数学课改新视点：数学思维方式的有效路径

张定强，西北师范大学教育学院（甘肃　兰州　730070）.

    数学课程改革已经进入到一个新的阶段，这个阶段的一个显著特点就是数学课堂教学的革新，其本质是学生数学思维方式的培养.到底数学思维方式的本质含义是什么？为什么要培养学生的数学思维方式？如何培养学生的数学思维方式？成为当前课改必须认真思考的问题.本文主要对这三个问题作以论述，以期和同行一起，探索学生数学思维方式培养之途.
    一、什么是数学思维方式
    1.数学思维方式的含义
    思维是有意识的大脑对客观事物能动的、间接的和概括的反映.[1]这种反应是一个相当复杂的过程，参与了人的态度、认知、意识、情感等因素，形成了不同的认识路径，这种不同的认识路径既有共性，又有差异性，反映出的就是不同的思维方式.即思维方式是人们对客观事物中的一些现象、问题进行观察、分析、推理、判断、决策等过程中形成的动态的思维路径.思维及其方式决定着一个人的思维力，这种思维力是人的素质一个表征，它反映着一个人能否有效地分析问题和解决问题.有些人善于集中思维、有些人善于发散思维，这种不同的思维方式长期使用就会成为一个人的思维定势，进而会形成人的不同性格，不同的认知结构.思维方式的不同决定了一个人做事和处理问题的风格和行为的不同.不断地优化与反省思维就是一个人进步的表现.一个不想思考的人是顽固者，一个不能思考的人是傻瓜，一个不敢思考的人是奴隶.[2]而善于思考，勇于探索的人才是思维的主人，才能做自己的主人，一个善于思考的民族才是富有生命力的民族，作为数学教育就是担当培养和优化学生数学思维方式的重任.
    数学思维方式是人们在遇到问题时有意识地应用数学知识、思想、方法等去思考解决问题的过程中所形成的途径，不同的人有不同的思维途径.这种途径通常表现为对问题的迅速的进行检试、模式识别、知识搜集、方法探试、解决尝试等路径.宏观上审视路径发现有综合思维方式与分析思维方式；有发散思维方式与聚合思维方式；还有正向思维方式与逆向思维方式以及再现性思维和创造性思维方式等.[3]具体审视有观察、分析、比较、综合、判断、归纳、类比、反思、批判等方式，仔细剖析就是我们常说的数学方法在解决问题的过程中所具体表现出的路径.由于数学知识、思想、方法、经验等参与问题产生、解决的全过程，因此数学思维方式是由掌握了一定数学知识的人借助于数学思维进行的一种思维活动，这种思维活动的结构中包括逻辑、分析、观察以及数学活动和数学经验，参与思维的成分主要有数学符号、数学命题、数学证明、数学运算等，这些思维要素的参与具有抽象性、多角度性、技巧性等.如在解决问题的过程中，数学思维方式的一个显著特点就是将问题数学化、进而建构数学模型、再对模型进行反思、推广、延伸、提炼，使之具有更大的普适性，这就使数学的思维方式与其他学科的思维方式有了质的差异.也正是由于数学思维方式体现出数量化、模式化、精细化、最优化等特性，就使得数学思维方式对学生的发展具有其他学科不可替代的重要价值.
    2.数学思维方式的基本特点
    数学思维方式不仅仅表现为解决问题、探寻规律的过程，而且也是人们心智训练的重要途径，特别对推理、记忆力、反思力、意志力的提升具有独有的功效，主要缘于数学思维的问题、材料、过程、步骤、阶段、内容等方面显现出的思维力量.如统计思维、概率思维、确定性思维、形象思维、抽象思维等思维类型所形成的思维力量、所蕴藏的本质含义、所承载的教育价值，使得数学思维方式具有十分显著的特点.具体地讲有如下几点：
    数学思维方式的目的特点：数学思维方式是目的性比较强的一种思维，对于一个具体的数学问题，人们在思考中会紧紧围绕着问题寻求数学模式，或者创新数学模式，思维始终与目标一致、并能及时进行调适、决策、建构图式、做出预见，朝着既定的目标迈进，这在问题解决过程中表现得最为突出.
    数学思维方式的过程特点：数学思维过程是一个复杂的心理活动过程，在目的性、问题性、概括性、逻辑性的导引下，参与思维的感觉、知觉、表象、概念、判断、推理及数学知识、思想、方法等基本元素与情感要素整合，借助于分析、综合，抽象、概括，归类、比较，系统化和具体化处理等环节形成对问题提出、问题解决、问题反思的独有的过程体系.
