面向教学的数学知识

　　_、面向教学的数学知识是一个重要的研究课题

　　自学科教学知识(PedagogicalContentKnowledge,PCK)的概念提出以来,人们倾向性地认为是学科教学知识而不是教师的学科知识对课堂教学具有关键意义。但注意到这样一种现象:有许多老师正因为自己对所教学科缺乏真正的专业理解，或是照本宣科,强行向学生头脑里灌输各种知识，违背知识发生的逻辑脉络，或是轻易地放过学生提出的很有必要探讨的问题。要构建思维型课堂,11蹴要揭示学科概念、定理的形成过程，背后的思想方法、本质含义，构建命题间的相互关系而形成严密的知识网络体系，精心选择问题，设计彼此有联系有区别的系列变式题组，还原习题训练为挑战认知的系列问题，等等。达成这些目标，离不开学科知识的有力支撑。对此，鲍尔指出，对专门化的数学知识性质的不透彻理解，将使世界范围内改善教师教育质量的良好意图受挫。于是，她和她的研究团队提出了“面向教学的数学知识”(MathematicalKnowledgeforTeaching,MKT)

　　面向教学的数学知识是一种特殊形式的数学知识，是教学中特别有用的数学知识，有益于、能用于教师的教学工作。这种研究的基本认识论假设是教师需要以教学工作独有的方式理解和运用数学，这种独有方式不同于数学研究、工程技术等工作中理解数学、运用数学的方式。教学中的数学活动既不是为了获取新的数学结果，也不是为了解决实用问题，而是为了说明思想概念、阐述道理方法、指导操作训练。面向教学的数学知识的模型分为两大组块,一是学科知识，一是学科教学知识。w两大组块又各分为三部分，共六部分。（1)一般内容知识(CommonContentKnowledge,CCK),是指受过良好教育的成人拥有的数学知识和技能。它不是教学工作所特有的，很多其它工作中同样需要，是一种“纯”的数学知识，与教学法知识无关。如化简(-125)x|_VT+2

判断Sin60°是否有有理数;怎样用科学计数法表示一个数,回答以上这些问题就需要CCK。(2)教学用的内容知（SpecializedContentKnowledge,SCK)，是指教师为了教学而必须具备的一种独特的数学知识，如，支撑教师准确地表征数学思想，对通常的规则和步骤给出数学解释，审视和理解非常规问题的解决方法等教学活动时所需要的数学知识。这些知识不一定为受过良好教育的成人所拥有。如知道计算75-18的多样化的算法，分数相加时先求公分母的理由是什么？如何用图形表示2+1。数学水准知识（KnmvlftdgeattheMathematicalHori?zon,KMH),是指学术形态的数学知识，常为精通某一专业的人所拥有。如能从整数加法的公理体系出发解释75-18。以上这二部分知识构成学科知识Q(4)学的知识（KnowledgeofContentandStudents,KCS)，是指教师知道如何最好地培养学生的数学思考或矫正学生的错误，它关注教师如何理解学生对特定内容的学习。如知道学生为什么会得到75-18的答案是63或67。（5)教的知识（KnowledgeofContentandTeaching,KCT),是指综合了教学内容和教学这两方面的知识。在设计教学时，教师需要考虑选择哪个例子引人课题更合适，需要判断所教概念的不同表征及不同方法、程序在教学上的优缺点。在关于特定内容的课堂讨论中，教师需要决定何时暂停讨论，何时指出关键点，何时提出新问题促使学生进一步思考，这些知识都属于KCT范畴。（6)教材的知识(KnowledgeofCurriculum,KC),是指教师知道诸如与75-18有关的知识在教材体系中的编排，如平均数中位数在教材中的编排is等。这三部分知识组成学科教学知识。

