离散数学的代数系统理论在密码学中的应用

　　【摘要】本文分析了离散数学中的代数系统理论与密码学课程之间的关系，阐述了离散数学在密码学领域的实际应用。

　　【关键词】离散数学；密码学；教学

　　【中图分类号】G64【文献标识码】B【文章编号】2095-3089（2015）7-0250-02

　　一、引言

　　离散数学是计算机专业的基础课，为计算机专业的后续课程提供专业的数学理论基础。该课程可以全方位培养学生的抽象思维能力和解决实际问题的能力，为学生学习其它专业课程建立数学的思想。

　　该课程包括数理逻辑、集合论、代数系统、图论四个大部分。每个部分与数据结构，数据库，人工智能，数字逻辑，编译原理等课程都密切相关。

　　本文我们将阐述离散数学中的代数系统理论部分与密码学的相关性，并且分析该理论在密码学领域的若干应用。

　　二、代数系统理论与密码学的相关性及在密码学的应用

　　离散数学中的代数系统理论包括代数系统的一些基本概念、半群与独异点、群、环与域、格与布尔代数。代数系统与密码学联系非常紧密，为密码学提供非常重要的数学基础。现将代数系统理论在密码学中的若干应用列举如下：

　　密码学中，凯撒密码是一种最简单且最广为人知的加密技术，是一种简单的基于替换原理的加密技术。凯撒密码将明文中的所有字母都在字母表上向后（或向前）按照一个固定数目进行偏移后被替换成密文，其中固定数目的偏移量为加解密密钥。例如当偏移量为3，字母A将被替换成D，B变成E，其它的字母按此规则类推。在代数系统理论中群是一种典型的代数系统，具有封闭性、可结合性、含单位元以及每个元素都有逆元等性质。从本质上来说凯撒密码就是一个特殊的群，是建立在26个字母之上，字母与密钥进行运算的剩余模群。通过对于群理论的学习可以帮助学生更好的理解凯撒密码的本质。

　　在密码学中有一个重要的公钥加密算法的RSA，该算法是目前最安全的公钥加密算法，可以抵抗目前已知的绝大多数密码攻击。数论中的费马小定理为RSA提供数学上的安全性保证。通过对于费马小定理的原理和正确性的理解可以更好的理解RSA算法的安全性，在实际中更好地使用RSA算法。

　　在密码学中的椭圆曲线密码是基于椭圆曲线的一种公钥密码算法，该密码安全性基于椭圆曲线离散对数的困难性上，是一个有限域上椭圆曲线的阿贝尔群。对于在代数系统理论中群和域的概念以及性质进行认真学习和理解可以用于椭圆曲线密码的学习。

　　三、离散数学在计算机其他学科中的应用

　　离散数学在计算机研究中的作用越来越大，计算机科学中普遍采用离散数学中的一些基本概念、基本思想、基本方法，使得计算机科学越趋完善与成熟。离散数学在计算机科学和技术中有着广泛应用，除了在上述提到的领域中发挥了重要作用外，在其他领域也有着重要的应用，如离散数学中的数理逻辑部分在计算机硬件设计中的应用尤为突出，数字逻辑作为计算机科学的一个重要理论，在很大程度上起源于离散数学的数理逻辑中的命题与逻辑演算。利用命题中各关联词的运算规律把由高低电平表示的各信号之间的运算与二进制数之间的运算联系起来，使得我们可以用数学的方法来解决电路设计问题，使得整个设计过程变得更加直观，更加系统化。集合论在计算机科学中也有广泛的应用，它为数据结构和算法分析奠定了数学基础，也为许多问题从算法角度如何加以解决提供了进行抽象和描述的一些重要方法，在软件工程和数据库中也会用到。代数结构是关于运算或计算规则的学问，在计算机科学中，代数方法被广泛应用于许多分支学科，如可计算性与计算复杂性、形式语言与自动机、密码学、网络与通信理论、程序理论和形式语义学等，格与布尔代数理论成为电子计算机硬件设计和通讯系统设计中的重要工具，图论对开关理论与逻辑设计、计算机制图、操作系统、程序设计语言的编译系统以及信息的组织与检索起重要作用，其平面图、树的研究对集成电路的布线、网络线路的铺设、网絡信息流量的分析等的实用价值显而易见。

　　四、结束语

　　通过上面的分析，我们可以发现离散数学中的代数系统理论在密码学领域的作用非常重要，离散数学不仅是计算机技术迅猛发展的支撑学科，更是提高学生逻辑思维能力、创造性思维能力以及形式化表述能力的动力源，离散数学课程所传授的思想和方法，广泛地体现在计算机科学技术及相关专业的诸领域，从科学计算到信息处理，从理论计算机科学到计算机应用技术，从计算机软件到计算机硬件，从人工智能到分布式系统，无不与离散数学密切相关。在现代计算机科学中，如果不了解离散数学的基本内容，则在计算机科学中就寸步难行了。

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　　作者简介：刘文（1982.8-），女，湖南湘潭人，博士，汉族，中国传媒大学，副教授，主要研究领域信息安全。