    数学思维方式的结构特点：数学思维不是漫无边际的思考过程，它会形成一种思维模式，遵循一定的思维程式，形成一定的思维结构，可概述为确定目标、接受信息、加工编码、概括抽象、操作运用、反思检验、获得成功.
    数学思维方式的非认知特点：由于数学思维的材料是经过抽象概括出来的，具有一定的难度，需要一定的支持力量，除了数学自身的自然性、有用性、清楚性，[4]以及数学追求一种和谐和秩序，追求一种普适性和逻辑的完美性外，[5]还需要动机、兴趣、情绪、情感、意志、气质、性格参与其中，以强化解决问题的意志力.
    数学思维方式的方法特点：数学思维是训练人的思维的最好工具，缘于数学自身的基本特征以及由此所形成的数学方法和策略，问题的解决具有多样化的特点，在思考方法的过程中会碰到许多困难和障碍，需要意志力、整合力、灵活性，如公式的变形能力、代换能力、命题的嵌套能力，外部数学信息、内部数学信息、不同分支数学信息之间的联结能力等，使得数学思维在训练思维方法方面具有更大的优势.
    二、为什么要培养学生的数学思维方式
    1.培养学生的数学思维方式是由数学教育的根本目标所决定
    由于时代的发展，数学教育的根本目标发生了重大的变化.在信息社会中，数学教育具有四个方面的主要目标：一是奠基学生良好数学素养，亲身感知数学价值；二是培养学生终身学习数学的习惯和能力，形成尝试和应用数学去解决现实问题的意志；三是使学生形成良好的数学思维方式，能够有效地进行数学交流、数学思考，灵活的应用数学思想方法于现实生活中；四是使学生具备利用数学的思想、方法去处理信息的能力.
    数学教育的目标归根到底是提升学生的数学素养，这种素养就是要使学生形成良好的数学品质、宽阔的数学眼光、敏锐的数学思维，灵活的思维方式去分析问题、解决问题，使之不仅具有综合型的特点，而且具有分析型的特点；不仅具有整体观点分析探究个别的能力，而且能从个别的 东西出发认识整体.形成这种素质的着力点就是培养学生的数学思维方式，教育者必须为学生数学思维方式的优化营造良好的学习环境，不断地开放学生的思维，使归纳思维、类比思维、演绎思维、统计思维、概率思维上一个新的台阶，使数学思维能更好地迁移到生活、学习、劳动的方方面面.
    数学教育的根本目标导引的数学教学过程必须是开放、动态、机敏的一种过程，是一种文化沟通与发展的过程，是让学生借用优美的数学思维方式去更好地认识客观世界，更好地发展自我，认识自我.在数学教育过程中，严格的定义、缜密的推理与表征、比喻，精巧的运算、确定的结论等都能体现出数学思维的风格与特点.而数学思维方式就展现在课堂上点点滴滴的实践活动中、语言叙述中、文字表达中，师生之间的对话思维碰撞中.这种数学教育目标就要求数学教育过程中时刻以数学思维方式的培养为重心，以思维方式的优化为切入点，不管是问题的设计、例题的分析、习题的演练、命题方法的提炼都要展现数学思维方式的精髓性，都要考究提问、讨论、操作等是否激活了学生的思维，思维能否产生火花，思维的灵活性和反应性能否得以舒展.
    《普通高中数学课程标准（实验）》中也都明确强调数学思维方式在数学教育体系中的重要性，如使学生掌握数学的基础知识、基本技能、基本思想，使学生表达清晰、思考有条理，使学生具有实事求是的态度、锲而不舍的精神，使学生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界.[6]从中反映出数学思维方式的培养的重要性，学会数学思维方式也就成为数学课程目标的本真反应，数学课程内容的设计、展现都是围绕着学生数学思维方式的培养来运作.
    2.培养学生的数学思维方式是人的全面发展的特性所决定
    人的全面发展首先是思维的发展，主要体现在思维方式的培养上，好的思维习惯、思维道德、思维品质、思维德性及思维艺术，是一个人全面发展的表现之一，而良好的思维方式将影响人的一生.数学思维方式以其独有的思维魅力参与人的全面发展过程，促进人的整体素质的提高，归因于数学语言可以清晰准确地描述和表达客观现象，数学的知识、思想、方法可以灵巧地解决一些复杂的问题，数学的运算、数学的证明可以用来训练学生的思维能力.
