数学思维与数学文化之间的关联分析

数学课程标准明确地提出了数学文化教育理念，指出：“数学是人类文化的重要组成部分.数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神.数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观.”随着课程标准的实施，数学文化教育的理念得到了广泛的传播，形成了一股“数学文化热”，促使数学教育的面貌发生了积极的变化，这是应该充分肯定的.
    但是我们也应该看到，在这股“数学文化热”中，也存在一些值得注意的倾向.它具体体现在如下方面：（1）贴标签、泛化——把许多和数学不相干的东西都说成是“数学文化”，即所谓“文化是个筐，什么都可以装”；（2）把数学文化教育等同于数学史教育；（3）把数学文化教育等同于科普教育；（4）把数学文化教育等同于文艺教育（故事、游戏）；（5）混淆现代数学文化与前科学的古代数学文化.
    这些倾向的要害就在于把数学文化与数学思维割裂开来，否定了数学是思维科学的本质，因而无法实现数学文化教育的价值.对此，我以为：“对数学文化教育价值认识的最大误区在于忽视数学精神的教育功能.有不少人在论及数学文化的价值时，要么根本无视数学对人类精神方面的巨大作用，而仅仅关注数学在知识层面的应用和数学对人类物质生活所带来的影响；要么仅仅注意数学文化对思维方式的影响，而忽视数学精神（它集中表现为理性探索精神）的教育功能.所有这一切都是片面而肤浅的认识.”
    事实上，思维与文化，集中地体现了数学教育在提高学生素质的教育中的两项要素，是现代数学教育的两个重要方面，同时也是全面实现数学教育价值的关键.其要点如下：（1）数学是数学文化背景下的思维活动；（2）从微观上看，数学是一种活动，一种思维活动，数学教育是思维的教育；从宏观上看，从“社会—历史”的层面看，数学是一种文化，一种观念系统，数学教育是文化的教育；（3）在数学思维教育中，人们看重的是数学的思维方式和思维能力，也即数学的科学教育价值；（4）在数学文化教育中，人们看重的是数学中的理性精神，数学的价值观念、思维方式和行为规范，理性探索精神则是数学文化价值的集中体现.
    一、数学思维教育理念
    自20世纪80年代以来，数学教学与思维的关系一直是数学教育界研究的一个主题.经过几十年的研究，数学思维教育理念已经成为大家的共识，它可以成为进一步探讨数学教育规律，特别是数学思维与数学文化教育关系的基础.
    数学思维教育理念可以概略地表述如下.（1）数学观：数学是一种思维活动.（2）数学教学观：数学教学是数学思维活动的教学.（3）数学教育价值观：数学教育的价值集中表现在数学思维活动之中.（4）数学学习观：数学学习是在教师的指导下通过数学思维活动，学习数学家思维活动的成果，并发展数学思维能力的过程.（5）核心概念：问题.（6）教学原则：过程性原则.即数学教学要充分暴露数学思维过程.（7）教学规范：以问题为中心.具体体现：数学教学应该围绕着数学问题进行，数学教学过程应该组织为提出问题和解决问题的过程，应该把有没有问题、有没有激发出学生的思维活动当成评价教学活动成功与否的一项标准.
    数学思维教育理念的核心思想是它的数学观，即对“什么是数学”的认识.前苏联数学教育家A.A.斯托利亚尔说：“数学这个术语可以表示一种思维活动（数学活动），或者表示这种活动的结果——理论.相应地也就存在两种不同的数学教学，即数学理论的教学和数学（思维）活动的教学.”他把数学看成是人类创造性的思维活动，突破了静止的、绝对主义的数学观的束缚，第一次把动态的、经验和拟经验的数学观呈现在我们的面前，为数学和数学教学注入了新的生命，对数学教学的改革具有重大的指导意义.
    二、数学文化观念
    （一）对数学文化的理解
    1.数学是人类文化的重要组成部分
    数学对象并不是天生就有的.数学概念、定理、公式，数学理论、语言、方法、思维模式、价值观念都是人创造出来的，都是人类思维活动的有价值的成果.因此，从这个意义上看，数学当然是“人类文化的一部分”.
    2.数学是“一种文化”
    在现代社会中，数学家构成了一个特定的社会群体：数学共同体，这就是数学文化的主体.这个共同体的成员具有区别于其他社会成员的共同的价值观念、思维方式和行为规范，形成了特有的生活方式和文化传统，这就是我们所说的数学文化.
