关于重视概念学习夯实数学基础

论文摘要：概念是思维的基本单位。数学概念是构建数学理论大厦的基石，是推导数学定理和公式的逻辑基础，是提高解题能力的前提。因此，数学概念教学是数学教学的重要内容，但数学概念的抽象性使得教学相对棘手。高中数学概念教学应该呈现概念的本质和外延，要让学生在概念生成中感受到数学的理性精神，体会到其所蕴合的丰富数学思想，切实提高学生的数学素养，凸显数学教学的育人功能。
　　论文关键词：高中数学；新课标；概念引入；反思
　　
　　概念作为构建数学理论大厦的基石，尤其是中学数学中的基本概念，是对数学对象“资质认定”的标准，是推理的起点。如果脱离了数学概念，便无法进行数学思维，也无法构成数学思想和数学方法。在高考中，考题力图真正的突出数学的最基本的问题，用数学中最本质的内容考察学生基本的数学素质。数学概念的理解和运用即为数学最为本质的内容之一，在平时的教学中应给予足够的重视。在学习中要重视概念的形成、概念的理解和概念的应用，重视概念的各种形式之间的转换。学好概念，夯实基础，只有这样，我们才能始终立于不败之地。
　　在教学实际中，有不少学生学习很努力，但是成绩不理想。其直接原因往往是对概念的理解不够透彻，以及对概念的应用和转化不灵活。那么，作为教师就不能只强调解题方法与技巧，而忽视基本概念。相反的，要加强概念教学，狠抓“双基”。笔者结合自己的教学实践，对概念教学的实施提出如下几点粗浅的认识。
　　
　　一、创设教学情境，引入概念
　　
　　数学教材多是直接给定概念。如果教师直接“告诉”学生概念内容，就会让学生处于被动，在知识接受上有突兀感。教师应遵循高中数学新课标的要求，加强概念的引入，引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程。合理设置情境，使学生积极参与教学，了解知识发生发展的背景和过程，使学生感受到学习的乐趣，这样能使学生加深对概念的记忆和理解。笔者在教学实践中根据教学内容和学生情况等，总结了如下几种引入方式：
　　1　以实际问题引入概念。数学概念来源于实践，又服务于实践，从实际问题出发引入概念，使得抽象的数学概念贴近生活，使学生易于接受，还可以让学生认识数学概念的实际意义，增强数学的应用意识。例如等比数列这样的概念就是直接源于生活的概念，在讲授的过程中，现实生活中的实例随手可得，如常见的细胞分裂问题，商店打折问题，放射性物质的质量问题，银行利率，为自己家选择合适的还贷方式等等实例可以信手拈来穿插在概念的讲解、巩固的过程中；再如，讲函数概念时，用炮弹发射后射高与时间的变化规律、图象、图表分析归纳变量问关系的共同点得到函数概念。
　　2　利用学生已有的知识经验引入概念。例如，在引入算法概念时，学生对求解一般的二元一次方程组已很熟练，强调求解一般的二元一次方程组的步骤就是算法，这样就显得水到渠成。
　　另外，在概念教学时，还可通过对已定义的概念一般化或特殊化而引入新概念，如通过四棱柱的概念特殊化得到平行六面体、直平行六面体等概念。由函数概念一般化引入映射的概念。
　　3　通过学生实验引入概念。学生动手实验，可在学生脑海中留下深刻印象。如讲椭圆概念时，可让学生每组准备一块纸板，一条细绳，两个钉子。教师指导学生固定钉子在纸板的不同位置，然后让绳子长度大于两钉子之间的距离，同时用铅笔拉紧绳子画线，最终可以得到椭圆。然后再改变绳子长度分别等于、小于两钉子间的距离，画图。在此基础上，学生可根据画图过程归纳椭圆的概念。这样学生不知不觉地从具体到抽象，由感性认识逐步上升为了理性认识。同样由学生亲自实验，然后归纳概念的方法也可用于双曲线和抛物线的概念教学。
　　4　从概念的历史背景出发，激发兴趣。复数和虚数的概念有悠远的历史背景，是数发展到一定的阶段的必然产物，在很长一段时间里，人们在实际生活中找不到用虚数和复数表示的量，在学生的有限的知识结构中也找不到虚数的生活原型，所以学生很难完全理解它。因此，在讲解这两个概念时，可以将数的发展史、虚数与复数的出现历程作简单阐述，为了表述得清晰而有趣，教师可以把这过程制作成动画短片：
　　从原始人分配食物开始，首先是自然数的出现，然后到分数的出现。接下来经过漫长的数的发展，人们又发现了很多不能用两整数之比写出来的数，如圆周率等。人们把它们写成π等形式，称它们为无理数。到19世纪，由于运算时经常需要开平方，如果被开方数是负数，比如x2+4=0，x2=-4这道题还有解吗?如果没有解，那数学运算就像走在死胡同中那样处处碰壁。这样，可以让学生融入教学中，跟着故事的结尾一起思索，然后引入新概念：数学家们就规定用符号“i”表示“一1”的平方根，即i2=-1，虚数就这样诞生了。实数和虚数结合起来，写成a+bi的形式(a、b均为实数)，这就是复数。这种引入概念的过程新颖别致，一开始就能抓住学生的眼球，吸引他们的注意力，使课堂教学轻松有趣。
　　教学中，适当引入与数学概念相关的故事，并巧妙处理，既可激发学习兴趣，又可达到教育之目的。
　　二、抓住本质属性，讲清概念
　　
　　数学概念是为了解决数学问题，对概念理解不清，在解题时就会出现错误；对概念理解不透彻，常会遇到问题束手无策。要正确深刻地理解概念绝非易事，教师要根据学生的知识结构和能力特点，从多方面着手，适当引导学生剖析概念，抓住概念的实质。为此可以从以下几个方面努力：
