数学教学中“提出问题”的方法初探
在新课程下，国家基础教育数学课程标准明确提出让学生从数学的角度提出数学问题、理解数学问题和解决数学问题的课程目标。“提出问题”成为数学课程的重要组成部分。然而，一种普遍存在的现象是学生有大量与“求解”和“求证”有关的数学体验,却缺少必要的提出数学问题的活动经历。如何引导和鼓励学生在问题意识的驱使下去发现问题和提出问题，成为数学课程标准实施中一个值得关注的重要话题。
本文拟在简要阐述“提出问题”基本涵义的基础上，立足于数学情境的结构要素,从询问初始条件、拓展初始条件以及变换初始条件三个方面，对“提出问题”的基本方法作进一步的探讨和分析。以期为“提出问题”由数学课程理念向教学现实的转化提供可以借鉴的资料。
1何谓提出问题
“提出问题”是指提问者通过对情境的探索产生新问题，或在解决问题过程中对问题的再阐述(re-ormulation)。H具体到学生的数学活动中，主要表现为两种活动形式:一是主体基于已有的知识经验,对情境中存在的数量关系及其变化规律的“再发现”；二是对已经发现的“问题”所进行的文字的或言语的表达。前者体现了主体形成问题意识和生成数学问题的内在思维过程,后者反映了主体构建问题的外在行为方式。
通常,提问者提出的问题既可以针对自己，也可以针对“他人”，既可以是一种未知，也可以是一种需要完成的任务。反映到学生提出的问题上，主要表现为两种问题形态，即“疑惑式”问题和“预答式”问题。
所谓“疑惑式”问题，主要指以疑问形式出现的数学问题。比如，在平面上，如果3条两两相交的直线把平面分割为7个区域，那么，4条两两相交的直线能把这个平面分割为多少个区域呢？n条两两相交的直线情形又怎样呢？由于“疑惑式”问题给人带来的是一种“悬念”，因此，这种问题形式容易激发人的求知欲望。
“预答式”问题主要指以一种预见的结果形式呈现出来数学问题，如数学命题、数学猜想或推测等。这类问题尽管结果不完全可靠,还有待进一步验证和证明，但是它并非人的主观上的随意，而是基于某些可靠的数学事实做出的推测或猜想一对特定情境中的数量关系及变化规律的“再发现”，反映了学生观察、分析、归纳、类比、抽象、概括的思维过程，因此，有助于增进学生的数学自信心,激发学生的求知欲。
可见，当学生成为“提出问题”的主体时，“问题”就不只是一种解题对象,还是一种蕴涵创造力的数学发现。在此意义下，“提出问题”具有许多不同于“解决问题”的特点：
(1)在发现和构建问题的过程中，提问者所需要的数学思维不只是逻辑的，而更多地是直觉的；所需要的数学方法不只是演绎推理,而更多地是归纳推理、类比推理;所需要的信息不只是简单的移植,而更多地是创造性地处理。
(2)在提出问题活动中，“问题”具有不可预知性,而作为解题对象的“问题”则是明确的。
(3)提出的问题大多与处于疑惑中的个体有关,是对提问者的问题意识的具体反映。然而，作为解题对象的问题，则是一种由他人提供的需要完成的数学任务，因此并一定直接反映解题者的心理困惑。
2提出问题的基本方法
创新源于问题，问题的产生离不开一定的情境。在数学教学中，对学生提出问题能力的培养,不仅要以数学情境的精心创设为前提，而且，还要把挖掘数学情境与数学问题的内在联系作为教学的基本出发点。H这里‘数学情境”被理解为一种具有特定功能并蕴涵了数学初始条件和背景信息的刺激材料。其中，“特定功能”主要指情境对学生积极情感的调动和问题意识的诱发“数学初始条件”指的是情境中已有的数学概念、关系和结构，而“背景信息”则是指那些与学生现实生活和已有数学现实密切相关的信息。由于问题的产生依赖于提问者对问题信息的收集、分析与处理，而问题信息主要源自已有数学情境，因此，立足于数学情境的基本要素，把学生处理情境中的数学初始条件的不同方式一直接采用、拓展和否定，作为探讨和分析“提出问题”的方法的切入口，由此可以形成“提出问题”的三种基本方法一直接询问初始条件法、拓展初始条件法以及否定假设法。
2.1直接询问初始条件法
所谓直接询问初始条件法是指提问者对情境中的初始数学条件，以直接采用的信息处理方式提出数学问题的方法。对于那些初次涉入提出问题活动的学生而言，这种方法有利于激发他们的问题探究意识，并树立数学学习的自信心。为了对“直接询问初始条件法”作进一步的阐释，下面提供了一个有关多边形外角和的问题情境：
如图1,S3,S4,S5分别表示三角形、四边形和五边形的外角和。如果Sn表示n边形的外角和，试求Sn。
为了探究同时给学生提供一个展示其数学思考的机会,不妨在解决问题之前先让学生根据情境中的初始数学条件提出问题。仔细观察一下,不难发现该问题情境的基本构成:作为已知条件的三角形、四边形和五边形内角和的符号表征S3,S4和S5,构成了情境中的初始数学条件。而问题情境中蕴含的学生已有的关于三角形、四边形和五边形的边、角关系，则构成了情境的背景信息。由于S3,4和S5是对S?的具体反映，因此，它们的大小及其相互间的关系如何，是学生易于发现的问题探究点。于是，通过直接询问初始条件，可以产生一系列新的数学问题：
(1)S3,4和S5是多少？
