中学生数学建模活动的几点技巧分析

　强调数学应用现已成为当今各国课程内容改革的共同特点.美国提出了“用数学于现实世界”的口号.近年来，我国对数学应用给予了高度重视，中学数学教学也开始进行建模教学的探索，北京、上海等地每年还开展中学生数学建模竞赛活动，不少地方也开展了中学生数学小论文评比活动.然而，相对于全国乃至全球参与度最大、开展最为广泛的大学生数学建模活动，中学建模活动还相差甚远，因此，有必要对比中学数学建模与大学数学建模，探讨中学数学建模活动如何更进一步开展。1 几个例题谈中学数学建模的渗透
　　在这里，以几个中学教材以及高考题为例，探讨中学数学建模与大学数学建模的区别和联系.
　　例1 北师大版数学必修1函数一章引例中的加油站储油罐储油量v与高度h、油面宽度w的函数关系（北师大版数学必修1第24页）与2010年全国大学生数学建模竞赛A题[1]（CUMCM 2010A：储油罐的变位识别与罐容表标定）不谋而合，体现了中学数学建模与大学建模目的的统一，即应用数学知识解决实际问题.这里将两个题目摘要如下：
　　2010年全国大学生数学建模竞赛A题“储油罐的变位识别与罐容表标定”：为加油站储存燃油的地下储油罐设计“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况.图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图1 储油罐正面示意图教材例题：图2是某高速公路加油站储油罐的图片（见北师大版必修一第24页），加油站常用圆柱体储油罐储存汽油.储油罐的长度d、截面半径r是常量；油面高度h、油面宽度w、储油量v是变量.储油量v与油面高度h和油面宽度w存在着依赖关系.在这里，主要讨论变量之间的依赖关系和函数关系.
　　图2 加油站圆柱形储油罐示意图可以看出，这道大学生建模竞赛题与中学教材的例题殊途同归，具有异曲同工之妙.二者都是研究加油站储油罐储油量与油面高度和油面宽度的关系，从而给出储油量v与油面高度h和油面宽度w之间的对应关系，而在大学生建模中更深入的要求给出地下储油罐“油位计量管理系统”的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）的实时变化情况，并且深入研究罐体变位后对罐容表的影响.显然中学教材中出现的例题只是要求研究简单的函数关系，符合中学生的能力水平；大学生数学建模竞赛则根据大学生的实际能力，考虑实际问题的需求，直接设计可供加油站应用的罐容对照表.
　　例2 引用一道高考题叙述高中数学模型思想在概率统计中的应用，并分析与大学生数学建模的联系.
　　（2012年高考北京文）近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如表1.
　　表1：某市垃圾统计数据 单位：吨
　　“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060
　　（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率；
　　（Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误的概率；
　　（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a>；0，a+b+c=600.当数据a，b，c的方差S2最大时，写出a，b，c的值（结论不要求证明），并求此时S2的值.
　　殊不知，这道题目取材于2011年全国大学生数学建模夏令营题目“垃圾分类处理与清运方案设计”[2].作为新课标的高考题，题目结合概率统计模型的思想，考查学生基本能力，立意贴近生活.
　　例3 （2012年高考陕西卷理科第20题）银行服务窗口的业务办理过程中的等待时间问题，现实生活气息浓厚，它对应用数学模型分析问题与解决问题能力的考查，起到良好的示范作用.同时，这道题目借用运筹学排队论[3]的思想，解决服务系统的排队问题.具体题目如下：
　　某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如表2.
　　表2：银行顾客办理业务时间统计
　　办理业务所需的时间/min12345频率0.10.40.30.10.1
　　注：从第一个顾客开始办理业务时计时.
　　（Ⅰ）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；
　　（Ⅱ）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望.
　　排队论模型[4]是大学生数学建模的基本模型之一，模型基于概率论以及数理统计课程，通过建立一些数学模型，以对随即发生的需求服务提供系统预测.现实生活中诸如排队买票、病人排队就医、轮船进港等等问题服务系统.
　　这道高考题基于银行服务窗口的排队问题，出于排队论思想命题，同时又考虑中学生实际能力，结合考点，成功地将题目适当的简化为一道具有实际背景的概率问题.体现了中学建模与大学建模同样是出于解决实际问题的需求，却又需要考虑题目使用对象，做出适当改编.在全国大学生数学建模竞赛（CUMCM）中应用排队论思想的题目也很多，例如CUMCM 2009 B题眼科病床的合理安排：医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务.考虑某医院眼科病床的合理安排，建立数学模型解决该问题；又如CUMCM 2007 D题体能测试时间安排：根据学生人数和测试仪器数安排体能测试时间，使得学生等待时间最小。2 结论和建议
　　2.1 一些结论
　　通过以上几个例题以及对中学数学建模和大学数学建模的分析，可以得到二者各自的特点：
　　中学数学建模问题或者建模竞赛：
　　①问题背景涉及的知识领域的专业性比较基本、初级，问题在专业和数学上都已经做了较大的简化和提炼.
