半导体物理学的迅速发展及随之而来的晶体管的发明，使科学家们早在50年代就设想发明半导体激光器，60年代早期，很多小组竞相进行这方面的研究。在理论分析方面，以莫斯科列别捷夫物理研究所的尼古拉·巴索夫的工作最为杰出。在1962年7月召开的固体器件研究国际会议上，美国麻省理工学院林肯实验室的两名学者克耶斯（Keyes）和奎斯特（Quist）报告了砷化镓材料的光发射现象，这引起通用电气研究实验室工程师哈尔（Hall）的极大兴趣，在会后回家的火车上他写下了有关数据。回到家后，哈尔立即制定了研制半导体激光器的计划，并与其他研究人员一道，经数周奋斗，他们的计划获得成功。像晶体二极管一样，半导体激光器也以材料的p-n结特性为敞弗搬煌植号邦铜鲍扩基础，且外观亦与前者类似，因此，半导体激光器常被称为二极管激光器或激光二极管。早期的激光二极管有很多实际限制，例如，只能在77K低温下以微秒脉冲工作，过了8年多时间，才由贝尔实验室和列宁格勒（现在的圣彼得堡）约飞（Ioffe）物理研究所制造出能在室温下工作的连续器件。而足够可靠的半导体激光器则直到70年代中期才出现。半导体激光器体积非常小，最小的只有米粒那样大。工作波长依赖于激光材料，一般为0.6～1.55微米，由于多种应用的需要，更短波长的器件在发展中。据报导，以Ⅱ～Ⅳ价元素的化合物，如ZnSe为工作物质的激光器，低温下已得到0.46微米的输出，而波长0.50～0.51微米的室温连续器件输出功率已达10毫瓦以上。但迄今尚未实现商品化。光纤通信是半导体激光可预见的最重要的应用领域，一方面是世界范围的远距离海底光纤通信，另一方面则是各种地区网。后者包括高速计算机网、航空电子系统、卫生通讯网、高清晰度闭路电视网等。但就目前而言，激光唱机是这类器件的最大市场。其他应用包括高速打印、自由空间光通信、固体激光泵浦源、激光指示，及各种医疗应用等。晶体管利用一种称为半导体的材料的特殊性能。电流由运动的电子承载。普通的金属，如铜是电的好导体，因为它们的电子没有紧密的和原子核相连，很容易被一个正电荷吸引。其它的物体，例如橡胶，是绝缘体 --电的不良导体--因为它们的电子不能自由运动。半导体，正如它们的名字暗示的那样，处于两者之间，它们通常情况下象绝缘体，但是在某种条件下会导电。
本征半导体：完全不含杂质且无晶格缺陷的纯净半导体称为本征半导体。本征半导体一般是指其导电能力主要由材料的本征激发决定的纯净半导体。完全纯净的、不含杂质的半导体称为本征半导体。杂质半导体：本征半导体中掺入某些微量元素作为杂质，可使半导体的导电性发生显著变化。掺入的杂质主要是三价或五价元素。掺入杂质的本征半导体称为杂质半导体。现在的初中数学比之前的更简单了还是更难了的话题一直都有所讨论，我来谈谈自己的几点认识和看法：从内容上来看，之前初中数学课本中的很多内容都被取消了或改为选学的内容，像乘法公式中的立方差和立方和公式，三角函数中的余切，相似中的射影定理，圆中的相交弦定理、切割线定理、圆和圆的位置关系等，这些内容基本上在现在的初中课本上都消失了。但在之前的课本上是必须的内容，也是考点，在中考的试卷中经常会考查到。随着课程改革，素质教育的推进，数学的教材、考点也也有了一些改变，很多的内容被精简了，考查的方向、重难点、能力素养也有了一些改变。现在初中数学与之前变简单了吗？我看未必，虽然说之前的一些内容现在不学了，看似内容精简了，但基本的框架未变，现在的试卷难度与之前的试卷相比，更加灵活多变，侧重对学生的综合能力和素质的考查，数学题更与实际问题结合，对知识迁移和灵活运用有了更高的要求，因此学习和考试的难度是不降反增的，翻看试卷就可以窥探一二。陕西省2003年试卷
