试论数学教学的结构性原则

　　教学原则是以一定的教学目的和教学任务为出发点，根据教学规律制定的对教学工作的基本要求。数学教学除了坚持各科通用的、一般的教学原则外，还应坚持结构性原则。

　　一、数学结构性教学原则的涵义

　　(一）數学知识结构的涵义

　　法国抽象数学的主角布尔巴基（Bour-baki)指出：“数学不是研究数量的，而是研究结构的。”数学知识结构主要是指数学内容结构与数学方法结构，它不仅包括数学的基本概念和一般原理，而且还包括基本的数学方法、数学思想和数学观念。其大致构成如下：f数学内容结W数学教材内容的编排结构数学知识结构'数学知识本身的逻辑结构II教材内容所里含的方法结构I数学方法结构U决问题所采用的方法结构

　　数学内容结构既指数学教材内容的编排结构即数学内容及其排列、组合方式，也指数学内容本身所固有的内在的逻辑结构。数学内容本身的逻辑结构，如立体几何中空间的角与距离的概念都是通过转化为平面的角与距离来加以定义的，这些概念同时都具有科学性、合理性、简洁性、最优性和实用性。数学方法结构既指数学内容中所蕴含思想方法及其排列与组合的方式，也指解决某一数学问题所用的具体方法或步骤。如幂函数、指数函数和对数函数两单元的教材所蕴含的思想方法都是：从实例抽象概括出一般数学模型，再用从特殊到一般、从具体到抽象、分类讨论、数形结合的方法研究函数的性质，最后应用函数性质解决问题。

　　由上可知，数学知识结构的实质是数学知识本身所固有的内在的统一性与规律性。

　　(二）数学认知结构的涵义

　　数学认知结构就是学习者头脑里的数学知识，按照自己理解的深度、广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维和联想等认知特点组成的一个具有内部规律的整体结构。简单地说，就是包括学习态度和学习方法在内的学习者头脑中的数学知识结构。

　　数学知识结构是数学经验的积累和总结，是客观的、外在的，而数学认知结构是学习数学时，学习者头脑中逐步形成的认知模式，是主观的、内在的。数学知识结构是教材按序组织起来的，通过学习是可以掌握的；数学认知结构是通过学习这些知识内容，形成的智能活动模式，它是一个人数学素质的体现，有正误与优劣之分。学习数学的过程就是把数学知识结构转化为数学认知结构的过程，数学教学的主要任务就是不断地形成、发展和完善学生的数学认知结构。

　　数学认知结构对于学习者的行为有内在的调节作用，这主要表现在：1.一切外来知识对学习者的影响，都必须通过学习者的认知结构才能发生作用；2.由于作用的主体及其认知结构的不同，外来知识影响的结果也不同。

　　良好的数学认知结构“应该是构成这样一种含有种种力量一一简约化知识的力量，产生新的诊断的力量，使知识体形成愈益严密的体系的力量--的知识系统”（布鲁纳语）。它具有以下特征：1.简约性和单纯性。即它舍弃了使人发生混乱的杂乱的枝蔓，突出基本结构。2.迁移性和发展性。即对学习新的数学知识、掌握新的数学方法和数学思想具有积极的影响和迁移作用，是新的知识的“固着点”和“生长点”；同时原有的数学认知结构又在学习新的知识.新的方法的过程中不断地完善、丰富和发展。3.广泛性和严密性。即它比具体的数学知识、数学方法具有更高的抽象性和概括性，不局限于某个知识、某种方法、某类问题；同时学习者头脑中的数学知识和方法的内部组织和结构是严密而有序的。

　　(三）数学结构性教学原则的涵义

　　所谓数学结构性教学原则，简单地说，就是从数学知识结构和学生的数学认知结构出发设计和组织教学，以完善和发展学生原有数学认知结构为目的。具体地说，即教师要从数学知识体系高度“结构化”的特点和学生认知结构的形成、发展规律出发，站在整体、系统和结构的高度把握和处理教材，引导学生充分感受和把握数学的知识结构和方法结构，体验数学知识的发生发展全程，同时努力提髙学生原有认知结构的可利用性、稳定性与清晰性，为新知识融入已有的认知结构创造条件，以最大限度地避免因教学的盲目性而走不必要的弯路，尽可能地扩大、健全学生头脑中的数学知识的内容、观念和组织，完善和发展学生的数学认知结构，提髙教学效益。在这里，学生的数学认知结构既是学习数学的重要前提和手段，又是学习数学的重要目标和结果。

　　二、数学结构性教学原则的依据

　　（一）有意义学习理论

　　奥苏伯尔提出，有意义学习过程的实质就是符号所代表的新知识与学习者认知结构中已有的适当观念建立非人为的（nonarbitrary)和实质性的（substan?tive)联系。实质性联系是指新的符号或符号所代表的观念与学习者认知结构中已有的表象、已经有意义的符号、概念或命题的联系；非人为的联系是指新知识与认知结构中有关观念在某种合理或逻辑基础上的联系。要促进新知识的学习，首先要增强学生认知结构中与新知识有关的观念。

