大学数学的整体教学

　　从常见教学法的利弊入手，根据结构主义和建构主义理论提出整体教学法。提出了整体教学法的操作原则，并且建立了三种常见的教学模型。给出整体结构设计原则，建立“一元微积分”的整体结构。

　　大学数学课程作为基础性课程，对学生的数学思维品质的培养以及学生后续课程的学习起着重要作用。随着时代的发展，数学无论是作为思维方式还是作为工具，都在工程技术领域以及社会科学领域中扮演着越来越重要的角色。但是当前很多院校都在进行教学改革，使大学数学课时减少，因此，如何在有限的教学课时条件下提高大学数学课程的教学效率、教学品质，是一个重要的问题。

　　一、当前主要教学方法的利弊

　　在当前大学数学教学过程中，主要有四种教学方法：讲授法，启发教学法，探究式教学法，自学指导教学法。下面简要讨论这些方法的利弊。

　　讲授法是大学教学中最常用，也是其他教学方法的基础。其优点是在短时间内传递大量的知识，讲课效率高、成本低。但是在这种巨细无遗的教学方式下，学生参与度比较低，对知识的理解不深刻，容易遗忘，特别对于课时较少的情况;启发教学法是通过谈话、问答等形式引导学生使其思考、领悟。优点是有助于培养学生思考问题的兴趣和能力，缺点是不容易掌握;探究式教学法通常是教师提出问题或材料，由学生为主体进行讨论、分析进而解决问题得出规律。优点是容易培养学生的创新、实践以及分析能力。缺点是由于学生个体差异，以及分析问题能力的欠缺，教学任务往往不容易完成;自学指导教学法是有教师提供学习目标，限定学生在一定时间范围内进行学习的教学方法。优点是充分体现个体差异，缺点是学习效果参差不齐，对于自我约束能力较差的学生学习效果不理想。

　　针对当前大学数学课抽象难懂以及概念、结论较多的特点，大多学生都会觉得不容易掌握，即使会解相关的课后习题，也对整个课程的思想、背景和应用知之甚少，不等大学毕业，便几乎遗忘殆尽。

　　二、整体教学法的提出

　　所谓“结构”是一个有机的整体，它包含学科的基本概念、原理和方法。发生认识论认为结构主义与建构主义的紧密结合可以发展智慧，并在教学过程中主张重视学科结构。美国教育心理学家和教育家布鲁纳在文献[1]中指出：“任何学科知识都是具有结构的，反映了事物之间的联系或规律性。”“任何概念、问题或知识，都可以用一种极其简单的形式来表示，以便使任何一个学习者都可以用某种可以认识的形式来理解它。”甚至布鲁纳已经将“结构原则”作为教学原则之一。这为在教学实施过程中提出学科结构的可能性和必要性提供了良好的理论依据。

　　对此可以提出两个指导教学的根本观点：

　　首先，学科的结构提供了理解和记忆的骨架和桥梁。对学科结构的掌握便于学生理解知识，没有某种固定结构，所学习的东西便理解不透，不能把握学科的基本思想，当然遗忘也快。其次，学科结构可以弥合基础知识与高深知识之间的差距。低年级和高年级教学内容的差异，实际上只是同一知识结构中细节、层次、或复杂程度的不同。不管是研究还是学习都应该重视学科结构，这是掌握学科的重要渠道之一。

　　整体教学法正是在上述的理论背景下提出来的，所谓整体教学法就是一种以学科结构为教学中心的教学方法，这与其他常规教学方法有明显的不同，它一经提出就已经在一些学科上进行了应用，但是在大学数学课程中的应用还少有研究，下面将从大学数学课程的角度出发，讨论它的一些教学实施原则。

　　(一)整体结构原则

　　以结构为中心，以整体内容为教学的重点和出发点，对于个别细节则放到次要的位置。例如，在数学定理的教学中，优先讲定理的背景、直观意义以及应用，至于定理的证明可以滞后处理，或者开设专题处理，如果定理的证明技巧和思想不能体现整体的思想甚至可以不做处理。对一些概念要抓主要思想，在教学过程中，不必拘泥于严格的学术表达。

　　(二)在整体背景中讲个体原则

　　对个体、细节的处理要放在整体背景中，始终注意整体思想，整体目标，与整体无关的个体细节应当删除不计或者不做过多讨论。例如在《高等数学》课程中讲不定积分一章，不能就事论事，必须首先指出研究不定积分的目的是为求原函数，而求原函数的目的是为了计算定积分，这样便把不定积分一章放在了微积分整体体系中展开了。

　　(三)让个体从纵横两个方向带出整体原则

　　在教学中讲个体的目的是为了引出整体内容和结构。所谓从纵向带出整体，是指对一个个体从多角度或者增删条件的方式观察研究，从而得到整体结构的方法;而从横向带出整体，是指对多个同类个体进行类比、观察研究，从而得到整体结构的方法。例如，在研究级数收敛性时，我们的总体目标是判断尽可能多或者所有的级数的收敛性，在教学中可以先确定研究思路，先讨论正项级数的收敛性，再讨论交错级数的收敛性，最后讨论一般级数的收敛性，这样便从纵向完成了级数收敛性这个整体课题的解决。在讨论定积分的存在性时，通常《高等数学》教材都仅仅指出连续函数必可积，实际上可以系统性地指出函数有界是函数可积的必要条件，连续函数、单调函数、有限(或者可数)个第一类间断点的函数可积，这样不但将前面所讲的个体内容和现在的整体内容联系起来，也是从各种函数类这样的横向个体带出了可积性这一整体的教学目标。

　　(四)无论从个体或整体开始，最后都要回到整体的原则

　　教学的目标是从整体上掌握学科思想方法和结构，这是检验整体教学效果的标准，因此所有的教学手段或内容都应以整体为归宿。在课程教学中一开始便要提出课程的中心问题，这个问题如何解决将引导着各章节内容和结构。