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本征半导体：完全不含杂质且无晶格缺陷的纯净半导体称为本征半导体。本征半导体一般是指其导电能力主要由材料的本征激发决定的纯净半导体。完全纯净的、不含杂质的半导体称为本征半导体。杂质半导体：本征半导体中掺入某些微量元素作为杂质，可使半导体的导电性发生显著变化。掺入的杂质主要是三价或五价元素。掺入杂质的本征半导体称为杂质半导体。
半导体射线探测器最初约年研究核射线在晶体上作用, 表明射线的存在引起导电现象。但是, 由于测得的幅度小、存在极化现象以及缺乏合适的材料, 很长时间以来阻碍用晶体作为粒子探测器。就在这个时期, 气体探测器象电离室、正比计数器、盖革计数器广泛地发展起来。年, 范· 希尔顿首先较实际地讨论了“ 传导计数器” 。在晶体上沉积两个电极, 构成一种固体电离室。为分离人射粒子产生的载流子, 须外加电压。许多人试验了各种各样的晶体。范· 希尔顿和霍夫施塔特研究了这类探测器的主要性质, 产生一对电子一空穴对需要的平均能量, 对射线作用的响应以及电荷收集时间。并看出这类探测器有一系列优点由于有高的阻止能力, 人射粒子的射程小硅能吸收质子, 而质子在空气中射程为, 产生一对载流子需要的能量比气体小十倍, 在产生载流子的数目上有小的统计涨落, 又比气体计数器响应快。但是, 尽管霍夫施塔特作了许多实验,使用这种探侧器仍受一些限制, 像内极化效应能减小外加电场和捕捉载流子, 造成电荷收集上的偏差。为了避免捕捉载流子, 需外加一个足够强的电场。结果, 在扩散一结, 或金属半导体接触处形成一空间电荷区。该区称为耗尽层。它具有不捕捉载流子的性质。因而, 核射线人射到该区后, 产生电子一空穴载流子对, 能自由地、迅速向电极移动, 最终被收集。测得的脉冲高度正比于射线在耗尽层里的能量损失。要制成具有这种耗尽层器件是在年以后, 这与制成很纯、长寿命的半导体材料有关。麦克· 凯在贝尔电话实验室, 拉克· 霍罗威茨在普杜厄大学首先发展了这类探测器。年, 麦克· 凯用反偏锗二极管探测“ 。的粒子, 并研究所产生的脉冲高度随所加偏压而变。不久以后, 拉克· 霍罗威茨及其同事者测量一尸结二极管对。的粒子, “ , 的刀粒子的反应。麦克· 凯进行了类似的实验, 得到计数率达, 以及产生一对空穴一电子对需要的能量为土。。麦克· 凯还观察到,加于硅、锗一结二极管的偏压接近击穿电压时, 用一粒子轰击, 有载流子倍增现象。在普杜厄大学, 西蒙注意到用粒子轰击金一锗二极管时产生的脉冲。在此基础上, 迈耶证实脉冲幅度正比于人射粒子的能量, 用有效面积为二“ 的探测器, 测。的粒子, 得到的分辨率为。艾拉佩蒂安茨研究了一结二极管的性质, 载维斯首先制备了金一硅面垒型探测器。年以后, 许多人做了大量工作, 发表了广泛的著作。沃尔特等人讨论金一锗面垒型探测器的制备和性质, 制成有效面积为“ 的探测器, 并用探测器, 工作在,测洲的粒子, 分辨率为。迈耶完成一系列锗、硅面垒型探测器的实验用粒子轰击。年, 联合国和欧洲的一些实验室,制备和研究这类探测器。在华盛顿、加丁林堡、阿什维尔会议上发表一些成果。如一结和面垒探测器的电学性质, 表面状态的影响, 减少漏电流, 脉冲上升时间以及核物理应用等等。这种探测器的发展还与相连的电子器件有很大关系。