    由于数学具有自己独特的思想方法体系、语言体系和发展的动力体系等，所以数学不仅是人类文化的重要组成部分，而且超越了地域、国家、民族的界限，构成了一种独特的文化体系，成为人类文化的子文化.
    3.现代数学文化系统的形成
    应该指出的是，这里所说的数学文化是指现代数学文化.它是以古希腊数学为主流，在理性精神的推动下发展起来的.它不同于各民族文化中的数学.下面我们简要地看一看现代数学的发展之路.
    相似的起点：在各民族的原始文化中，数学都以它的数字、符号和运算的神秘性，参与了民族文化的发生和发展过程.历史表明，各民族原始的数学在数学起源的历史阶段——数学的“婴儿”时期的发展有着很大的数字神秘性和数量性的共同性特征，可以说，原始文化中的数学发展具有相似的起点.
    不同的道路：当数学从原始数学走向初等数学结构体系——即从数学的“婴儿”期走向数学的“童年”期时，各民族的数学发展的差异是巨大的.这种差异从根本上说是由各民族文化中的价值观念的差异决定了的.
    趋向一致：近代，在世界范围内出现了数学传统渐趋一致的走向，这是现代数学发展的一个重要特征.
    4.数学文化的结构
    如果说“数学是人类文化的一部分”的论断促使我们以更广阔的视野来审视数学与外部的联系的话，那么“数学是一种文化”的论断就更有助于我们清晰地认识数学文化的内部结构和关系，认识数学文化的价值.
    郑毓信教授参照库恩的观点，对数学文化的结构作了具体分析.
    “数学文化 由显性文化和隐性文化所构成.其中，知识性成分，即显性的数学文化，包括概念、公式、定理、方法、语言、问题等，它可以看成是数学文化的客体，是数学家在长期的数学活动中创造的成果；观念性成分，即隐性的数学文化，包括思想、精神、意识、传统、思维方式与行为模式等，它指导并规范着数学家的思想和行为.”
    精神文化总是民族文化的核心.与之相似，在数学文化中，和概念、公式、定理、方法、语言、问题等知识性成分相比，数学文化中的观念性成分（如思想、精神、意识、传统、思维方式与行为模式等）占据着更为重要的位置.因此，我们认为，数学观念系统是数学文化的核心，也是数学文化价值集中之所在.数学精神、数学意识、数学思想和数学思维方式等都是数学观念系统的重要组成部分.其核心部分如图1所示.
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    首先，理性精神表现为追求真理的强烈愿望，相信自然是可以被认识的，反对愚昧与迷信，反对神秘的不可知主义，认为每个人都有认识世界的天赋，都可以认识世界.其次，理性是一种辨明、认识、阐述和评论真理的能力.再次，理性精神坚持以理性（或理智）或以理性为基础的思维方法作为判断真假、是非的标准.从宏观上看，正是有了理性探索精神，才有了现代数学，才形成了区别于其他思维方法的数学思维方式；从微观上看，正是这种探索精神为思维活动提供了内驱力，使之得以启动和展开.所以，克莱因就直接把数学看成是理性精神，他说：“在最广泛的意义上来说，数学是一种精神，一种理性精神.”我国数学家齐民友先生也持有相似的观点：“数学，作为文化的一部分，其最根本的特征是它表达了一种探索精神.”
    （二）对“数学文化教育”的理解
    1.数学的文化教育与数学文化的教育
    现在我们经常用到“数学文化教育”这个词，如果推敲起来，它至少有两种不同的含意，即“数学的文化教育”和“数学文化的教育”.
    “数学的文化教育”是指数学教育的一种方式，即用“文化教育”的方式来教数学.而“数学文化的教育”则是把“数学文化”作为教学内容的教育.可见，和传统的数学教育相比，“数学的文化教育”带来的是教育方式、方法的转变，而“数学文化的教育”带来的却是数学观（即把数学看成是一种文化）的转变.这种转变不仅体现在数学教育（学）方式上，而且更集中地体现在数学教育观念上，它涉及对数学、数学学习、数学教育的认识，也必然会体现在对数学价值、数学教育价值认识的转变上.因此，“数学文化的教育”的意义要深刻得多.
    因此，我们要全面（从上述两个方面）理解数学文化教育的内涵，特别是要从数学观的层面，从数学教育观念的层面理解数学文化.实际上，把数学文化与数学思维割裂开来的倾向，在很大程度上就是把数学文化教育的变革片面地理解为教学方式的变革，而忽略了它首先是数学观的变革的结果.这充分地反映了我们对数学文化理解的片面性——很多教师对数学文化的理解仅仅停留在“数学是人类文化的组成部分”的层次上，而没有认识到“数学是一个独特的文化系统”的层次.
