小学数学错题分析及应用研究

　　摘要：文章对小学一至六年级中的68个策略性知识典型错题的错因进行分析，其因有受身心发展制约，未发现新旧情境中的细微差异导致错误；由于认知结构的缺陷，导致解题策略的错误推广；学生对解读问题中的一些特殊要求存在困难，导致解题策略错误；概念图式不够丰富，导致解决应用策略的错误。通过实践提出三个干预策略：提前干预策略；过程性干预策略；错误发生后的干预策略。

　　关键词：小学数学；策略性知识；典型错题；错因分析；干预策略

　　如何合理、系统地利用“错误资源”，达到轻负高质的效果？这需要进一步深入研究。笔者收集了小学数学一至六年共298个典型错题。按错题的知识属性分为陈述性知识、程序性知识和策略性知识三类。其中属于策略性知识典型错题有68个。本文对68个错题的错因进行专项分析，在实践的基础上提出了三个有效的干预策略。

　　一、策略性知识典型错题的原因分析

　　“典型错题”，指学生解数学题时，在口答、书面等练习中呈现出的错误率较高（全班的错误率≥15%）的数学题，如果错题的知识属性是属于策略性知识，笔者把这样的错题定义为策略性典型错题。

　　（一）受身心发展制约，未发现新旧情境中的结构性中细微差异导致错误

　　[案例一]我的前面有9人，后面有5人，一共有多少人？学生的错误解答为9+15=14，错误率为57.7%。

　　师：你认为这样做对吗？

　　生：对的呀。

　　师：前面9人包括他吗？后面呢？

　　生：不包括。

　　师：那说明9+5=14人是错的。错在哪里呢？

　　生：没有加进自己。

　　从访谈中看，对于9+5=14这种解题策略，学生还是坚持自己是正确的。说明学生掌握了求已知部分数+部分数=总数这个陈述性知识，错误原因在于题中有3个部分数，而“我”这个部分数比其他两个部分数更具有“隐性”因素，学生未能发现“新”的变化。

　　（二）由于认知结构的缺陷，导致解题策略的错误推广

　　[案例二]A盒中有25个玻璃球，B盒中的玻璃球个数比A多15个，B盒中的玻璃球个数比C盒多18个，B盒中有多少个？C合中有多少个？学生的错解出现在求C盒：40+18=58（个），错误率为34.3%。

　　生：B盒中的玻璃球个数比A多。（指着）“多”

　　师：你是看到了“多”，就想到了加法，老师是这样教你们的吗？

　　生：（笑笑）不是，老师说什么大数，小数的。

　　师：那你为什么不用老师那个方法呢？

　　生：太麻烦了，这个容易。别人说过，后来我也想到了。

　　分析一个量比另一个量多（少），需要分析出大数、小数、相差数，然后找到相应的数量关系，即大数=小数+相差数，小数=大数一相差数，相差数=大数一小数。

　　（三）学生对认识题中的一些特殊要求存在困难，导致解题策略的错误

　　[案例三]从一张长36厘米，宽20厘米的长方形纸上剪下一个最大的正方形，求剩下部分图形的周长是多少？学生错解为（36+20）×2=112cm，

　　20×4=80cm.112-80=32cm，错误率为34%。

　　生：我先算长方形周长，再算正方形周长，最后把两个相减。

　　师：你是怎么想到可减的？

　　生：剩下的是周长啊。

　　“求剩下的量，用减法。”这是学生已多次应用且正确的观念。由于周长计算的具有其特殊性，即“有限图形周长的不可加（减）性。”对于这个知识的认识完全颠覆了学生对求“剩下量”的认识。

　　（四）由于概念图式不够丰富，缺乏联系，导致解决应用策略的错误

　　[案例四]如图1，根据图形，画出距离是8厘米的高。错误率达84%。

　　生：题目里只说画8厘米的高，没有说要画在哪条底上，我就按自己的习惯画了这条。

　　师：画好后，你想过这条高可能是8厘米吗？

　　生：（低头想，好一会儿），不对，应该是斜边长一点。

　　师：你当时怎么没想到呢？

　　生：这个（指了指左边的三角形），我画出来后就再也没想。从学生的访谈中看，解决此题的3个知识点，即直角三角形的斜边大于任何一条直角边、画高的技能、平行四边形有两类高等，学生对此都明白的，技能也是掌握的。

