分的全称量词与存在量词、定积分、回归分析、独立性检验、茎叶图等。高三教师要了解高考的考点,然后用尽量少的试题去覆盖这些考点,如果能用两道题覆盖的就不用三道题。在知识交汇处命题不仅构建知识网络,加强各章节之间的联系,同时也能提高学生分析问题、解决问题的能力。
　　2讲题要有实效性
　　一道数学试题可能有多种解法,一种解法当然也可以有不同的角度讲解,所以讲题是数学解题教学的核心部分。
　　2.1讲题要善于总结,多联系: 新课标指出:“注重联系,提高对数学整体的认识”,“注重数学知识与实际联系,发展学生的应用意识和能力”,体现在解题教学上,就是讲题时要多拓展、多联系。讲题时要把与题目有联系的题串起来讲、与题目有联系的知识串起来讲、与题目有联系的技能、思想方法串起来讲,时时利用课堂的讲题来灌输。在讲解试题时要经常引导学生归纳题型,总结方法,使学生能对某一类试题有较深刻的认识,并形成解题的一种能力。
　　如在复习基本不等式时,安排以下3个小题:
　　(1)已知x>0,y>0,且2x+y=1,求1x的1y最小值。
　　(2)已x>0,y>0知,且1x+4y=1,求xy的最大值。
　　(3)已x>0,y>0知,且x+y-xy=-3,求xy和x+y的取值范围。
　　教师帮助学生通过以上三个例子,归纳小结这类问题的通性通法。
　　2.2讲题时要归纳条件的转化方法
　　数学解题经常需要把试题的已知条件转化为等价条件解决,平时在教学中要归纳常见条件的转化方法,使学生在以后的解题过程能快速切题。
　　例如不等式恒成立问题与有解问题的几种条件转化:
　　(1)“任意x∈D,f(x)a恒成立”转化为“f(x)maxa”;
　　(2)“存在x∈D,f(x)a成立”转化为“f(x)mina”;
　　(3)“任意x1∈D,任意x2∈D,f(x1)g(x2)恒成立”转化为“f(x1)maxg(x2)min”;
　　(4)“任意x1∈D,存在x2∈D,使f(x1)g(x)成立”转化为“f(x1)maxg(x2)max”;
　　(5)“存在x1∈D,x2∈D,使f(x1)-f(x2)M成立”转化为“[f(x1)-f(x2)]maxM”;
　　(6)“任意x1∈D,存在x2∈D,使f(x1)=g(x2)成立”可以转化为“{y|y=f(x1),x1∈D}{y|y=g(x2),x2∈D}”;
　　2.3讲题时要多变式
　　要重视对典型例题的变式教学,通过对典型问题中条件或结论的改变,创设出新的问题情境,通过这样的教学,可以提高学生的思维品质,进而提高学生的创造能力。
　　例题.如果二次函数f(x)=4x2+4mx+m+2有两个不同的零点,求m的取值范围。
　　变式1.(增加题设条件,给定一个区间)如果二次函数f(x)=4x2+4mx+m+2在区间(0,1)上有两个不同的零点,求m的取值范围。
　　变式2.(改变题设表达方式,将问题 隐蔽化)函数f(x)=43x3+2mx2+(m+2)x+1有三个不同的单调区间,求m的取值范围。
　　变式3.函数f(x)=43x3+2mx2+(m+2)x+1在(0,1)上有三个不同的单调区间,求m的取值范围。
　　变式4.(在变式1的基础上改变零点个数)如果二次函数f(x)=4x2+4mx+m+2在区间(0,1)上有一个零点,求m的取值范围。
　　变式5.(在变式2的基础上改变函数模型)函数f(x)=x3-3x+m(m∈R)恰有三个零点,求m的取值范围。
　　变式6.讨论函数f(x)=x3-3x+m(m∈R)的零点个数。
　　变式7.设f(x)=x2+2x+m,实数k如何取值时,函数g(x)=f(x)x-kx存在零点,并求出零点。
　　通过变式,达到一题多用,提高效率;通过变式,加深对问题的认识。
　　3规范表达
　　在每年的高考阅卷中,我们都发现学生在对题目的解题表达上存在较为严重的缺陷,由于表达不到位等方面原因造成的失分十分严重。语言是思维的载体,是思维的外部表现形式。熟悉数学语言(包括文字语言、符号语言、逻辑语言、图表语言)是阅读、理解和表述数学问题的基础,只有具备了熟练的表述能力,才能有效的进行数学交流。高考试卷在解答题都注明“解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤”,这就要求复习时,解答要规范有条理,要有一定的格式,因此在平时的解题训练中,教师答题板书时要规范,教师要对学生提出正确的格式要求,做到正确运算、步骤完整,层次清晰,推理严谨。
　　总之,追求新课标下高三数学总复习学生解题的实效性,有赖于教师在选题、讲题、答题等方面下功夫。教师解题教学思路清晰了,学生解题过程规范了,那么学生在高考中一定能发挥到最好的水平。