    人的全面发展离不开知识与技能的夯实、过程与方法的历练、情感态度与价值观的提升，由于数学思维方式在参与夯实、历练、提升的过程中具有其他学科不可替代的作用，使得培养学生的数学思维方式成为人生历程中极为重要的途径.良好的数学思维方式具有解放人的思想、开拓人的思路、激发人的创造欲望的功能，特别是在对数学问题进行艰苦的探索过程中，会让人产生渴望成功、奋发拼搏、处于不懈地追求的精神状态，也会产生不断净化人的灵魂、完善人的品格、充实人的思想的作用.数学思维的表达方式：简洁、准确、清晰；数学思维的过程表现：和谐、对称、均匀；数学思维的活动方式：周密、理性、高效，这些都不断地显现出数学思维的魅力，这种魅力渗透到数学教学活动的始末，在思维的启动点、助燃点、闪光点处产生出持久力、牵引力、助推力.如在中心射影观点下研究两条直线之间的对应关系，发现两直线之间的点并非一一对对应，为了使之一一对应，需要在直线上增加无穷远点，而无穷远点的加入破坏了原有直线上的一些固有性质，使之与我们已有的认知发生冲突，而这种冲突就迫使人们转变观念，开阔思路，数学家用高超的想象力改造了直线的结构，不仅与以往的观念相适应，而且使引入的无穷远点能在坐标观点下得以刻画，应用齐次化的思想解决了此问题，据此不断扩展，使得点也有方程，线也有坐标，使点与直线在几何中的位置真正处于平等的地位，提升了人们认识问题的深度，把抽象的点、线、面具体化为方程式，使一一对应更加完美.从中也映照出数学本身既是数学思维的结果，又是科学思维的工具.
    3.培养学生的数学思维方式是社会发展的必然诉求
    作为一种“思想的体操”的数学，各行各业都用到，就像今天识字、阅读一样，数学成为公民必需的文化素养，一个人是否受过这种文化熏陶，在观察世界、思考问题时会有很大差别，有了数学修养的经营者、决策者在面临市场有多种可能的结果、技术路线有多种不同选择的时候，会借助于数学的思想和方法，甚至通过计算来做判断，以避免或减少失误.[7]
    在高速发展的社会中，人们之间需要更多的交流、沟通、合作，需要智慧参与社会发展建设之中，需要有敏锐的思维视野，宽厚的知识体系，来丰富与发展社会，数学作为一种有用的理性工具，用他独特的思想与方法去充实与完善人的思想与方法体系，不断地开阔人的认识视野，促进人类社会的发展.社会的发展需要有良好数学思维方式的人，不管是从事科研工作的人，还是普通的社会建设者，数学中的归纳、类比、分析、综合以及数学中的一些核心概念、公式、方程、模型等都对从事的工作有启迪作用.不管他们从事什么工作，那些深深铭刻于头脑中的数学精神、思维方式、研究方法等都会随时随地发生作用，让他们受益终身.也就是说具有良好数学思维方式会在改变学生的行为方式、生活方式等方面发生重要的作用.
    三、如何培养学生的数学思维方式
    1.从战略的高度确立培养学生数学思维方式的新理念
    由于数学思维方式在人的发展过程中具有独特而又有重要的价值，就需要我们在数学教育中树立培养思维方式优先的理念：在数学课程的建构中以数学思维方式的提升为基点、在数学教学中以数学思维活动的展开与丰富为活动点、在教学模式、方法、内容的选取中，时刻思考如何渗透与培养学生的数学思维方式、在考试评价中以数学思维方式的优化为关键点，在数学教育的每一个细节处，向思维方式的优化要效益.
    只有在思想上高度认识思维方式培养的重要性和紧迫性，才能全面深刻地理解数学课程标准中对思维方式培养的要求，才能站在一个新的高度上对习以为常的问题从数学思维方式提升与优化的角度展开深入的探究，才能使每一位参与数学教育的工作者时时刻刻有思维方式培养的意识.尤其是一线的数学教师，才能在备课方面有意识、有目的的体现思维优化的意识、在教学的实施层面，不断地拓展思维空间、在评价层面具有批判反思意识，从而形成一种数学思维方式的探究文化.
    理念具有先导性，确立了思维方式优化的理念 会使我们在行动上充分面向全体学生的思维及关注个别学生的差异，就能更加注重联系现实生活与社会，关注学生动态思维发展的过程，使之教学模式与思维模式灵巧配合，能及时地开发数学课程资源，针对学生的发展水平及思维特点，创造性地开展教学活动，在开拓思维方式新路径上能够整合挖掘思维因素、优化组合思维成分，灵活应用思维的方法与技巧，做到重点突出，方法得当，措施到位，行动到位.