    2.数学文化教育观念给我们带来了什么
    （1）数学观的转变：由静态的、绝对主义的数学观转向了动态的、经验和拟经验的数学观；突破了对数学的传统认识，数学不仅有科学的特征、哲学的特征，还有人文的特征、社会的特征、艺术的特征和历史学特征.
    （2）数学教育认识的深化：数学教育不仅是知识教育和思维（科学）教育，而且是文化教育；数学课程不仅是一门工具课程，更重要的，它还是一门具有基础性的文化课程.它不仅教会学生计算和度量，还引导他们学会把握事物的本质，获得一类基本的思维方式，培育理性精神和审美情趣.这些要素共同构成通常所说的数学素养，是现代文化素养极为重要的组成部分.
    （3）教育方式的转变：更加关注“人”，即人文、人本和情感的交流；更加关注精神层面的东西，即精神与观念；更加注重从历史的、人类文化发展的层面来看数学；更加注重对数学的整体认识和理解；更加注意数学与文化（社会、生活）的广泛联系；更加注意培养学生的兴趣和爱好；更加关注无意识的活动.
    （4）数学（教育）文化价值的发现：集中体现于数学对人们的观念、精神以及思维方式所起的重要影响，如理性精神、教化功能、思维训练、创造性思维（审美）、提高民族的素质等.其中，提高民族的素质可以说是数学教育的最高使命了.
    3.数学文化教学理念
    从文化学的视角看，学习是一个社会化的过程.和数学思维教学理念相比，数学文化教学理念具有如下特点：数学观，把数学看成是一种文化系统，是数学共同体的生活方式；价值观，认为数学提供一种价值观，倡导一种精神，集中表现在数学观念特别是理性精神之中；方法论（教育方式），文化继承、潜移默化，以数学的眼光看世界；核心概念，观念、理性精神.
    三、数学思维与数学文化教育观念
    数学文化与数学思维都源于思维活动，两者相辅相成：（1）数学思维活动是数学文化之源；（2）参与数学（思维）活动是学习数学文化、实现数学文化价值的主要途径；（3）数学思维方式、数学家的行为规范是数学文化的重要组成部分；（4）数学文化超越了思维的框架，具有更宽广的外延和更丰富的内涵；（5）数学文化观念的提出，并没有改变“数学是思维活动”的本质.因此，数学文化教育就必然要重视数学思维活动.
    （一）数学观：数学是数学文化背景下的思维活动
    应该从思维与文化两个方面来看待“数学是数学文化背景下的思维活动”的陈述：第一，“数学是一种思维活动”，这和斯托利亚尔的论断是一致的，它强调了数学活动的思维性，从而突出了数学的创造性本质；第二，它强调了数学文化的背景，即强调了数学思维是受到数学传统的制约的，因此，它突出了数学观念在思维活动中的作用，突出了数学的文化特性，从而突出了数学活动的继承性.
    （二）学习观：数学学习过程被认为是“意义赋予”和“文化继承”的过程，即文化意义上的再发现的过程
    所谓“意义赋予”，是指学生在学习知识时要通过 自身的（思维）活动，重新建构知识的意义，这是一个创造和发现的过程，这就突出了思维的作用；所谓“文化继承”，是指学生的建构活动并不是个体的独立的活动，而是在一定的文化背景下，即是在现代数学文化的观念、思想、方法和思维模式（即数学传统）的指导下进行的“再发现”活动，从而体现了文化的作用和学习的社会化性质.
    （三）行为规范：“以问题为中心”与“以数学（家）的眼光看世界”
    1.以问题为中心——有效地组织学生投入理性探索活动.它体现了数学教学是思维活动的教学的观点和做法.
    2.以数学（家）的眼光看世界——创造数学文化的氛围，理解并学习数学家的“生活方式”，体会并欣赏蕴含在教学过程中的数学思想、观念、思维方式.它体现了数学文化教学的观点和做法.
    （四）两个关键词：思维与文化
    数学思维—文化教育的教学理念可以概括为两个关键词：思维与文化，而观念则是使它们贯通的桥梁.这就是说，在考虑和处理任何和数学教学有关的问题时，总要考虑到思维和文化这两个方面，总要特别关注联结它们的观念.
