例谈数学思想方法在教学中应用的价值

　在教学中，教师有意识地向学生渗透基本数学思想方法是提高学生数学能力和思维能力的重要手段，是数学教学中实现从传授知识到培养学生分析问题、解决问题能力转变的重要途径。而数学思想方法不计其数，每一种数学思想方法都闪烁着智慧的火花。在小学数学知识中，隐含着许多思想方法，需要教师用心地挖掘、有机地渗透。现就在教学中如何渗透数学思想方法谈一些笔者的体会。
　　一、渗透假设的思想，培养推理判断能力
　　“假设的思想”，是要求人们对事物发展的趋势进行一种假设，通过这种假设，使思维有继续向前发展的依托和基础，从而开辟出从未知通向已知的道路。假设的思想，在数学研究中应用极广，尤其对那些逆向型的问题，更是“雪中送炭”。
　　在教学“分数的再认识”中，教师呈现了这样一道例题：在学校举行的捐款献爱心活动中，小明捐了自己零花钱总数的，小芳捐了自己零花钱总数的。小芳捐的钱比小明捐的多吗？请说明理由。
　　生：不一定。
　　师：你能想个办法让大家一听就明白吗？
　　生：有时小明捐的多，有时小芳捐的多，比如，小明有20元他捐的就是4元；如果小芳有10元她捐的也是4元，两人一样多。
　　生：假如小芳小明都有10元，那就是小芳捐的多。
　　生：假设小芳有10元，她就捐了4元；假设小明有100元，他就捐了10元，这样就是小明捐的钱多。
　　师：听出来了吗？他刚才在解释的时候用了一个很好的方法——
　　生：假设。
　　师：真不简单，我们用掌声来表扬他！我们在解决数学问题的时候，经常会用到假设的方法，这样可使复杂的问题简单化。
　　再如这样一道题：鸡兔同笼，有22个头、60条腿，鸡兔各有多少只？假设22只全部是鸡，则有腿22×2=44（条），比60条少了16条。每只兔子被假设成鸡时，少了2条腿。那么，兔子一共是l6÷2=8（只），这样就可以求出鸡有22-8=14（只）。
　　在解题过程中，灵活地运用假设法，往往可以使问题化难为易。碰到难以表达清楚的事或抽象的、数目较大的问题，通过例子可以使学生容易理解，再按照题里的已知条件进行推算，把假定加以纠正调整，从而得到正确答案。的确，在数学学习和生活中，假设是一种非常重要的思想方法。它能让复杂的问题简单化，使问题易于解决。经过不断的渗透，让学生在潜移默化中逐步领悟用假设法对数学问题进行推理与判断，有时容易解决问题，从而使学生推理判断能力提升于“润物细无声”中。
　　二、渗透对应的思想，培养比较分析能力
　　所谓“对应”是指一个系统中某一项在性质、作用、位置或数量上跟另一系统中某一项相当。对应是人们对两个集合元素之间的联系的一种思想方法。渗透对应的思想，有助于扩大学生的知识面，有助于加深他们对某些内容的理解，有助于初步培养学生对事物进行辨析和归类的能力，有助于培养学生清晰的、有条理的思考方法，也有利于进一步学习数学和现代科学技术。教学中，帮助学生逐步形成对应思想，掌握对应方法，对于提高学生比较问题、分析问题，进而解决问题的能力是大有裨益的。小学数学常用一一对应的直观图表。
　　（一）在计算教学中渗透对应思想
　　栏式题目右边的方框里的数是这栏式题的得数，把每道题和它的得数用线段连起来。通过这种练习可以复习已学的加、减法。
　　（二）在应用题教学中渗透对应思想
　　解答分数应用题，抓准分率与实际的量的对应关系是解答的关键。分数应用题的数量关系比较抽象，必须充分利用线段图作为解题工具。通过分析线段图，明确谁是单位“1”、谁是对应分率，它可以帮助学生在复杂的条件和问题中，理清思路，找到解题线索，有利于发展学生的逻辑思维能力。
　　例如：小青看一本书，第一天看的页数比总页数的多16页，第二天看的页数比总页数的少2页，还余下88页，这本书共有多少页？
　　三、渗透函数的思想，培养推理判断能力
　　函数思想是与现实世界联系最密切的内容之一，其可贵之处在于它是用运动、变化的观点，去反映客观事物数量间的相互联系和内在规律，如温度的变化、速度的变化、物价的变化、股市的变化、月相的变化、身高体重的变化等。函数思想体现在：（1）认识到这个世界是普遍联系的，各个量之间总是相互依存的，即“普遍联系”的思想。（2）于“变化”中寻求“规律”（关系式），即“模式化”思想。（3）于“规律”中追求“有序”“结构化”“对称”等思想。（4）感悟“变化”有快有慢，有时变化的速度是固定的，有时是变化的。（5）根据“规律”判断发展趋势，预测未来，并把握未来。由此可见教师在教学中渗透函数思想，必将为学生推理判断能力的提高打下坚实基础。
