课堂教学“生长点”，培养学生的数学思维的几

董荣森，江苏省怀仁中学数学高级教师；何志奇，江苏省天一中学.

    在一次“聚焦课堂—生长课堂”教学研讨活动中，笔者听了三节“同课异构”研讨课，课题为“参数方程的意义”（苏教版选修4-4）.三位执教教师的教学风格迥异，各具特色和优势，但三节课都存在一个问题：教师非常重视自己的“教”，课堂气氛比较沉闷、死板，学生的自主性、积极性没能得到很好地调动与激发.笔者想，是因为听课的教师多，学生感到紧张而拘谨，还是因为教师对学生思维关注得不够而造成的呢？新课程理念倡导：“数学教学活动必须以学生的发展为本，培养学生学会用数学思维来思考问题，用数学的方法解决问题，用数学的语言表达数学问题.”这就要求我们在数学教育教学实践中，要时时刻刻关注学生的思维，要在真正意义上找到适合学生情况、能有效促进学生思维发展的生长点.本文以这三节课中的部分教学片断为例，探究如何寻找数学课堂教学中促进学生思维发展的“生长点”.
    一、教师要创设适合学情的情境，培养学生的抽象思维能力
    参数方程的意义是本节课教学中的一个重点，也是一个难点.在传统教学中常常是由教师直接给出参数方程的定义，然后对照定义进行例题分析与讲解.在新课程理念下，如何创设情境激发学生的学习热情，如何引导学生自主建构新知，培养学生的逻辑思维能力等，值得大家思考与研究.
    【教学片断1】
    （教师运用多媒体PPT展示，如图1）.
    师：相信大家对这张图片肯定很熟悉，是什么游戏？
    生：愤怒的小鸟.
    师：根据这个游戏，你能提出什么问题？
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    【评析】教师创设“愤怒的小鸟”游戏情境进行新课导入，缓解了上课前紧张的课堂气氛，也迎合了学生的喜好，符合学生的年龄特征和认知需求，激发了学生的兴趣.接着教师让学生将问题情境数学化并提出问题，有利于培养学生的抽象思维能力，是本节课的亮点.在平时的课堂教学中，我们不难发现课堂上由学生提出的问题少之又少，几乎所有问题的提出都是由教师包办.当然，如果教师能够在细节处理上再多一点雕琢，将会创造更多的精彩生成.例如，学生提出“求小鸟飞行的轨迹”时，引导学生思考“如何用速度和时间来刻画小鸟飞行过程中所在的位置？”由此导入新课将水到渠成.
    二、教师要把握问题的多元表征，培养学生的逻辑思维能力
    众所周知，对一个数学对象的描述可以是多渠道、多方位的，可以用命题的陈述性语言来描述，可以用图形的表征性语言来描述，也可以用解析式描述等，这就构成了数学多元表征的客观因素.因此，教师在引导学生建构参数方程的定义时，应把握“问题的多元表征”，运用学生已有的知识与经验，引导学生主动建构新知.
    【教学片断2】
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    师：请同学们说说你是怎么操作的？
    G312Y705.jpg：这是二次函数.
    师：哦，你知道它是二次函数图象，为什么？
    G312Y706.jpg：我和他一样的.
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    师：你们为什么这么认为，我们来求轨迹方程.先要建立直角坐标系，还有什么方法来探究二次函数方程？
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    师：那你能否证明一下这是一个二次函数？
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    师：由此可以看出大家是正确的，这是不是该曲线的方程呢？
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    （教师通过PPT给出参数方程的定义.）
    师：大家尝试一下：刚刚给出的式子是不是曲线的参数方程？结合定义来叙述.
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    师：比如两个人不认识，经过第三个人介绍后，认识了.
    【评析】“问题的多元表征”强调数学概念心理表征的多元性，强调概念表征的不同方面的相互渗透，更重要的是强调数学概念的心理表征往往包含多个不同的成分，这些成分对于知识的正确理解都具有重要意义.从整个教学过程来看，教师感到好像比较顺畅，其实学生在学习过程中有些地方还是囫囵吞枣，没有真正理解.学生比较难理解的是参数方程的意义，如：为什么要通过引入参数，运用参数方程来刻画变量x与y之间的关系？笔者认为在教学中要让学生明白：对于“刻画两变量之间关系”这一问题的表征是多元的，当我们直接建立x与y的关系比较困难时，可以通过引入参变量间接地来建立联系，从特殊到一般来构建参数方程的概念.