　　二、策略性知识典型错题在教学中的应用策略

　　（一）铺垫性策略

　　铺垫性策略，即有些错误是学生在新知识学习前，由于原有的知识结构“缺陷”、技能缺失等因素引起思考的错误，就要采用提前铺垫，为学生奠定“正确想”的知识技能基础。

　　1.加强陈述性知识和程序性知识的教学，夯实“正确想”的知识基础

　　在策略性知识的了解阶段，陈述性知识显得尤为重要。在转化阶段，程序性知识又起到了重要的作用。要注重在操作程序中“夯实”陈述性知识概念。

　　如案例二，是因为学生原有认知里，知识结构出现了错误，即看到“多”就用“加”，看到“少”就用“减”。所以我们应该在新知教学前做好铺垫。

　　首先建立正确的概念。题中的“多、少”与“加、减”运算没有直接的逻辑推理关系。其次建立正确其程序。第一步，知道（）与（

　　）比；第二步，比的结果（

　　）多、（

　　）少；第三步，求（）；第四步，确定解决方法。

　　2.加强“数学表示”直观能力培养，奠定“怎么想”的技术基础

　　小学生正处于由形象具体思维向抽象逻辑思维的过渡阶段，在问题解决中思维需要直觀的“数学表示”来支撑思考。这种能力要从低年级开始培养。具体有三个方面：首先培养图示与文字的转化能力；其次，培养“符号”表示的能力；最后重视图示与条件间匹配的能力。

　　（二）“过程性”干预策略

　　过程性干预策略，即在新知识学习的发生、发展的过程中，正对新知识的特点，找到学生的思维可能出现障碍、阻隔的地方，引入相应的干预策略，突破难点，使学生头脑中构建起“怎么想”的正确思路和方法。

　　1.用题组对比显示新旧知识概念差异，减少出错率

　　新旧知识在概念表述、题型结构、思考方法等具有某种相似性，这种相似性掩盖了其差异，而概念差异可能是学生思维出现阻隔、障碍的“节点”。在教学中破解新旧知识的差异是干预的重点，其最常用策略是题组对比。

　　如案例三，学生受到原有知识经验的负迁移，可以提供如下题组。

　　①甲比乙多5元，

　　②甲比乙多4/5元，

　　③甲比乙多4/5

　　通过对比，凸显题①和题②都表示具体量。通过题②和题③的对比，重点突出③中4/5是“率”。

　　2.在解决多个概念融合的综合题时需清晰概念，建立解决程序一些策略性典型性错题干预后仍有较高的错误率，如案例五。它在没有干预教学之前的错误率为53.4%，在实行干预策略后，大样本数据测查的错误还有33.3%，这就需要帮助学生清晰概念，建立关键程序。

　　一个数省略万后面的尾数是8万，这个数最大是（

　　），最小是（）。

　　要解决这个题目要抓住3个关键。

　　（1）近似数是一个区间。用数轴的直观形式理解“区间”。

　　（2）要清晰“最大”和“最小”两个含义。

　　（3）要明确清晰可具体操作的程序。要配直观图示（如图2）。首先，要判清楚“舍”与“进”的数位；其次，根据四舍五人中最大与最小的要排列出数字；最后，按照题目要求找到最大和最小的数。

　　（三）错误产生后的纠错策略

　　1.发现错因策略

　　策略性典型性错题的错因与陈述性、程序性知识属性错题的错因相比，相对而言更为复杂，更为隐性。错误要关注两点：第一，“他（我）原来是怎么想的？”第二，“他（我）错在哪儿？”

　　（1）通过“说”“写”等方式，认识“他（我）原来是怎么想的”

　　当错误出现后应寻找它的源头，即思考的过程。思考过程具有隐性化。把它显性化的策略说和写。让学生通过“声音”表达自己的想，高年级的学生也可通过“写”（思考思路、思考依据）的方式表达自己是怎么想的。

　　（2）通过正确与错误的方法对比，认识“他（我）错在哪儿”

　　错误思维方式往往带有一定的隐蔽性和顽固性。仅靠教师的正面示范，让学生认识到错，改变原来的思维方法，效率会比较低。2.矫正错误策略矫正错误更重要的是矫正错误的思考方式和思考方法。它仅仅靠订正一个错误的题目难以实现，需要在多种变式练习中完成。提供非概念变式练习题，凸显出变中不变，及时巩固正确的想法；还可以提供概念变式练习题，在这些变式题中的练习中，凸显出变与不变的应对方式，以达到融会贯通。

　　（1）提供非概念变式题，及时巩固

　　提供相同类型的习题，让学生在解决这些习题中不断强化正确的思考方式，以此弱化原有的思考方法。在这个过程中，不是以正确的解答为主要目的，而是改变思考方法为主，具体的方式，让学生通过写、画、说等多种不同的方式来表达正确的思考方法。要增加与原题目的对比，凸显出不变的方法。

　　（2）提供概念变式题，融会贯通

　　提供变式习题，这既能巩固原有正确的思考方法，又能达到举一反三、触类旁通的作用。在这个过程中也要与原题的对比，凸显出变化的地方及改变相应的思考方法。