教学中对知识内容拓展与引申的一些思考

　数学课堂中，对有关知识和能力作适当的拓展和引申是数学教师应该思考的基本问题，处理得好对学生的持续发展能够起到不可小视的作用.对一些知识加以适当的拓展与引申，不仅能使学生巩固基础知识，提高分析问题和解决问题的能力，而且对于沟通知识的联系、开拓思路、培养创新思维和对数学探究的兴趣都十分有益.
　　那么如何拓展和引申？拓展和引申到什么程度？对这些问题的把握至关重要.以个人之见，我对这样的问题提出如下几个原则，供同行们讨论.1 低门槛原则
　　低门槛，就是在原来知识的基础上，作小步伐的拓展和引申，又能得到实质性的提升.这样做，常常会在不费吹灰之力的情况下，能够得到很漂亮的结论，而且结论很实用.
　　例如，在学习基本不等式时，可以考虑推广到n元基本不等式，即对n个正数a1，a2，…，an，都有a1+a2+…+ann≥na1a2…an（当且仅当a1=a2=…=an时，取得等号），这对将来进一步学习数学，具有重要意义.比如，有一类函数需要通过导数来研究函数的最值问题，如果有了推广的基本不等式，就方便多了.
　　再如，函数y=x+ax是高中阶段经常讨论的，其实在学习函数性质（单调性和奇偶性）时，就完全可以把这样的函数研究得比较透彻.在学习基本不等式的时候，可以进一步探讨，来印证原来研究所得的结论.到了学习导数的时候，又有了更新的方法来研究这样的函数.通过这样几个不同的阶段来研究这样的函数，那么对这样的函数或者涉及这样函数的问题，我们会把问题搞得十分清楚.2 类比性原则
　　数学中有很多结论可以通过类比猜想得到，当然不是盲目的猜想，是需要证明的.经常引导学生通过观察类比，有助于培养和提高学生的思维品质.
　　例如，我们知道，如果点P（x0，y0）在⊙C：x2+y2=r2上，则方程x0x+y0y=r2表示过点P的⊙C的切线.其实这个结论完全可以类比到椭圆、双曲线和抛物线这些圆锥曲线中，而且利用这样的结论还可以得到圆锥曲线非常有趣的光学性质，学生会很有兴趣的.在实际和科学技术上也得到了广泛的应用.
　　再如，在平面直角坐标系中，直线可以用关于x，y的二元一次方程来表示，点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离为d=Ax0+By0+CA2+B2.类比到空间直角坐标系中，平面可以用关于x，y，z的三元一次方程来表示，点P（x0，y0，z0）到平面α：Ax+By+Cz+D=0的距离为d=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2.一般用向量的方法来求点到平面的距离的时候，有相当一部分问题都可以用这个公式来进行.3 趣味性原则
　　有相当一部分学生对数学的内容之多，已经觉得很累了，老师还要增加教材和考纲中没有的东西，多无聊啊.所以我们应该拓展一些学生普遍都比较感兴趣的内容，这样才能取得良好的效果.
　　例如，利用导数研究三次函数问题是常见问题，资料上出现的频率也很高，三次函数的形式本身不复杂，为什么很少有老师舍得花一点时间和学生一起来探讨研究一下三次函数的图像与性质呢？如果作一点研究后会发现：其图像很规则，性质很稳定，尤其是图像关于拐点对称（这个性质可以解决一类流行性竞赛题）.
　　再如，在圆锥曲线的一些综合问题中，时常会从中发现、提炼出一些非常有趣的圆锥曲线具有普遍意义的共同的性质，结论真是太漂亮了，学生对这样的探究也颇感兴趣.经常做一些这样的工作，对培养学生探究的热情、培养学生对数学的学习兴趣，是十分有益的.4 实用性原则
　　我们对一些知识作适当的拓展和引申，其很重要的一个因素是拓展和引申出来的东西有用吗？这也会是学生经常会关注的问题.这样的工作做得好，会对数学教学起到很重要的作用.学生对学到的东西会觉得学以致用，有成就感.
　　例如，圆锥曲线问题中，常常出现圆锥曲线上的点到焦点的线段（简称焦半径）长度距离问题，利用圆锥曲线的第二定义，可以轻松地得到焦半径公式，使用十分便捷.只是椭圆和双曲线的焦半径公式容易混淆，不易记忆，我们只要充分理解公式的由来，就可以方便的解题.
　　再如，从等差数列的通项公式与求和公式的代数形式上观察，我们不难归纳出公式的另外一种形式，即an=An+B，Sn=An2+Bn.这种形式更加体现了数列函数的属性，在解决相关问题时很实用.5 分阶段原则
　　有些问题的拓展和引申，是循序渐进的，从学生的认知水平和知识水平上来说，都不能一下子到达一定的高度，这就需要在几个不同的阶段，对该问题作不同程度的拓展和引申.
　　例如，在高中数学必修1教材中有这样两个问题：
　　（1）已知函数f（x）=10x，x∈R，对任意x1，x2∈R，试比较f（x1）+f（x2）2与f（x1+x22）的大小；
　　（2）已知函数f（x）=lgx，x∈（0，+∞），对任意x1，x2∈（0，+∞），试比较f（x1）+f（x2）2与f（x1+x22）的大小；
　　这两个问题，在基本不等式内容之前出现，似乎着急了一点，但是在教师的引导下，可以克服这个小小的遗憾.其实这两个问题的出现，编者的真实意图是想让学生在大小关系的结论中，进一步体会图像的凸性与大小的关系（尽管图像的凸性不是教材要求内容），教师在引导解完问题后应该及时揭示，而这个图像的凸性在图像中是非常直观的，但是在理论上如何进一步的研究函数图像的凸性，学习了导数就不难发现函数图像的凸性与函数的二阶导数的符号有着密切的关系.
　　其实，在以上的一些例子中不难发现，有些例子同时符合几个原则，那就体现了这些例子的拓展和引申更具有意义.哪些知识在课堂中值得拓展和引申、拓展和引申到什么程度？应该是教育长期探讨研究的问题，总体应该符合以学生为本，以学生得到充分发展为前提.