大学数学共轭的教学探讨

　　文章论证了共轭的对称性，利用射影几何里的对合的概念对共轭的概念进行几何图形的直观解释，证明了共轭关系是对合关系，对合关系是对称关系及共轭的应用。

　　引言

　　共轭直径是解析几何中比较抽象的概念之一，学生很难理解直径的共轭关系，在教学中，进行直观解释也仅限于将表达式的对应变量对调，表达式不变，这只是一种代数直观解释，现从射影几何角度来进一步进行几何图形数学的直观解释。

　　1 预备知识

　　1.1 一维基本形的射影变换

　　平面上一维基本形分两种，即点列和线束。两个同类的一维基本形是重叠的是指点列是共底的或线束是共中心的。

　　重叠并且为射影变换的两个一维基本形，有两个自对应元素，或一个自对应元素或没有自对应元素。

　　若一维基本形的射影变换有两个自对应元素的则称为双曲型射影对变换，有一个自对应元素的则称为抛物型射影对变换，没有自对应元素的则称为椭圆型射影对变换。

　　1.2 对合

　　在两个一维基本形是重叠且为射影变换里有一种特殊情况，如果对于重叠图形的任何一个元素，无论把它看作是属于第一基本形或第二基本形，它的对应元素总是一样的。即

　　有两个自对应元素的对合称为双曲型对合，没有实自对应元素的对合称为椭圆型对合。

　　命题1[2]：双曲型对合中的任何一对对应元素与其两个二个自对应元素成调合共轭。

　　1.3 共轭方向、共轭直径

　　称为互为共轭方向，即

　　定义3[3]：中心曲线的一对具有相互共轭方向的直径叫做共轭直径。

　　则(1)式化成

　　这就是一对共轭直径的斜率满足的关系式。

　　1.4 分隔

　　在取中心线束中的任意三条直线，则每条直线都不能隔开其余两条，故在射影平面上中间这个概念就失去了本来的意义，所以我们取中心线束中的任意四条直线来定义分隔，它有两种情况：第一情况是直线偶分隔了直线偶;第二情况是线偶没有分隔直线偶。

　　分隔具有射影不变性。若线束是分隔的，用不通过中心的任意直线去截中心线束，则得到的点列也是分隔的，显然，线束的交比和点列的交比相等且为负值。

　　1.5 点列交比、线束交比

　　共线的四点A、B、C、D，它们的交比值等于两个单比的比值，即(AB，CD) = 上(ABC)下(ABD)。

　　对偶地线束中任意四条直线的交比值等于两个三直线的单比的比值，即(ab，cb) =上(abc)下(abd) 。

　　命题2[2]：如果线束的四条直线被任何一条直线截于点四点A、B、C、D，则(ab，cd) = (AB，CD)。

　　1.6 两条平行直线相交于无穷远点

　　2 结论

　　共轭关系是对合关系，对合关系是对称关系。

　　2.1 代数解释

　　命题3[2]：两个重叠一维基本形成为对合的充要条件是对应点参数与满足以下方程：

　　一对共轭直径的斜率满足的关系式。

　　即直径的共轭关系是对称关系。

　　2.2几何解释

　　2.2.1 双曲型对合的对称图形

　　①重叠一维点列对合的几何图形是对称图形

　　在直线上取定点P，对于直线上任意一点Mi，设Mi的关于P的对称点Mi为Mi的对应点，则点列(Mi)与点列(Mi)是对合(点P与无穷远点为两个自对应点)。

　　②重叠一维线束对合的几何图形是对称图形

　　显然有两个自共轭方向。

　　命题6：证明：重叠一维线束的对合的几何图形是对称图形。

　　2.2.2 椭圆型对合的对称图形

　　椭圆型对合有两条共轭虚的自对应直线。在无穷远直线上取圆点和，另取固定点，连结、，则、为自对应直线，则过定点A的相交的对应直线为对合变换。

　　3 应用

　　3.1 调和共轭

　　点列上四个点或线束中四直线，若它们的交比值等于-1，即(AB，CD) = -1，或(ab，cd) =-1 ，则称为调和共轭。

　　例1 设任意四边形，其两组对边延长后分别相交，且交点的连线与四边形的一条对角线平行，求证：另一条对角线的延长线平分对边交点的连线(1978年全国竞赛题)。

　　证：根据题意作图2。

　　3.2 对合

　　命题7：双曲型射影变换的两条自对应直线和任意一对对应直线的交比是一个常数。

　　对偶地，上述命题对于点列也同样成立。

　　例2.试求坐标为2和3的两个自对应点所确定的对合的方程。

　　教改项目：数学专业几何课程体系建设与教学内容优化

　　作者：周脉东 来源：科教导刊 2015年22期