(2)S3比S2多（少）多少？
(3)S3,S4和S5之间的大小关系如何？
其中，问题（1)是关于多边形外角和的计算问题，问题(2)和问题（3)是关于多边形外角和大小比较的问题。三个问题尽管难易程度各有不同，但是在问题的构成要素上具有相同点，即它们都只局限于先前给定的多边形外角和的符号表征S3,S4与S5,而未对给定信息进行拓展。
2.2拓展初始条件法
拓展初始条件法是指通过拓展给定情境中的初始条件提出数学问题的方法。我们把这种方法提出的数学问题称为“拓展性问题”。与直接询问初始条件提出的问题不同“拓展性问题”的条件不仅超越了给定情境中的数量、图形或关系，而且还包括新增的数学信息条件。
比如，在前面“多边形外角和”问题解决之前，当学生有了关于S3,S4和S5是多少的疑惑之后，围绕多边形的类型多样性，可能产生对不同类型多边形外角和大小及其变化规律的问题。下面呈现的是三种难易程度不同的问题：
(4)六边形的外角和S6是多少？
(5)S6与S3,4和S5的大小有何关系？
(6)多边形外角和Sn的大小变化有何规律？
从问题构成要素看，上述问题既保持了与给定
初始条件的内在联系一关于多边形外角和的大小问题，同时又超越给定情境中有关多边形类型的初始条件，其中，问题（4)是一个简单的基于多边形边数的拓展性问题，而问题（5)和问题（6)是一类复合型问题，不仅拓展了多边形的边数，而且反映了提问者对多边形外角和与其边数关系的思考和探究。
在问题的不等号两边，多项式构成中的单项式的个数及次数均超越了先前给定情境中的单项式的个数及次数。虽然问题(7)和问题（8)具有相似的数学表征方式，且内在的数学关系具有同构性,但是两者的差异却十分明显：问题（7)蕴涵的数学关系具有特殊性,而问题（8)试图揭示一种具有一般性的数学关系，反映了提问者较高的抽象、概括的数学思维能力。
可见，拓展初始条件的方法要求提问者不仅要具有分析和处理已有问题信息的能力，而且还需要有数学的直觉意识以及丰富的想象力和创造力。
2.3否定初始条件法
否定初始条件法是指通过对原有问题的条件和限定进行思考而自由改变来产生新问题,其实质就是系统改变问题的条件或目标。比如，改变命题“平面上一个三角形的面积等于bXh),其中a,b分别表示这个三角形的底边及底边上的高”的假设会让我们产生许多新的数学问题:如果三角形是画在球体的表面上，面积该怎样算？这个计算公式还适用吗？等等。
否定初始条件的方法也称“否定假设法”（what-f~not),被美国学者布朗和沃尔特看作是一种很有用的提出问题的基本方法。1990年，他们在《提出问题的艺术》（TheArtofProblemPosing)一书中，阐述了“否定假设法”的基本原则：
(1)确定出发点，这可以是已知的命题、问题或概念；
(2)对所确定的对象进行分析,列举出它的各个“属性”
(3)就所列举的每一“属性”进行思考：“如果这一属性不是这样的话,那它可能是什么？”
(4)依据上述对于各种属性的分析提出新的问题；
(5)对所提出的新问题进行选择。
为了对“否定假设法”作进一步的阐释，下面给出一个有关“阴阳”图形生成的问题情境。
由此，可以得出“阴阳”问题具有的基本属性：属性1:圆O被分割的每个部分的面积相等(nn)；
属性2:圆O被分割的每个部分的周长相等(2nn)；
属性3:圆O被分割的每个部分，其周长的数量是面积的2倍。
至此,我们对“阴阳”问题的属性有了一个基本的认识。然而，一个新的问题却又引人思考:这仅仅是一个有关圆的数学问题吗？能否把它推广到其他情形中？如果能，那么这样的图形应具有的几何特征有哪些？
为了使这些问题更加清晰，不妨对原有问题情境进行观察，并确立提出问题的探究点。比如，改变先前给定“阴阳”图形的特征，将“圆”改为正方形，则可以产生一系列新的数学问题：
取正方体的边长为2n,以对称轴AB为新的对称轴，按一定的规则分别作边长为2,4,6,…2(n-1)的正方体，则正方形被分为n个部分:7^,2,73,…，7?,如图4(n=6时的图样）所示。问：^,八，&,…，7?的图形面积是多少？周长是多少？面积与周长有什么关系？
仔细观察，可以发现这个正方形“阴阳”图形问题与先前给定的“阴阳”图形问题具有结构上的相似性,所不同的是这个正方体图形的对称性以及每个部分的面积算法不同。
在教学中，虽然对不断提出来的新的数学问题进行解答可能会超出学生或教师的数学能力，但是，新问题的不断产生对学生的数学好奇心和数学探究能力的发展具有积极的促进作用。
提出问题是一个以置疑和问题生成为基本活动形式，以问题信息的收集与处理为主要手段的数学活动。由于提出问题所依赖的不只是逻辑演绎的思维方式，还有直觉与合情推理的思维方式，以及丰富的想象力和创造力，因此，教师在引导和调节学生提出问题的教学活动中，必须立足于学生发展的价值指向，以展现学生“生动活泼的、主动的和富有个性”的学习过程为主线，以实现学生数学创新意识和探究能力的发展为目的。
夏小刚
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