    2.从实践的层面探索培养学生数学思维方式的新体系
    数学思维方式的提升主要体现在数学教学过程中，好的理念、想法、精髓都要通过数学教学实践途径来实现.具体的实践过程包含在设计过程、实施过程、评价过程中.
    在设计过程中，不论是教学过程的设计、还是作业的设计、考试的设计都要有强烈的动机、开放心态去创造性地体现数学思维方式的培养.突出的一点就是要使学生在探究问题时产生不同的思维方式，让学生在做中经历、感受、体验数学思维的力量、提升数学思维的质量.设计时要经常向自己问这样的问题：通过什么途径来优化提升学生的数学思维方式，教师应当做什么，学生应当做什么，教学资源如何合理使用，并尝试着不断地改进、记录、完善这些问题的答案.使设计的活动能够让学生通过自主、合作、探究等学习方式，掌握必备的知识、技能，提炼数学思想，积累数学活动经验，拓展思维空间，夯实思维基础.
    在实施过程中，不可预测的事件经常发生.在教学用语、活动引导、情感激励等方面思考的重要问题就是如何切入思维、如何升华思维、如何使思维每天有新的体验，进而形成正确的数学思维观，防止出现思维悬滞、偷懒、封闭以及不认真思考现象的发生，随时要点燃学生思维的火花，使之进入现代思维的视域.在教学过程中，主要是通过问题解决、数学活动来培养和深化学生的数学思维方式.当然作业中的思维优化，日常交流中的思维优化也不可轻视，要从思维的意识、思维的方法、思维的习惯养成入手，在教学中点点滴滴渗透思维优化意识.
    在评价过程中，时刻以思维能力的提高为判断教学效果的主线，在平时的教学效果反馈中、作业批改中、考试改进中要经常地反复地思考思维方式提升的幅度、力度，产生的效果.不管在即时评价中，还是在发展性评价中，每一个实施效果的检测都要为学生塔建思维发展的适宜平台，才能使学生的思维更加具有开放性、发散性、审美性.为学生创设易于他们接受的问题情景，在一个十分友好地界面上进行交流、分析思考，使学生在评价的过程中能找到数学思维方式的着力点.只有从不同的角度引发学生在学习过程中审视数学思维方式问题，才能真正地树立思维优化意识.才能在交流中产生、在反思中升华、在问题解决中提高、在经验与知识积累中发展数学思维能力.
    3.从发展的视角创新培养学生数学思维方式的新路径
    社会是不断进步的，人是不断发展的，数学也是如此.作为数学教育工作者，要有挑战思维的策略和意识，不断推出克服思维僵化的策略.用发展的视角培养学生的数学思维方式就是要理清数学发展的趋势与脉搏，探讨与论证时代发展的特点，找准数学思维培养的切入点，打开思维培养的新路径.纵观20世纪下半叶以来数学的特点，一个最大进展就是它的应用性不断拓展，那么培养学生的数学应用意识和应用能力就是开拓培养数学思维方式的新途径，以现实中的实际事例为突破口，帮助学生更直观、更深刻地理解数学的内容、思想和方法，让学生真正懂得数学究竟是什么.其中重要的是发展学生“数学”地思考问题的能力.数学的确为我们提供了一些普遍适用并且强有力的思考方式，包括直观判断、归纳类比、抽象化、逻辑分析、建立模型、将纷繁的现象系统化（公理化）、运用数据进行推断、最优化等，用这些方式思考现实世界中的问题，可以使学生更好地了解周围的世界；使学生具有科学的精神、理性的思维和创新的本领；使学生充满自信和坚韧.
    实践一直是数学发展的丰富源泉，数学脱离了现实就会变成“无源之水”、“无本之木”.因此，数学教育就要联系学生的日常生活实际，增加数学问题的趣味性与现实性，把数学呈现为学生容易接受的“教育形态”，在实践中去优化学生的数学思维方式.为此用发展的观点去为学生开拓数学思维方式培养的新路径，就要从心灵建筑的角度设计、实施、评价展开数学教育活动，富有情感的去选择具有时代感的现实事例，在数学教育中的实践中，渗透数学核心思想，注重对数和符号的理解、应用和表达，削弱繁琐的计算，发挥图形直观的功能，“返璞归真”，适度的“非形式化”，去为学生思维与心灵的发展营造良好的平台，真正使学生的数学思维水平上一个新台阶.