“设而不求”应用举例

……①

……②

……③

　　例9求的值
　　解析：设M=，N=
　　则M·N=
　　===
　　∵,∴M=即
　　这种方程是首先设值，然后通过恒等变形，最后求得结果。
　　例10过抛物线y=ax（a＞0）焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，求＋。
　　解析：如图，l为准线，交y轴于F，作PP⊥l，QQ⊥l，交于P、Q，
　　设|PF|=|PP|=m，|QF|=|QQ|=n，连接PQ交y轴于点A.
　　通过比例关系易求得|FA|=，|AF|=，
　　而|FA|＋|AF|=|FF|==2，即＋=4a.
　　六、设而不求，恒等变形
　　在解题时引入适当的参数常有利于解题。引入一个参数可以控制n个变量的变化，把n个变量的变化集中在一个参数上，因此使问题简化，尽管不必求出这个参数的值。
　　例11若x+y+z=1，求证：
　　证明：可设，
　　则=
　　==
　　当t=0时，即x=y=z=时，上式取等号。
　　例12设椭圆方程为x＋=1，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足OP=（OA＋OB），若l绕着点M旋转时，求动点P的轨迹方程.
　　解析：设P(x,y)为轨迹上任一点,直线AB斜率为k,A（x，y），B（x，y）.
　　(1)若k不存在,易得P(0,0).
　　(2)若k存在,y=kx＋1,联立椭圆方程得
　　(k＋4)x＋2kx－3=0.
　　∴x==－,利用基本不等式求得－≤x≤,
　　y==,
　　消去参数k得方程为4x＋y－y=0(－≤x≤).
　　点评:分析之后发现直线AB的斜率为问题的根源,故设出斜率让问题的解决得到延伸,经过运算把所求的用k来表示,最后消去参数,达到设而不求的目的.但要注意参数的范围(一般由联立方程的△产生)对自变量范围的影响.
　　在掌握以上的设而不求法之后,对题目加以分析,理清头绪、找出量之间的内在关系,从而达到解题思路清晰、运用运算技巧简化运算,得以顺利解决问题.