以三次函数的对称性为背景的创新试题创新分析

三次函数的对称性在课本中虽很少涉及，但以三次函数的对称性为背景的创新试题常常出现在各地高考或模拟考试中，考查利用导数研究函数的性质，考查函数与方程思想,考查考生熟练应用所学知识解决问题的能力,考查考生创新能力.下面就例析几道以三次函数的对称性为背景的创新试题，以助同学们备考.
　　先介绍三次函数的对称性：
　　三次函数f (x)=ax3+bx2+cx+d (a≠0)是中心对称图形，其对称中心是(-b3a,f (-b3a)).
　　证明:f (x)=ax3+bx2+cx+d=a(x+b3a)3+(c-b23a)(x+b3a)+f (-b3a).易知g(x)=ax3+(c-b23a)x是奇函数，图象关于原点对称，则f (x)图象关于点(-b3a,f (-b3a))对称.
　　通过求其导数还可以得出:y=f (x)图象的对称中心在导函数y=f ′(x)的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导数为零的点.
　　根据三次函数的对称性可以命制许多创新题，下面举例分析，期望达到抛砖引玉的效果，以引发更多关于相似问题的探讨,从而提高学生解决问题的能力,培养学生的创新能力.
　　例1对于三次函数f (x)=ax3+bx2+cx+d (a≠0)，定义（1）f (x)的导数f ′(x) （也叫f (x)一阶导数）的导数f ″(x)为f (x)的二阶导数，若方程f ″(x)=0有实数解x0，则称点(x0,f (x0)为函数y=f (x)的“拐点”；定义（2）设x0为常数，若定义在R上的函数y=f (x)对于定义域内的一切实数x，都有f (x0+x)+f (x0-x)=2f (x0)恒成立，则函数y=f (x)的图象关于点(x0,f (x0)对称.
　　（1）己知f (x)=x3-3x2+2x+2，求函数f (x)的“拐点”A的坐标;
　　（2）检验（1）中的函数f (x)的图象是否关于“拐点”A对称;
　　（3）对于任意的三次函数f (x)=ax3+bx2+cx+d (a≠0)写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）.
　　 解：（1）依题意，得：f ′(x)=3x2-6x+2，所以f ″(x)=6x-6.由f ″(x)=0，得x=1，f (1)=2，所以f (x)=x3-3x2+2x+2的“拐点”坐标是(1,2).
　　（2）由(1)知“拐点”坐标是(1,2). 而f (1+x)+f (1-x)=(1+x)3-3(1+x)2+2(1+x)+2+(1-x)3-3(1-x)2+2(1-x)+2=4=2f (1)，由定义(2)知：f (x)=x3-3x2+2x+2的图象关于点(1,2)对称.
　　 （3）一般地，三次函数f (x)=ax3+bx2+cx+d (a≠0)的“拐点”是(-b3a,f (-b3a))，它就是f (x)图象的对称中心.或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数 .
　　例2对于三次函数f (x)=ax3+bx2+cx+d (a≠0)，给出定义：设f ′(x)是函数y=f (x)的导数，f ″(x)是f ′(x)的导数，若方程f ″(x)=0有实数解x0，则称点(x0,f (x0))为函数y=f (x)的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.请你根据这一发现判断下列命题:
　　 ①任意三次函数的图象都关于点(-b3a,f (-b3a)对称.
　　 ②存在三次函数y=f (x)，f ′(x)=0有实数解x0，点(x0,f (x0))为函数y=f (x)的图象的对称中心.
　　 ③存在三次函数的图象有两个及两个以上对称中心.
　　 ④若函数g(x)=13x3-12x2+3x-512+cos(x-π+12)，则g(12013)+g(22013)+g(32013)+g(42013)+…+g(20122013)=1006.
　　其中正确命题的序号为 (把所有正确命题的序号都填上).
　　解析:对于①②明显正确；对于③，任意的三次函数满足f ″(x)=6ax+2b，而f ″(x)=0只有一个根，所以任意三次函数的图象只有一个对称中心(-b3a,f (-b3a))，③错；对于④，令u(x)=13x3-12x2+3x-512，v(x)=cos(x-π+12)，则u″(x)=2x-1，所以u(x)的图象关于点(12,-12)对称.同理，函数v(x)的图象关于点(12,0)对称，所以u(12013)+u(22013)+u(32013)+…+u(20122013)+v(12013)+v(22013)+v(32013)+…+v(20122013)=1006［u(12013)+u(20122013)］=1006×2×(-12)=-1006 ，④错.故正确命题的序号为①②.
　　点评：该两题属于信息创新题.要求学生对新颖的信息、情境采取有效方法，综合应用所学的数学知识、思想和方法，提出解决问题的思路，创造性的解决问题.既考查了中学数学的知识和数学思想方法，又考查了考生进入高等院校继续学习的潜能.若对三次函数的对称性有了解的话，对该两题的解答应不在话下.
　　本题除了上述用待定系数法结合均值不等式求最小值外，还可以活用“1”代换和巧配常数因子，并结合均值不等式和柯西不等式的变式等方法求最值，解法从略.
　　［山东省德州市第一中学（253000）］