　　例如：教学“用字母表示数”，教师借助课件演示摆三角形，学生探究得出：三角形的个数可以用字母来表示，所需小棒根数可用含有字母的式子来表示。如用a表示三角形的个数，就用a×3表示所需要的小棒根数。通过师生交流，函数思想就自然地渗透于教学之中。
　　这个过程让学生体会到字母可以表示任意的数，也可以表示一些关系式。在学生自主探究的过程中渗透了函数思想，揭示了“用字母表示数”的内涵，使学生收获的不仅仅是知识技能，更重要的是数学思想方法。
　　四、渗透化归的思想，培养分析概括能力
　　化归，就是通过问题的转化来解决问题的一种方法，它是最具有数学思维特色的一种方法。人们学习新知识之前往往会利用已有的知识去认识，从而形成新的经验，变成自己的知识，而这一过程其实就是一个“化归”的过程。化归的方向是由未知到已知，由难到易，由繁到简，由暗到明。平时教学中不断向学生渗透化归的思想，学生就能在学习数学新知识时对旧知识进行分析概括，转化为已知的旧知识。这样可以激发学生的探索欲望和求知欲望，从而提高学生分析概括能力。
　　“植树问题”两种教学思路的 比较。
　教法一：
　　课一开始，将一只手岔开的5个指头看作5棵树，每两棵树之间就有一个间隔，以此引出间隔数、棵数，从而得出间隔数与棵数的关系，然后用这个关系解决例题中的问题。
　　教法二：
　　在一条l00米长的路的一侧种树，如果两端都种，每2米种一棵，能种几棵？面对这一挑战性的问题，学生纷纷猜测，有的说种50棵，有的说种51棵。到底种几棵？能否从种“2棵”和“3棵”出发，先来找一找其中的规律呢？随着问题的抛出，学生陷入了沉思。如果把一只手岔开的5个指头看作5棵树，每两棵树之间就有一个间隔（板书），一共有几个间隔？学生回答是“4个”。如果种6棵、7棵……棵数与间隔的个数有怎样的关系呢？于是可启发学生通过动手摆一摆、画一画、议一议的方法，发现在一段路上两端都种树时棵数和间隔数之间的数量关系：棵数=间隔数+1。于是就顺利地解决了上述问题。教师又将问题改为“只种一端或两端不种时可分别种几棵”，学生运用同样的方法兴趣盎然地找到了答案。
　　以上两种教学思路反映了截然不同的教学层次。教法一着眼的是找出问题的答案，讲授与传递知识。教法二却在问题解决的过程中给学生传递这样一种策略：当遇到复杂问题时，不妨退到简单问题上，然后从简单问题的研究中找到规律，以最终解决复杂问题。这样的教学，渗透了化繁为简、归纳递推的方法和数学的建模思想，使学生感受到思想方法在问题解决中的重要作用。
　　五、渗透猜想验证的思想，培养观察探究能力
　　数学猜想能缩短解决问题的时间，能获得数学发现的机会，能锻炼数学思维。猜想验证不但有利于学生迅速发现事物的规律，获得探索知识的线索和方法，而且能增强学生学好数学的信心，激发学习数学的主动性和参与性，从而更好地发展创造性思维，提高学生观察探究的能力。在探究性学习活动中，“猜想—验证”是一种重要的发现问题和解决问题的思维方法。
　　在教学“三角形内角和”时，笔者设计了如下教学流程：
　　猜想——联系前面三角形的分类。大胆猜想：三角形的3个内角的和可能是多少度？
　　验证——用你喜欢的三角形进行实验。看看你们的猜想是否正确？
　　学生汇报的实验方法可谓出乎意料、精彩纷呈。
　　方法1：量、算法。先量出三个内角的度数，再相加。发现有时候小于180度，有时候等于180度，有时候大于l80度。
　　方法2：剪、拼法。把三角形另外两个内角剪下来，和第一个内角拼在一起，发现基本上拼成了一个平角，是180度。
　　方法3：用特殊三角形直接计算法。等边三角形的内角和等于60度乘3，即180度，还有直角三角板的内角和计算出来也是180度。
　　验证——再任意画一个三角形，验证内角和是否等于l80度。
　　应用——已知三角形的两个内角，求另一个内角等。
　　猜想—实验—发现—验证—应用，并将其贯穿于教学的始终。在整个教学过程中，教师根据教学环节及时归纳，并板书“猜想”“实验”“发现”“验证”“应用”等体现数学思想方法的术语，把隐含在知识中的数学思想方法外显出来，使学生可以及时地从中感悟和领会数学思想方法。
　　以上五种数学思想，仅仅是数学思想这一浩瀚海洋中的一滴水珠，它还是形成良好思维品质的基础，此外，还有符号思想、代数思想、极限思想、集合思想、建模思想、数形结合思想等等。教师在教学中可随时有目的、有选择、适时地渗透数学思想，以达到提高学生数学能力和思维品质的目的。
　　（浙江省龙游县下库小学 324400）