    三、教师要引导学生归纳提炼，培养学生的概括能力
    从教学的指向和最终目的来看，学生是学习和发展的主体，教师的“教”必须通过促进学生主动地“学”才能实现学生发展这个目标，教师包办代替是毫无意义的，为发展学生数学思维而教是落实数学学习发展性主体的基本要求.
    【教学片断3】
    1.直线的参数方程
    师：如图4，平面内有一个质点做匀速直线运动，过点A（2，1），速度为v=（2，-1），求此运动轨迹的参数方程.（学生活动.）
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    师：关于参数的选择总结：与直线运动有关，通常以时间t为参数.
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    师：变式：如果是上半圆呢？
    生：只要取θ∈[0，π].
    师：与转动有关时，通常选择角为参数.
    【评析】在教学过程中，教师引导学生选择合适的参数来求直线的参数方程，求圆心在原点的圆的参数方程，并通过变式来突出参数的意义，应该说比较好.不足：在参数的选择上，教师不要包办，而应该让学生来归纳、提炼与总结，更好地培养学生的概括能力.从认知角度来说，由学生自己通过探索、归纳、总结出的结论才是最有价值的，也是学生在已有知识经验中真正地构建新知.
    四、教师要关注学生思维的暴露，培养学生的创新能力
    受中国传统文化的影响，在教学活动中，常常强调教师的权威而忽视对学生的尊重，教师常常不自觉地牢牢控制学生的学习行为，要求学生的学习行为必须配合教师的教.
    【教学片断4】
    师：求轨迹参数方程的一般步骤是什么？
    （让学生回忆求轨迹方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简、证明.）
    例1　如图5，半径为R的圆，A点在x轴上，C点在y轴上，一质点P从点A沿圆弧运动到C，求点P运动轨迹的参数方程.
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    师：通过我的提示与你的思考，对参数方程有没有全新的认识？
    生：参数只负责“媒介”的关系.
    师：选择哪个简洁呢？为什么？
    生： ①.
    【评析】在刻画点P的位置时，教师要大胆地让学生自由选择合理的参数，让学生的思维充分地暴露；教师不要一味地牵着学生的鼻子走，束缚了学生的思维.例如，在参数的选择时，让学生自由选择，可以是角，可以是点P的横坐标，也可以是点P的纵坐标，等等.有人说：“聪明的教师用1000种方法教一个学生，愚笨的教师用一种方法教1000个学生.”因此，教师要充分利用学生的思维活动差异性和概念表征的多元性，创设出多样化的教学情境，引发学生的数学思考，给学生提供探索数学规律、发现数学本质的机会，以此来引领学生在教学活动中学得更有效，培养学生的创新能力.
    【教学片断5】
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    生：可以直接给算出来比较（引起整个教室内师生的哄堂大笑）.
    【评析】课堂教学活动是在一个复杂的教学生态系统中展开的，数学教学活动是教材、教师、学生、媒体、环境等多个因素相互影响与作用，促进学生认知水平增长的一个动态变化过程.教师举此例的本意是想让学生说出通过运用“1”这个中介来比较这两个数的大小，以此来说明参数的“中介”作用，而学生说出“直接算出来”出乎教师的预料.由此可以看出教师的思维和学生的想法存在着差异，暴露出教师对学生的认知把握是不够的，也说明教师举例不够恰当.
    总之，新课程理念下的数学课堂教学要求教师的“教”要落在学生的“学”上，要让学生积极、主动地掌握数学学科的基础知识和基本技能，发展学生的数学思维，养成良好的学习习惯，使其个性得到张扬，意志、品质、情感和行为能力得以充分发展.因此，教师要摆正位置，从过去的以自我为中心的圈子里走出来，以学生为主体，以他们的需要为中心开展教学活动，积极寻找数学课堂教学中思维的“生长点”，不断地改进我们的课堂教学，让数学课堂教学更有效，让学生思维更好地发展，这样才能真正实现新课标的要求.