例谈不等式恒成立中参数范围的确定

论文导读:：例谈不等式恒成立中参数范围的确定，初中数学论文。
论文关键词：例谈不等式恒成立中参数范围的确定

　　确定恒成立不等式中参数的取值范围，常需灵活应用函数与不等式的基础知识在两者间进行合理的交汇，因此此类问题属学习的重点；然而，怎样确定恒成立不等式中参数的取值范围？课本中从未论及，但它却成为近年来命题测试中的常见题型，因此此类问题又属学习的热点；在确定恒成立不等式中参数的取值范围时，需要在函数思想与数形结合思想指引下，灵活地进行代数变换、综合地运用所学知识初中数学论文，方可取得较好的解题效果，因此此类问题的求解当属学习的难点．笔者试对此类问题的求解策略与方法作一提炼总结．
　　一、不等式解集法
　　不等式在集合A中恒成立等价于集合A是不等式解集B的子集；通过求不等式的解集并研究集合间的关系便可求出参数的取值范围．
　　例1 已知时，不等式|x²－5|<4恒成立，求正数a的取值范围．
　　解 由得；由| x²－5 | < 4得1< x²< 9，－3 < x <－1或1 < x < 3．记A =， B = (－3,－1)∪(1, 3)， 则AB．∴－3 ≤<≤－1（无解）或1≤<≤3，∴0< a≤，故正数a的取值范围(0, ]．
　　二、函数最值法
　　已知函数f(x)的值域为 [m, n]，则f (x)≥a恒成立f (x)_min≥a，即m > a；f (x) ≤a恒成立n≤a．据此，可将恒成立的不等式问题，转化为求函数的最大、最小值问题．
　　例2 若不等式2x－1 > m (x²－1)对满足－2≤m≤2的一切m都成立，求实数x的取值范围．
　　分析 若将原问题转化为集合[－2, 2 ]是关于m的不等式(x²－1) m<2x－1的解集的子集，则解不等式需分类讨论．若今f (m) = (x²－1) m－ (2x－1)，则可将问题转化为f (m)在[－2, 2 ]上的最大值小于零，而f (m)是“线性”函数初中数学论文，则最值在区间端点处取得，便有如下简解．
　　解 令 f(m) = (x²－1) m－(2x－1)， 则 f (m) < 0 恒成立 f (m)_max< 0
　　 ，解之得<x<，即x 的取值范围为(,)．
　　例3 若不等式x²－m(4xy－y²) + 4m²y²≥0对一切非负的x, y值恒成立，试求实数m的取值范围．
　　解 若y = 0，则原不等式恒成立；若y≠0，则原不等式可化为
　　≥0；令t =，则t≥0且g(t) = t²－4mt + m + 4m²≥0．问题转化为二次函数g(t)在区间[0,+∞)上的最小值非负．
　　故有 或 ．解得m的范围为(－∞, －] ∪[0,+∞) ．
　　说明 二次函数的图象与性质是中学数学中的重点内容，利用二次函数在区间上的最值来研究恒成立问题，可使原本复杂的问题变得易于解决．
　　三、参数分离法
　　将参变元与主变元从恒不等式中分离，则在求函数最值时可避免繁冗的分类讨论，从而更好地实施“函数最值法”．
　　例4 若不等式2x + 2≤a (x + y) 对一切正数x, y恒成立，求正数a的最小值．
　　解 参数分离，得a≥= f (x, y)．∵x +3y≥2，∴3 (x+y)≥2x + 2，∴f(x, y) ≤3初中数学论文，∴a≥f (x, y)_max=3，∴a的最小值为3．
　　例5 奇函数 f(x)是R上的增函数，若不等式f (m·3^x) + f (3^x－9^x－2) < 0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
　　解 ∵f(x)为奇函数，∴原不等式等价于：f (m·3^x)< f(3^x－9^x－2)，又f(x)在R上为增函数，∴m·3^x<3^x－9^x－2，不等式两边同除以3^x，得m<3 ^x +－1= f (x)．
　　∵3 ^x +≥2，当且仅当3 ^x =时取“=”，∴f (x)_min =2－1，故所求m的取值范围为(－∞, 2－1)．
　　说明 （1）在求解本例时，若无分离参数的求简意识，则必转化为含参二次函数在区间上的最值问题，不可避免地要进行分类讨论．
　　（2）诸多数学问题在通过代数变形后均可转化为形如f (x) = ax+型函数的最值问题，其最值的求解通常用重要不等式或函数单调性来完成．
　　四、数形结合法
　　将恒成立的不等式问题，合理转化为一函数图像恒在另一函数图象的上（下）方初中数学论文，进而利用图形直观给出问题的巧解．
　　例6 若不等式 3 | x + a |－2x + 6 > 0 在R中恒成立，求实数a的取值范围．
　　解 尝试前述方法均较麻烦，而将原不等式变为
　　| x + a | >x－2，令f (x) = | x + a |，g(x) =x－2，作
　　出它们的图象如右图所示，便有－a < 3即a >－3，所
　　求范围为(－3,+∞) ．
　　综上所述，求恒成立不等中参数的取值范围固然有四类彼此相联的思考方法，但是，只有在函数思想的指导下，树立数形结合与参数分离的求简意识，面对具体问题时才能取得良好的解题效果．