　　(二）培养学生良好的数学认知结构是数学教学的目标

　　布鲁纳认为：“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构。这是在运用知识方面的最低要求，它有助于解决学生在课外所遇到的问题和事件，或者在日后训练中所遇到的问题。”“经典的迁移问题的中心，与其说是单纯地掌握事实和技巧，不如说是教授和学习结构。”[3]由于良好的认知结构具有简约性和单纯性、迁移性和发展性、广泛性和严密性，因此从结构的观点出发设计和实施教学，有利于完善和发展学生良好的数学认知结构，有利于提高数学教学效益尤其是可持续发展效益。

　　三、数学结构性教学原则的实施策略

　　(一）先行组织者策略

　　所谓“先行组织者”是指先于学习任务本身呈现的一种引导性材料，它比学习任务本身有更高的抽象、概括和综合水平，并且能清晰地与认知结构中原有的观念和新的学习任务关联。设计“先行组织者”的目的是为新的学习任务提供观念上的固定点，增加新旧知识之间的可辨别性，以促进类属性的学习。事实上，数学教材一般总是包括这个先行组织者的，如一开始的综述，或章节的大纲和标题。它起了如下作用：（1)点明了将要呈现的知识、方法和观念之间的联系；（2)提醒学生已有知识和即将学习的新材料之间的关系。

　　(二）站在整体与结构的高度把握和处理教材

　　由于数学教材是髙度结构化的，因此无论是教还是学，站在数学学科结构和单元题材结构的高度，用结构的观点把握教材，用结构化的方法处理教材是非常重要的。我们应该让学生在“见树木，更见森林；见森林，才见树木”的情境中学习数学，引导学生充分感受和把握数学的知识结构和方法结构，体验数学知识的发生发展全程。

　　(三）提高学生原有认知结构的清晰性、稳定性、可辨别性在学生面对新的学习任务时，教师要引导学生寻找他原有认知结构中能够吸收、固定新观念的上位观念，并努力使这个观念具有清晰性、稳定性、可辨别性。因为这个起固定作用的上位观念的清晰性、稳定性、可辨别性越强，学生学习新观念就越容易，也越易于保存。

　　(四）要及时归纳总结，增强学生认知结构的整体性和结构性认知心理学认为，认知结构具有整体性和概括性；并且整体性和概括性越强，就越有利于学习的保持和迁移。但实践表明，不少学生掌握的数学知识是零乱的、分散的、彼此孤立的。因此教师应及时组织、引导学生对前面所学的知识、规律、数学思想方法进行归纳、整理，寻找其内在统一性和规律性，促进学生认知结构整体性、概括性和结构性水平的提高。与此同时，教师应大力培养学生自己将所学知识系统化、结构化的能力。

　　(五）从结构入手，分析问题、解决问题

　　数学结构具有丰富性和层次性。数学问题的结构决定解决问题的数学思想与数学方法，结构蕴含着方法，结构提示着方法：结构的丰富性决定方法的多样性；结构的特殊性决定方法的特殊性。因此在问题解决教学中，我们可用结构分析法来探索解决问题的途径和方法，从而为数学问题的解决、学生解决问题能力的培养开辟新的道路，提供新的武器。

　　四、数学结构性教学原则的意义

　　第一，它为数学教学提供了以建构数学认知结构为中心的整体认识观，促进学生从整体上把握数学知识、方法和观念，进而有效地克服肢解数学知识和方法的现象。

　　第二，它提醒我们，发现式学习和开放性教学应该有一个“度”，不能走极端。中外教育的历史已经证明：学生的学习不可能是不着边际的发现学习，“无结构教学”、极端的‘‘开放性教学、开放课堂、自由学习法”并没有提高教学质量，反而导致了教学质量的下降。

　　第三，它有助于学生克服只注意知识增长、把解题步骤和程序作为学习重点的倾向，增强学生学习数学的整体意识和结构意识。

　　第四，它使学生把业已掌握的知识提高到简洁的原理性结构上的可能性增大，也使学生以已有知识为基础，向未知的新事物迁移、洞察的倾向增大，因此有助于提髙数学教学的效率和效益。

　　五、数学结构性教学原则应用举例

　　例1，在学习“0°?360°间的角的三角函数”时，从概念的来源、科学性、合理性、必要性角度等结构性特征出发，教师可自然地引导学生提出：（1)为什么会想到要定义0°?360°间的角的三角函数？（2)我们该如何定义0°?360°间的角的三角函数？应该怎样去寻找解决办法？（3)初中时锐角三角函数是借助直角三角形定义的，这两者之间有无必然的联系？（4)既然锐角三角函数值的大小由这个角的大小本身确定，与这个锐角所在的三角形是不是直角三角形或者这个锐角是不是三角形的内角无关，那么我们能否用其他方法来定义锐角三角函数？（5)如果能，那么我们该如何从原有的定义中得到启发，寻找新的定义方法？（6)新的定义科学吗？合理吗？它有什么优点？（7)如何运用新的定义去解决问题？

　　例2,在学习和研究球体积公式时，从定理形成、证明的结构性特征出发，（1)我们很自然地形成这样的教与学的思路：在证明一个定理之前，先猜想这个定理；在搞清楚证明细节之前，先猜想证明的主导思想。（2)我们需要从与此相类似的圆周长、圆面积、球面面积等问题的解决中寻找启发。（3)我们可以通过细沙、水等实验来验证或探索球体积公式。（4)我们可从祖暱原理的结构出发，构造相应的几何体证明猜想。

　                                                            　李昌官

　　                                                (浙江省临海市回浦中学，临海317000)