    在数学教育价值整合的问题上，同样如此.具体来说就是，在教学中，在分析教学内容、教学价值以及教学过程、教学方式时，都要考虑思维与文化这两个方面，并关注观念的影响.
    （五）几个案例
    【案例1】《向量的加法》的教学片段
    教师首先提出中心问题、课题性问题和两个导向性问题.
    创设情境：上节课中，我们曾以有向线段、位移、力等几何、物理对象为原型，抽象出向量这个数学模型.研究一个数学对象，就要研究它的运算（提出中心问题）.你能以位移合成、力的合成等物理运算为原型抽象出新的数学运算吗？（课题性问题）
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    这里的中心问题、课题性问题、问题1、问题2组成了一个问题串.它们勾勒出了提出问题的思维过程.（1）学生会从上述问题串中体会到隐含的思维过程.为什么要研究问题1和问题2？因为要解决中心问题，即抽象出新的数学运算.为什么要研究中心问题呢？因为“研究一个数学对象，就要研究它的运算”.如果再追问下去，答案只能是：这就是数学的行为规范.这样，问题串呈现给学生的就不仅仅是“要做什么”，而且是“为什么要做”，以及是“怎么想到要做”.它实质上是在思维与文化这两个层面上引导学生.（2）上述问题串实际上也勾勒了解决问题的过程（概略性解决）.问题1和问题2可以看成是中心问题的一个概略性解决方案；而中心问题也可以看成是“研究运算”的具体思路.（3）上述过程也是教师帮助学生的过程，教师通过这些问题为学生提供了观念层次和方法论层次的指导，如“研究一个数学对象，就要研究它的运算”、“在建立数学模型时，首先要对原型进行研究”等.此外，教师还为学生直接确定了抽象的原型——位移的合成和力的合成，这样就重现了向量加法发现的历史.
    因此，当学生在思考问题1和问题2这样两个具有历史背景的问题时，学生的学习活动已经带有文化继承的性质了，已经是“数学文化背景下的思维活动”了.
    问题1和问题2对学生而言并不困难，当学生自以为正确地回答了问题时，教师又提出了新问题：
    ——这里的“+”是什么意思？
    ——“和”是什么意思？
    ——“合位移”是什么意思？
    ——OB的长度等于OA与AB长度的和吗？这说明了什么？
    这几个问题，可能都是学生想不到的问题，它迫使学生反思，促使学生的思考深入下去——认真考虑“和”的意义，使他们注意到“算术的加法”并不是求“和”的唯一合理的运算.可以相信，如果不是教师提出上面的问题，学生是不可能做出如此深入的思考的.也就是说，这一系列问题给学生的意义建构活动提供了动力.
    应该注意的是，教师提出上述问题的目的是引发学生的思考（所以称为“反思性问题”）.看重的是问题引发的思维活动，而不在乎学生给出什么样的回答（甚至可以不用学生回答）：一方面，学生的意义建构活动正是通过这些思维活动进行的；另一方面，学生的思维活动本身就是教学的最好素材，师生之间、同学之间可以通过交流和讨论加深对问题的理解，这正是暴露数学思维过程的价值之所在.
    接着教师又提出了一系列的问题：
    问题3　上述两个问题（包括解决问题的过程）有何共同点？
    问题4　你们是怎样求和（即合位移与合力）的？两种方法有何关系？
    问题5　对于给定的两个向量a，b，如何确定它们的和？
    问题6　你们能概括出向量和的定义吗？
    这些问题具有导向作用，它清晰地为学生勾勒出“建构数学运算”的道路，向学生展示了数学文化意义下的行为规范.它们同样体现了学习活动的文化继承的性质.
    课堂上，学生在解决问题的活动中，不仅获得了向量加法的意义，而且获得了数学活动（构建数学运算）的经验和数学观念的启迪.
    【案例2】《归纳推理》的教学定位
    长期以来，我们的教师大多习惯于从下面三个层次看归纳，并以此确定本节课的教学内容和重点.第一种是把归纳看成一个概念，这就要弄清：什么是推理？什么是归纳推理？这是从知识层面来看归纳.第二种是把归纳看成一种方法，这就要弄清：怎样进行归纳？归纳有哪几步？第一步怎么做？第二步又怎么做？这是从技能层面来看归纳.第三种是把归纳看成一种能力，提高学生的归纳能力——归纳的能力实质上就是分析的能力，分析到位了，思维能力提高了，归纳才能得到有价值的东西.这是从能力的层面看归纳.