　　与面向教学的数学知识模型相比，虽然学科教学知识的模型中也有学科知识，但是两者对学科知识和教学知识关系的处理是不同的。由学科教学知识的模型，我们可以感知教师的学科知识本身不是第一位的,第一位的是教师对教学内容的处理、对教学过程的合理组织，以及教师与学生之间相互关系的合理把握。虽然学科教学知识的主流模型并不否认学科知识在教师教学中的贡献，但其认为学科知识不具有教学法功能，不能解决自身的可教性问题。学科教学知识的模型认为有学科内容的学科知识与无内容的教学知识进行有机融合之后，就能生成学科教学知识。在面向教学的数学知识的模型里，学科知识和学科教学知识不再是从属关系，而是并列关系，而且学科知识还具有根基性的地位,学科知识能解决自身的可教性问题。施瓦布对学科知识的认i只使人更易看清学科知识的可教性问题。施瓦布将学科知识(SubjectMatterKnowledge,SMK)分为内容知识(ContentKnowledge)，指学科内具体的事实性知识、中心概念和组织原则等，呈现在教科书上的具体的内容就是此类知识；实质性结构知识(SubstantiveKnowledge),指学科的解释性框架或范式，这类知识隐藏在知识的发生发展过程中，如研究三角学的范式有几何的、代数的、解析的、物理的’这些范式常常杂糅在经过教学法加工的教材内容知识中；句法性知识(SyntacticKnowledge)，指学科中的论证规则，如有关演绎法的知识,之于数学就特别重要,因为这是数学科学区别于实验科学的根本所在。因此，真正知道某门学科就不仅仅是“knowwhat”，还应知道"knowhow”，也就是不仅要“知其然”,还要“知其所以然”。学科知识不仅和教什么有关,也应和怎样教有关。一些学者，如华罗庚先生、张景中院士、史宁中教授等，虽然没有受过教育学的训练，但是他们常能把高深的数学知识化难为易，娓娓道来，这无不得益于他们深厚的数学功底。可见“学科知识，无论其为学者或教师所拥有，都有一个教学法的维度”。国内也有研究指出“学科知识是蕴含某种深层教育学的学科教学知识，学科教学知识是作为(专业)教学知识与学科知识相结合的学科教学知识”。面向教学的数学知识一方面不排斥学科教学知识的重要作用，但更重要的是其认为有关学科知识的教学法存在于学科知识和学科之中，甚至存在于我们自身之中，教师拥有深厚的学科知识也能产生教育上的见解。因此，我们把面向教学的数学知识的模型修改成:（1)内容知识,(2)实质性结构知识，(3)句法性知识；(4)学的知识，（5)教的知识，（6)教材的知识。

　　虽然，整个现代教育改革的基本方向，无论是杜威的实验主义，还是布鲁纳的发现学习，乃至方兴未艾的以问题为中心的学习，其实都是以增强学科知识在教学过程中的地位为特征的，但是我们的学科教育却无视这样一个事实，出现了诸如“去数学化的数学教育”的学科教育研究，导致学科教育的学术地位不高，得不到认可。面向教学的数学知识立足于数学学科，从数学的角度做数学教育研究，不同于从教育的角度做数学教育研究。这是两种不同的研究取向，可以和而不同，得到的结论可以相互参照，从而得到对实践更有解释力的成果。因此，面向教学的数学知识是一个值得研究的重要课题。

　　二、从数学发生发展的角度分析课例中面向教学的数学知识

　　教师对学科知识的理解,影响着教师对教材的处理及如何教学，进而会影响到学生的学习，因为没有人能够教自己不知道的知识。但这样“明显”的事实一直很少得到实证的支持。为了研究学科知识在面向教学的数学知识的模型中的基础地位及对学科教学知识的辐射促进作用,本研究选取了某部属师范大学的几名实习师范生作研究对象，选取适当的课例’从数学发生发展的角度精细剖析他们对教材内容的处理以及课堂教学行为背后的深层次原因。课例立足于课堂’将理论思想置于鲜活的教学之中,将宏大的理论转化为个体的教育经验或事件；课例的研讨聚焦课堂，是在真实情境中研究教与学。因此，课例(LessonCase)是理论与实践的中介，是教师学习的“认识支架”。195鉴于此，笔者和师范生们研究了三角部分的一些具有重要意义的内容的课例的片段。

　　部属院校的师范生在对作为人类研究结果的内容知识的把握方面是不成问题的；经过实习前的微格训练、指导教师的评点之后，也知道一些教的知识，如知道先复习旧知识，然后再弓I入新知识，以旧知促新知。然而，他们不知道“新”与“旧”之间的联系与区别，为什么要舍“旧”取“新”，不明白其中道理是什么。从数学发生发展的角度看，三角的研究方法历经了几何的、解析的和微积分方法的嬗变，并且不同的方法得到的结果的深刻程度并不一样。在教育上，这些重大变化以隐性的方式内蕴在不同学习阶段的教材中，教师在研读教材时要能厘清研究视角演变的历程，在不同的学习阶段强调不同的研究视角，并做好视角间的过渡与衔接。如在《怎样从锐角三角比过渡到任意角的三角比？”的课例片段中，只有看到前人是从何种视角得到教材中的有关三角内容知识的，才能做好“旧”“新”的过渡与衔接。这直接反映了师范生的三角学的实质性结构知识的水准，这种知识的缺失将使他们看不到研究范式的变化，也就不能在教学上表达出这种变化。这种知识的缺失不能简单地归因于他们教学经验的不足。数学思想并非数学理论，两者是有区别的，数学思想是数学的科学思维方法，这种思维方法也许不一定需要通过抽象的数学理论来表达。然而这种思想方法常常淹没在数学形式化的符号之中，教师在教学时就要引导学生从学科的视角看世界。要做到这点,就要求教师有厚实的学科实质性结构知识，它能使教师着眼于学科的整体结构，而不仅仅是在细枝末节上兜圈子。