　　②要解决的主题比较具体，比较单纯，容易理解，子问题深入程度的层次少、扩展小，学生容易找到切 入点.
　　③所用的数学知识或专业知识的层次符合中学生的知识结构水平和学习能力.
　　④问题的难度不大，远低于大学生数学建模.
　　⑤数学模型或解决方案往往比较简单、现成，对信息查询能力的要求不很高，模型计算不太复杂.
　　⑥学生的考虑及其实现都需要切合数学建模的基本模式，较高的数据处理及数据分析的能力，而在建模的整体性、系统性方面的综合分析思维能力是不强调的.
　　全国大学生数学建模问题或建模竞赛
　　①问题背景取材比较广阔，例如：
　　有当时社会或科学关注问题：CUMCM 1998B灾情巡视路线、2002B彩票中的数学、2003A SARS的传播、2004A奥运会临时超市网点设计、2010B 2010年上海世博会影响力的定量评估；
　　有源于生物医学环境类的：DNA序列分类、中国人口增长预测、血管的三维重建、SARS的传播、艾滋病疗法的评价及疗效的预测、眼科病床的合理安排、长江水质的评价和预测；还有源于交通运输管理类的、源于经济管理与社会事业类的、源于工程技术设计类的等.
　　②强调对问题的建模和求解，对模型或方案设计的质量、计算能力、建模仿真实现、模型及结果检验的要求比较高.
　　③开放性问题逐渐增多，不好入手.
　　④从数学建模解决问题的思维层次角度看，在深度和广度上都有一定的要求.
　　产生以上特点的原因可以总结如下：
　　第一，中学生和大学生起点不同.中学建模和大学建模是分别基于各自对应的数学以及其他知识基础进行的.对数学知识的要求差异很大.大学生数学建模需要具有数学分析、数值分析、离散数学、运筹学以及常（偏）微分方程等高等数学知识，甚至在建模过程中还需要快速学习其他方面的知识；而对中学生则以初等数学知识为主，适合中学生的认知水平，在建模过程中一般不需要大量的知识补充；
　　第二，需要研究的问题不同.大学生数学建模涉及的范围较为广泛，其表述形式较为隐晦，对数学化的要求较高；而中学生数学建模的问题大多贴近中学生的生活实际，具有一定的实践性和趣味性，学生较易入手；
　　第三，二者侧重点不同.中学生数学建模更多的是渗透建模思想、树立建模观念，学会处理实际问题的思考方法和解决途径；大学生数学建模则强调建立模型的实用性以及对问题实质性的分析和求解，对科学计算（计算机编程）的要求较高；
　　另外，一个客观的原因，即二者组织形式不同.大学数学建模以课程形式走进学生，同时开展三级数学建模竞赛（校内竞赛、国家级竞赛、国际竞赛）引导学生参与.而中学数学建模竞赛活动尚未普及，只是在一些地方开展过，因此只能从课堂教学和以教师为引导的实践活动展开.
　　当然，同样作为数学在实际问题中的应用，二者都是对实际问题分析简化，基于数学知识，应用计算机进行科学计算，最终得出对实际问题的最优解.而且二者在很多问题上可以建立姊妹题的形式，上述几个例题也证实了这一点。
　　2.2 几点建议
　　中学数学教材中多处体现的数学模型的应用预示着数学模型思想在中学数学中越来越重要，同时引用的几个例题不但说明了大学建模与中学建模的区别与联系，还体现了中学教材中数学建模思想的广泛应用.近年来，数学建模竞赛作为全国开展的最为广泛的学生科技活动，备受广大师生关注，因此，这几道例题也为平时的教育教学发出信号：
　　1.中学数学建模的教学以创新性、现实性、真实性、合理性、有效性等几个方面作为标准，对建模的要求不可太高，重在参与.
　　2.数学建模问题难易应适中，千万不要搞一些脱离中学生实际的建模教学，题目难度以“跳一跳可以把果子摘下来”为度.
　　3.广大师生日常中应该注意以教材为蓝本的知识挖掘，特别是对中学数学教材中出现的实际应用型问题深入分析，以课题学习或者探究活动形式开展数学建模.主动关注大学生数学建模竞赛的动向，甚至大胆对大学生建模竞赛题目做出改编，作为中学建模题目或者考试试题.
　　4.建模教学对高考应用问题应当有所涉及.鉴于当前中学数学教学的实际，保持一定比例的高考应用问题是必要的，这样更有助于调动师生参与建模教学的积极性，保持建模教学的活动，促进中学数学建模教学的进一步发展。
　　参考文献
　　[1] 教育部高等教育司.全国大学生数学建模竞赛题目[OL].http：//.2012.8.8.
　　[2] 教育部高等教育司.全国大学生数学建模夏令营题目[OL].http：//.2012.8.8.
　　[3] 西北工业大学数学建模指导委员会.数学建模简明教程[M].北京：高等教育出版社，2008.