　　(五)注重个体在整体中的次序和位置原则

　　局部知识的次序以及在整体中的位置会影响对个体知识甚至整体结构功能发生影响，当然也会影响学生对知识的理解和把握，搞懂知识的本质。在教学实施过程中，要设计最佳的个体知识呈现次序，使得整体结构具有经济、有效、利于接受的特点。比如，在《高等数学》中将定积分的概念前置，这样在讲不定积分时，就可以有明确的目标性，在《线性代数》中淡化行列式的地位，将其内容适度地置后，这样处理更能体现《线性代数》课程的中心内容及思想，否则学生便会一来就陷入到行列式的计算里面，而对忽略线性代数的核心思想。

　　可见整体教学法的特点是关注整体结构功能，讲究局部联系，不拘泥于细节，又不忽视细节。从教育功能上看，整体教学能够使学生掌握学科知识结构，理解局部与整体的关系，从而形成学科思维。通过对学科知识结构的建构和学习，可以学习如何建立科学的知识体系，进而形成科学的个体思维。

　　三、整体教学法的教学建模

　　教学建模是将教学原则具体化，有一定固定教学程序的模拟的理想化的教学过程。任何一种教学模式的提出都是为了体现教学方法、理念。但是对待教学模型应该有“教育有模，但无定模，贵在得模;无模之模，乃为至模”[2]的态度。对于整体教学法的实施，通常认为要遵循“整体—个体—整体”的模式，它从整体出发，然后通过个体研究、分析，最后又回到整体的过程，体现了个体与整体的哲学辩证关系，是一个能够指导实施整体教学法的良好方法。对于具体实施，则显然会由于不同的教学内容以及不同的学生，甚至不同施教者，会产生不同模式，例如，在文献[2]中就已经提到了三种模式。实际上可以将整体教学法的原则融入到常规教学法当中去，便会产生各种教学模式。下面将针对大班教学并且课时少这一情况，设计如下模式：

　　(一)讲授启发模式

　　教学过程设计如下：

　　教师行为：设计整体→分析问题→启发讲解→建立结构→总结思维模式

　　学生行为：鸟瞰整体→提出问题→讨论理解→建立结构→形成思维模式

　　(二)探究模式

　　教学过程设计如下：

　　教师行为：整体问题→发散联系→收集整合→建立结构→总结思维模式

　　学生行为：研究教材→发散联系→学会收敛→建立结构→形成思维模式

　　(三)自学指导模式

　　教学过程设计如下：

　　教师行为：选择课题→指出整体背景→组织讨论→观察讨论→组织小结→建立结构

　　学生行为：明确目标→了解课题意义→准备讨论→参与讨论→自我小结→建立结构

　　在教学过程中讲授启发模式是更为常用的模式，但不管用什么样的教学模式都要以体现教学原则，实现教学方法为最终目的。对于讲授启发模式，鉴于大学课堂的实际情况，做到学生真正的参与课堂是有一定的难度的，但也切不可演变为教师自编自导的教学活动。在文章[3]中就提到了一些关于师生互动的有益的尝试。

　　四、整体结构的设计

　　结构是在整体教学法中的核心概念，因此结构设计的优劣直接决定教学效果的好坏。布鲁纳在文献[1]中曾指出：对任何一个学习群体，总能够设计出一个合适的、科学的结构，使学习者能够顺利地完成学习任务。可见，设计一个适应性强又经济有效的结构是可能的，为了能够设计出具有良好教育功能的学科整体结构，在此提出4个结构设计的基本原则：首先，背景先行，问题导入。问题是数学的心脏，不同的问题又总会在不同的背景中提出，例如微积分的产生，就是在16世纪为解决当时的“四大问题”[4]而产生的;其次，层次分明，关联清晰。整体结构一定是由个体组成的，个体的层次、位置，以及相互关系都会影响整体的功能;再次，符号简洁，内容充分。简洁不只是为记忆方便，也是数学一直追求的审美目标，但是简洁的内容也必须体现整个课程的基本核心思想，不能缺少那个部分;最后，讲究次序，着重功能，个体知识的合理位置和次序决定的整体的功能，以及学生的理解程度。

　　大学数学课程结构，从层次来看可以分为全局结构、部分结构，从方法来看可以分为群集法结构、层次网络法结构、高层结构法以及流程图结构。通常良好的结构应当将逻辑和认知有机结合。在教学中要根据课型来选择结构的层次，根据教学的内容选择建立结构的方法。例如在《高等数学》课程一元微积分部分中，从逻辑上来看，有两种不同的逻辑结构：

　　①极限、连续→导数、微分→不定积分→定积分

　　②极限、连续→定积分→导数、微分→不定积分

　　其中①为传统教材所遵循的逻辑，②是已数学发展史为依据设计的逻辑。明显第二种方式体现了问题解决模式在教学中的应用，更能让学生在学习中体会微积分体系是如何建立的。以下是以认知的角度为主，兼具逻辑方法设计的整体结构：

　　函数、极限、级数→导数→微分→微分方程→微分学→工程经济等领域的应用。

　　函数、极限、级数→定积分、不定积分→N-L公式→微元法→积分学→工程经济等领域的应用。

　　其中N-L公式是牛顿-莱布尼兹公式，它实际上是整个结构的中心点。

　　从上面的例子可以看出次序在逻辑设计中的重要意义，而层次设计是否优良，取决于是否能体现学科的思想。当然针对某一个部分概念或具体问题，可以建立局部结构，局部结构的设计和全局结构的设计是类似，在此不再叙述和举例。

　　作者：吴明科 来源：教育教学论坛 2014年46期