    其实，如果从文化的视角来分析，就可以看到，归纳还可以被看成一种态度，一种对待事物的态度.归纳的态度实际上就是探究的态度，它总是用探究者的眼光来看世界——看到某些现象，总想从中归纳出某种规律.促使哥德巴赫提出那个著名猜想的正是这种态度，向中学生介绍哥德巴赫猜想的目的也正是让他们学习这种态度.这种态度正是理性精神的表现，也是这节课中最有教育价值的东西.
    因此，这节课的教学当然应该让学生知道什么是推理、什么是归纳、怎样进行归纳，但 这并不是重点.学生其实早就在使用归纳的方法了，现在只要正面地小结一下就可以了.提高归纳的能力也不是这节课的目标.归纳的能力是思维能力的体现，它不能独立于思维能力之外，也不是通过一节课就能实现的目标.这节课的重点应该是归纳态度的培养和探究精神的激发.怎样让学生理解隐藏在归纳后面的“态度”和探究精神呢？这可以从学习“数学家的眼光”做起.而这正是苏教版教材在本章的引言中，介绍华罗庚教授提出的“摸球”游戏的目的.
    在“摸球”游戏中，从一个布袋里摸出的第1个球是红球，第2个是红球，第3个是红球.这时我们产生了一个猜想：袋中是不是全是红球呢？然后又摸出第4个来，结果是白球.猜想错了！错了是不是就结束了？不是！又猜：里面是不是都是球呢？再摸……
    ——这就是归纳的态度、探究的态度，这就是我们要通过数学教学倡导的理性精神.确立了这种态度，学生就会自觉地以之来看世界，并从中进一步体会到归纳的意义，形成对归纳的认识，提高归纳的能力.
    所以说，在数学教学中，相对于知识与能力，精神、态度、观念层面的东西是更值得重视的.
    【案例3】《数系的扩充与复数的引入》的教学策略
    《数系的扩充与复数的引入》一章具有丰富的文化教育价值，“让学生感受理性思维的作用”是该章重要的教学目标.可是，怎样才能“让学生感受理性思维的作用”呢？这当然不是通过空洞的说教和简单的贴标签就能奏效的.为了达到上述教学目标，教师必须准确地解读历史，揭示理性精神在这段历史发展中的作用和影响.在教学中，教师要提出下列问题，告诉学生：
    ——复数是怎样的数？和我们以前学过的数相比，它有什么不同？
    ——数学家是怎样发现虚数的？当时数学家是怎样看待虚数的？
    ——长期以来数学家为什么不肯承认虚数？
    ——可是后来复数又为什么获得了数学家的承认？
    ——数学家为了消除对复数的疑问，做了哪些工作？
    以上都是以数学家的眼光提出的问题.这些问题可以成为组织本章教学的“纲”，进而使本章教学不仅建立了复数的知识结构，更是解读了复数的发展史.通过这样的教学，可以从以下几个方面“让学生感受理性思维的作用”.（1）复数是数学家通过理性思维创造的数学模型，这个模型已经获得了广泛的应用.（2）在复数的创造过程中，数学家是通过理性思维对复数的合理性提出责难的，又是通过理性思维来消除这些责难的.（3）复数的发现导致数学家观念的转变.正如M.克莱因所说，“直到1550年，数学的观念还是直接观念化的，或是从经验中抽象出来的”，而“当复数、使用文字系数的广泛代数以及导数、积分的概念进入数学以后，问题就变成从人类脑子深处导出的概念占优势了”，“它们更多的是思维的产物”.这种转变，同样是理性精神的表现.
    上述案例表明，用数学家的眼光看世界，让学生在欣赏、品味中感受数学，是实现数学文化教学价值的一种方式.应该注意的是，即使在采用这种教学方式时，也不能忽视问题的作用，也必须激发学生的思维，让学生通过心灵来体验数学.
    最后，应该指出，理性精神的缺失，是我国传统文化的痼疾.在我们的文化中，从来就没有把数学看成精神层面的东西.数学对我国传统的文化观念，发挥的作用微乎其微；即使对现代数学的学习，其着眼点也主要出于其应用价值.现代数学所有的发展和变化，都是数学的理性探索精神的表现.因此，提高民族的理性精神，正是我们的数学教育对提高民族素质所能作出的最大贡献.我相信，只有明确了这一点，我们的数学教育改革才能避开一系列的误区，才能跳出实用主义的藩篱，走向更加美好的明天.