　　教的知识集中体现在教师的教学方法之中。按照佐藤正夫的看法，人们应该在“目标一内容一方法”的整体结构关系中去理解什么是方法。教学方法是实现教学目标的手段,教学内容决定教学方法，教学内容也受制约于教学目标。教学目标的多面性和教学内容的多样性,决定了教学方式、方法的多样性和可选择性。要使课堂浸润在火热的思考中，就要在知识的形成过程中化解“冰冷的美丽”,重构概念、定理等的形成过程’揭示学科概念背后的本质，经历学科命题背后思想方法。如在《怎样从角度制过渡到弧度制》的课例片断中，为什么要引出这一概念和定理，不引入这个概念行不行呢？好好的角度制不用,为何要弓I人弧度制?人们舍角度制而取弧度制是基于哪种考量？这些具有中枢作用的关节地方弄清楚了，才不会发生教学法的颠倒,如不是由于弧度制有用才引入它(角度制同样有用），而是角度制的内在缺陷才导致了弧度制的产生。概念的产生是一个扬弃的过程，是一个推陈出新的过程,教学方法精湛的教师常能“演义”式再现这一个过程。这需要教的知识作强有力的支撑。由于师范生对内容知识的把握不够深入，没能看到内容知识结果背后数学家思维的脉动，也不明白教学目标在教学中的导向作用，直接导致了教的知识的缺失。

　　心理学家奥苏贝尔有这样一句话:“假如让我把全部教育心理学仅仅归结为一条原理的话，那么，我将一言以蔽之曰：影响学习的惟一最重要的因素,那就是学习者已经知道了什么。要探明这一点并应据此进行教学”。师范生们却不是这样的，他们更多的是考虑如何深刻地理解教学内容。由于对教学内容的认i只和理解不同，在《怎样引入两角和与差的余弦公式〉>的课例片断中，两位师范生采取的教学路径不同，虽然他们同时分析考虑到了教学对象的特点。本课例片断教学内容上的难点在于研究三角的两种视角--解析的和几何的一杂揉在一起，一时要这样看待角,一时要那样看待角,这正是历史上人们认知过程中的难点所在，也是当下学生认知上的困难所在，这直接导致了教师在教学路径选择上的困惑。

　　“为谁教”“教什么”“怎样教”“为什么这样教”是教师在教学时必须要思考的问题。虽然教师对“教什么”的深层理解和把握直接决定了“怎样教”和“为什么这样教”，但这必须建立在充分认识教学对象的心理的基础之上，要有的放矢。认知的历史发生原理指出,学生在学习过程中所遭遇到的困难和概念、命题的历史发生发展过程中所遭遇到的闲难具有相似性。师范生如果信奉这条原理，那么在备课时，就会有意识地预测学生在学习过程中的困难所在，站在学生的角度思考问题，和学生一起去克服一个又一个认知困难，而不是“目中无人”。

　　影响有效教学的因素很多，常见的归因是教师的教学理念不够先进，于是在教师教育培训中，就要对一线教师灌输大量的理念。然而新理念并不必然导致行为的改变，教师的教学实践带有工程实践的性质,教师通过分析比较教学内容的精神内蕴、目标定位与教学对象的学习基础、学习闲难等，选择最为适宜的设计，并将预先的构想实在化。从上面的课例片断的细致分析中，教师对学科知识的实质性结构知识、内容知识背后的精神与方法的把握程度影响了教师对教材的处理，对学生心理的认识，从而影响了教学实践。对学科知识的深层次认识能够产生教育教学上的见解，进而影响教师的学科教学知识。

　　三、发展面向教学的数学知识之路径

　　发展面向教学的数学知识，要目的明确，不是为数学而数学，而是为教育而数学，挖掘内蕴于学科知识背后的教学法维度，目的是加深学生对概念的深层次理解,学习数学提出猜想做出论证的方法，并学会用数学的眼光解析周围的事物和各种现象。教师应发展面向教学的数学知识将数学家“做”数学的科学精神引人到课堂教学中来，尽可能地挖掘数学的教育功能。

