函数与导数典型题型的总结分析

　导数（导函数的简称）是一个特殊函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想.新课程增加了导数的内容，随着课改的不断深入，导数知识考查的要求逐渐加强，而且导数已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的不可缺少的工具.其内容主要涉及到导数的概念、导数的几何意义、导数的运算等.其价值在于导数的应用非常广泛，尤其对研究一些非初等函数的单调性、极值、最值、零点、含参数恒成立、实际问题中的最优化等问题，导数为我们提供了一般性的简捷方法，所以以函数为载体，以导数为工具，在函数与导数交汇处命题，是高考导数与函数交汇试题的显著特点和命题趋向.导数进入中学教材之后，给函数问题注入了生机和活力，开辟了许多解题新途径，拓展了高考中函数问题的命题空间，因此把导数与函数综合在一起来考查学生的素质和潜能应该说是情理之中的事情.笔者对导数在研究函数问题中的热点作用归纳如下：
　　题型1 利用导数研究函数的单调区间
　　点评：对于函数y=f（x），如果在某区间上f′（x）>0，那么f（x）在该区间上是增函数，如果f′（x）<0，那么f（x）在该区间上是减函数.求函数y=f（x）单调区间的步骤：①确定函数定义域；②求导函数f′（x）；③分别求f′（x）>0、f′（x）<0对应的x的范围；④确定y=f（x）的单调区间.时刻要记着一点，求函数单调区间必然在求出函数定义域的前提下解决.
　　题型2 利用导数研究函数的极值、最值
　　点评：1.设函数f（x）在点x0及其附近可导，且f′（x0）=0.如果f′（x）的符号在点x0的左右由正变负，则f（x0）为函数f（x）的极大值；如果f′（x）的符号在点x0的左右由负变正，则f（x0）为函数f（x）的极小值；特别地，如果f′（x）的符号在点x0的左右不变号，则f（x0）不为函数f（x）的极值.求可导函数极值的基本步骤：①确定函数定义域；②求导函数f′（x）；③求出f′（x）=0全部实根；④检查f′（x）在方程f′（x）=0的根的左、右两侧的符号，完成表格，写出极值.特别注意，极值点是函数f（x）的定义域中的内点，因而端点绝不是函数的极值点.
　　2.求函数f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：①求函数f（x）在（a，b）的极值；②将函数f（x）的各极值与端点处的函数值f（a）、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
　　题型3 利用导数研究函数的零点
　　结合f（x）的单调性可知：
　　当f（x）的极大值-ln2-9+a=0时，f（x）有1个零点；
　　当f（x）的极大值-ln2-9+a>0时，f（x）有2个零点；
　　当f（x）的极大值-ln2-9+a<0时，f（x）有0个零点.
　　即：当aln2+9时，f（x）=lnx-2x-8+a有2个零点.
　　点评：函数y=f（x）的零点是指函数f（x）的图象与x轴交点的横坐标，也是方程f（x）=0的实根.借助导数，通过对函数单调区间、极值的研究，画出函数y=f（x）的草图，再通过数形结合，便可解决有关函数零点（或方程的根）的问题.
　　题型4 导数在实际问题中的应用
　　例4 某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用.如图所示，ABCD（AB>AD）为长方形薄板，沿AC折叠后，AB′交DC于点P.当△ADP的面积最大时最节能，凹多边形ACB′PD的面积最大时制冷效果最好.
　　（1）设AB=x米，用y表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；
　　（2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？
　　（3）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？
　　故当薄板长为2米，宽为2-2米时，节能效果最好.
　　（3）记凹多边形ACB′PD的面积为S2，
　　关于x的函数S2在（1，32）上递增，在（32，2）上递减.所以当x=32时，S2取得最大值.
　　故当薄板长为32米，宽为2-32米时，制冷效果最好.
　　点评：生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为最优化问题.在解决最优化问题时一般先设自变量，因变量，建立函数关系式，并确定函数的定义域，利用求函数最值的方法求解，结果应与实际情况相结合.注意：用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.
　　题型5 已知函数性质研究含有参数的问题 1.已知函数单调性求参数的范围
　　（2）已知f（x）=x3-3x2在区间（2a-4，3a）上单调递增，则a的取值范围 .
　　解析：令f′（x）=3x2-6x>0，得x>2或x<0，
　　则y=f（x）的增区间为（-∞，0）和（2，+∞），
　　所以由题可知（2a-4，3a）（-∞，0）或者（2a-4，3a）（2，+∞），
　　所以2a-4<3a≤0或2≤2a-4<3a，即-4　　点评：以上两个问题都是函数在已知单调性的条件下求参数范围问题，可是方法却不一样，一类是转化为恒成立问题解决，关于不等式恒成立问题，可以转化为求函数的最值来研究，如a≥f（x）（x∈D），得a≥f（x）max；如a≤f（x）（x∈D），得a≤f（x）min.另一类是转化为区间之间的关系来解决，前提是函数的单调区间是可以求，还要注意端点处等号问题.
　　2.已知函数的极值或最值求参数的值
　　点评：可导函数f（x）在点x0处有极值，必有f′（x0）=0，而f′（x0）=0只是可导函数f（x）在x0处取得极值的必要条件，而不是充分条件，所以根据f′（x0）=0求出参数值，需要进行验证.
　　函数在开区间上存在最值，必然是相应的极值点在该区间内，但是要注意与极值点处取得相同函数值的点是否在该区间内.
　　3.求含有参数的单调区间
　　点评：分类讨论是数学上一类重要思想，对含有参数的函数求单调区间时，求导后仍有参数，可转化为解含有参数的不等式问题，解含有参数的不等式常通过分类讨论来完成.
　　点评：函数f（x）在点x0处的导数f′（x0）的几何意义是在曲线y=f（x）上点x=x0处的切线的斜率，相应的切线方程为y-y0=f′（x0）（x-x0）.审题的关键字是“在点”和“过点”，这两个是不一样的，这类问题只要抓住两个关键即可：切点和斜率.
　　通过上述热点题型的分析，我们发现导数这部分自 身的知识难度并不大，但是其应用能力及与其它知识的综合能力要求较高，正是由于导数的引入，对函数的考查已不再拘泥于低次多项式函数、简单的指数函数、对数函数等形态.研究函数的目标也不再局限于定义域，值域，单调性，奇偶性，对称轴，周期性等内容，而是把高次多项式函数，分式函数，指数型函数，对数型函数以及基本初等函数的和差积商更多地作为考查对象，试题的命制往往融函数、导数、不等式、方程、甚至数列、解析几何等知识于一体，通过演绎、证明、运算、推理等理性思维，来解决单调性、极值、最值、切线、方程的根的分布、不等式的解证、参数的范围等问题.试题往往难度大，综合性强，内容、背景、方法上颇为新颖，倍受命题者青睐.
　　笔者认为，涉及到函数与导数的问题，要养成做题就画图的习惯，复杂问题一画图眉目就清，灵感顿生，即“复杂问题，一画就灵”；要求学会总结，善于总结，熟练掌握基本套路，尤其是“通性通法”：
　　1.切线问题抓住“切点”不放.
　　2.方程根（零点）个数问题离开“图象”不说话.
　　3.导数问题，函数“单调性”是主旋律，就抓住了这个根本，所有问题随之就迎刃而解.
　　4.不等式有关的范围以及证明不等式问题，构造函数（分离构造、取差构造）是首选，抓住最值是关键.即理清思路，顺藤摸瓜，直达本质.
　　（作者：陈小燕，江苏省江阴长泾中学）