　　1　强调概念中的关键词语，结合正反例子，做好概念理解。如对函数概念中的“任何”与“唯一”要重点强调。然后举例y=x3，y2=x，前者可以称y是x的函数，后者不能称y是x的函数。因为对于任何一个x，不是对应唯一y。这样通过正反实例，强调概念中的关键词语，更能加深学生对概念的理解。
　　2　注意数学语言的翻译。数学语言有文字语言、符号语言、图形语言。符号语言有较强的概括性，更能反映概念的本质。如等差数列的概念可用符号“an+1+an=d”(d为常数)概括。用定义证明一个数列是等差数列时，就是应用概念的符号语言。图形语言则能更形象地反映概念的内容。如讲“交集”概念时，用文氏图表示“a∩b”，可以很容易理解概念。
　　3　对比相似概念，明确其联系和区别。有比较才有鉴别。用对比的方法找出容易混淆的概念的异同点，有助于学生区分概念，获取准确、明晰的认识。比如对排列与组合的概念，就可以通过概念对比，并结合实例的方式加深概念理解。
　　4　逆向分析，加深对概念的理解。教学中，有意识地培养学生的逆向思维，能加深对概念的理解与运用。例如学
习正棱锥的概念后，可以提出如下问题并思考：①侧棱相等的棱锥是否一定是正棱锥?(不一定)②底面是正多边形的棱锥是否一定是正棱锥?(不一定)③各侧面与底面所成的二面角都相等的棱锥是否一定是正棱锥?(不一定)这样正棱锥的概念就更清楚了。

　　三、精心设计练习，巩固、深化概念
　　
　　函数的周期性和最小正周期是学生难以理解的概念，在学生了解其概念后，为了帮助学生准确把握函数的函数周期性和最小正周期的外延，可以设计以下问题链，让学生讨论：
　　(1)函数y=a(a为常数)是周期函数吗?y=a(a≠±2)呢?y=a(a≠±1/2)呢?
　　(2)函数y=sinx，x∈[-2π，+∞]提周期函数吗?最小正周期是多少?函数y=sinx，x∈r且x≠kπ呢?
　　(3)函数y=sinx，对x∈r都有f(x1)≤f(x2)，则｜x1-x2｜的最小值是多少?
　　(4)做出函数y=sinx，x∈[-2π，3π]与y=sinx，x∈r的图象。
　　通过上述问题的研究，可以帮助学生弄清以下问题：(1)周期函数定义域的结构特征；(2)最小正周期的存在状况；(3)周期函数函数值的分布规律；(4)周期函数的图象特征。在此基础上，学生才能真正弄清周期函数、最小正周期的概念，学生的认识结构也从“了解”上升到“理清并掌握”的层面。
　　要注意在概念的逆用、变用中获得解题方法，有时感到对一些问题无从下手，通过概念的逆用和变用往往使问题迎刃而解。例如“已知函数f(x)是定义在[-1，1]上的增函数，且f(x-1)2-1)，求出x的取值范围。”遇到抽象函数，许多学生感觉无从下手。这其实是“函数单调性”的概念逆向应用，即“如果函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，x1，x2∈(a，b)，由f(x1)2)就可以得到x12”。学生掌握了这一点，解决上面的问题就豁然开朗了。又如“已知实数x，y满足(x+1)2(y+1)2=1，求(y+2)/(x+3)的最值?”可以联想到圆(x+1)2+(y+1)2=1上的点(x，y)与定点(-3，-2)连线的斜率。加强概念间的灵活变通，就可将问题转化。
　　
　　四、概念生成过程教学的几点反思
　　
　　1　“高屋建瓴”地深入理解概念。长期以来，我们只重视如何使学生理解数学概念，而忽略了教师本人如何“高屋建瓴”地深入理解这些概念，许多教师还缺乏对基本概念的真正实质上的深入理解。没有教师自身概念知识广度和深度的研究，生成的过程教学就无从谈起。
　　2　“了如指掌”地熟悉学生学情。学生的已有知识，始于新知发生前，作为新知的起点，它决定了新知理解的角度、广度、深度以及态度，在理解的每时每刻，都参与其中，在教学设计时要重点考虑处理新旧概念间的矛盾。教学中，教师只有在全面了解学生以往的学习经验的基础上，才能开展有针对性这样的预设，概念生成过程才是真实的、深入的。
　　3　“真真正正”地展开师生互动。教师与学生的互动是概念课堂教学得以动态生成的形式要件。概念生成的课堂里，学生并不是知识的被动吸收者，而是积极主动的构建者，每个学生都以自己头脑已有的知识和经验为基础，用个人特有的思维方式构建对事物的理解、检验，不同的人看到不同的方面，各个层次的学生都有收获。
　　4　“扎扎实实”地展开探究活动。概念教学中，学生主动探究是概念建立的一个重要环节，教师不仅要学生自主探究，更重要的是要让学生掌握自主探究的方法，“授之以鱼，不如授之以渔”，科学方法的掌握，科学思维的形成才能使学生终生受益，才能体现数学作为基础学科的应有作用。
　　教师在数学概念教学中要转变观念，使课堂教学由知识型转化为能力型，切实搞好数学概念教学，充分发挥数学概念的指导作用，全面提高学生的数学索养。概念教学要注意过程性，没有过程就等于没有思想。重视概念教学的生成，不仅要让学生明白一些原理，更要让学生学会一种思维，一种对数学精神的领悟。成功的概念课，就如同一段美好的旋律，给人一种美好的体验，要让学生体会前辈的心路历程，探索先哲的数学思想，这才是数学教学的真谛，这才是数学育人功能的最好注释。