　　教育上的见解并不一定外在于学科知识之外，也可内蕴于学科知识之中。教师需要深入理解学科知识的发展范式，挖掘学科知识的深层意蕴,并转化为教育上的见解，发展面向教学的数学知识。由于研究者所秉持的特定视角和方法的不同，任何理论其实只是对丰富多彩的世界的一个角度或一个层面的解读和认识。保持对知识探求的开放态度，也就是容忍了认识视角的多样性，但这并不表明每种视角都具有同等的价值和合理性。但是由于数学学科不同于其它学科，前后知识间特别强调逻辑演绎,特别强调知识的传承性。如，三角函数其实是三角形和圆的性质的解析表达。也就是说,从教学的角度看，三角函数的“母体”是平面几何，就三角学而言，解析的视角当然是最有力的,但是没有前面几何的、代数的视角作铺垫，三角岂不成了数学家的神来之笔?这其实是不符合数学进化的特点的。教材或隐或现，时断时续地把这些视角包容在内，教师要有能力把握这些影响学科发展的结构性知识，从而转化为教育教学上的见解，指导自己的教学。教育取向的数学史融数学与历史于一体，人们能看到各种视角各种观点的碰撞，做数学的各种活动经验，在潜移默化中本身就受到了科学方法论的熏陶，教学观念自然能得到更新，从而发展面向教学的数学知识。

　　稔熟学科知识的发生发展过程，化学术形态的数学知识为教育形态的数学知识，发展面向教学的数学知识，教师要通晓所教主题是怎样发展起来的，它的研究问题、研究方法和研究结果经历了怎样的变化，在发生发展中经历了哪些闲难和障碍，在历史脉络中的价值和贡献’以及与其它主题、其它学科的历史渊源，从而使人对这一主题有一个完整而深刻的理解。这样，由于了解了知识的发生发展过程，以及其中经历的磨难和与其它内容的联系，加之以教育的眼光“解压缩”教材，把逻辑的角度和史的角度有机结合，不仅可以实施知识教育，而且还可以实施文化教育。体会历史上人们发现知识的磨难和知识演化的漫长历程,将会改变教师的知识观，这将从根本上改变教师的教学方式。在发生发展过程中看到了内容知识背后的人类思维的脉动，在引发认识冲突，突出知识形成过程,联系已有知识经验，引导学生自主建构时，其实就是在教育上“重演”数学家的心路历程。支撑教师娴熟的学科教学知识需要厚重的学科知识作根基。

　　教育取向的数学史一改数学史宏大的叙事方式，立足于一个个教学主题，细说学科知识发生发展的演变历程，还原了凝固在内容知i只结果背后的“火热思考”，以期能以教育的形式演义之。认知的历史发生原理奠定了以教育取向的数学史发展教师面向教学的数学知识的可行性。正是由于心理认知发生发展机制与数学的发生发展存在相似性，所以,通过研读历史，教师可以获得数学家由于视角的变迁而弓丨发的学科的根本性的变化，从而获得关于一门学科性质的知识，学科本质的知识，哪些内容或观念重要的知识，从而把握教学重点、关键点,不再纠缠于细枝末节。正是由于学生对某一课题的理解与该课题的发生发展存在历史相似性，所以，通过研究历史上数学家遭遇到的认知冲突、认知障碍来预测学生的学习困难，诊断学生的认知表现，教师可以获得学生对某一课题理解和误解的知识，从而更好地找准难点0认知机制、认知困难的载体是数学家克服的一个又一个的实际问题、理论问题。研读历史自然可以从中获取特定主题的知识的来源及发展，经过比较，从而获取这些“源材料”怎样经过教学法的加工而走进了教材,也就获取了关于内容组织的知识，即教材的知识。浩瀚丰富的历史宝库是教学表征的重要来源，可以基于历史进行适当的教学设计，在现代教育情境下重构推动某一主题发展的关键思想或问题，构建从易到难的问题系列，采取有序的问题驱动模式，使之在教学上适宜介绍新概念、方法或理论。我们曾做过大量这方面的工作，引起了一线老师的强烈兴趣。

　　从内蕴于学科知识背后的认识视角、思想与方法等方面全面解析学科知识，并由此产生教育上的见解，并用之于教育，是发展面向教学的数学知识的一种值得尝试的路径。用教育取向的数学史发展面向教学的数学知识只是其中一种具体的做法。