因为, 要避免探测器的输出脉冲高度随所加偏压而变, 需一种带电容反馈的电荷灵敏放大器。加之, 探测器输出信号幅度很小, 必需使用低噪声前置放大器, 以提高信噪比。为一一满足上述两个条件, 一般用电子管或晶体管握尔曼放大器, 线幅贡献为。在使用场效应晶体管后, 进一步改善了分辨率。为了扩大这种探测器的应用, 需增大有效体积如吸收电子需厚硅。采用一般工艺限制有效厚度, 用高阻硅、高反偏压获得有效厚度约, 远远满足不了要求。因此, 年, 佩尔提出一种新方法, 大大推动这种探测器的发展。即在型半导体里用施主杂质补偿受主杂质, 能获得一种电阻率很高的材料虽然不是本征半导体。因为铿容易电离, 铿离子又有高的迁移率, 就选铿作为施主杂质。制备的工艺过程大致如下先把铿扩散到型硅表面, 构成一结构, 加上反向偏压, 并升温, 锉离一子向区漂移, 形成一一结构, 有效厚度可达。这种探测器很适于作转换电子分光器, 和多道幅度分析器组合, 可研究短寿命发射, 但对卜射线的效率低, 因硅的原子序数低。为克服这一点, 采用锉漂移入锗的方法锗的原子序数为。年, 弗莱克首先用型锗口,按照佩尔方法, 制成半导体探测器,铿漂移长度为, 测‘“ 、的的射线, 得到半峰值宽度为直到年以前, 所有的探测器都是平面型, 有效体积受铿通过晶体截面积到“和补偿厚度的限制获得补偿厚度约, 漂移时间要个月, 因此, 有效体积大于到” 是困难的。为克服这种缺点, 进一步发展了同轴型探测器。年, 制成高分辨率大体积同轴探测器。之后, 随着电子工业的发展而迅速发展。有效体积一般可达几十“ , 最大可达一百多“ , 很适于一、一射线的探测。年以后广泛地用于各个部门。最近几年, 半导体探测器在理论研究和实际应用上都有很大发展。
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半导体物理学的迅速发展及随之而来的晶体管的发明，使科学家们早在50年代就设想发明半导体激光器，60年代早期，很多小组竞相进行这方面的研究。在理论分析方面，以莫斯科列别捷夫物理研究所的尼古拉·巴索夫的工作最为杰出。在1962年7月召开的固体器件研究国际会议上，美国麻省理工学院林肯实验室的两名学者克耶斯（Keyes）和奎斯特（Quist）报告了砷化镓材料的光发射现象，这引起通用电气研究实验室工程师哈尔（Hall）的极大兴趣，在会后回家的火车上他写下了有关数据。回到家后，哈尔立即制定了研制半导体激光器的计划，并与其他研究人员一道，经数周奋斗，他们的计划获得成功。像晶体二极管一样，半导体激光器也以材料的p-n结特性为敞弗搬煌植号邦铜鲍扩基础，且外观亦与前者类似，因此，半导体激光器常被称为二极管激光器或激光二极管。早期的激光二极管有很多实际限制，例如，只能在77K低温下以微秒脉冲工作，过了8年多时间，才由贝尔实验室和列宁格勒（现在的圣彼得堡）约飞（Ioffe）物理研究所制造出能在室温下工作的连续器件。而足够可靠的半导体激光器则直到70年代中期才出现。半导体激光器体积非常小，最小的只有米粒那样大。工作波长依赖于激光材料，一般为0.6～1.55微米，由于多种应用的需要，更短波长的器件在发展中。据报导，以Ⅱ～Ⅳ价元素的化合物，如ZnSe为工作物质的激光器，低温下已得到0.46微米的输出，而波长0.50～0.51微米的室温连续器件输出功率已达10毫瓦以上。但迄今尚未实现商品化。光纤通信是半导体激光可预见的最重要的应用领域，一方面是世界范围的远距离海底光纤通信，另一方面则是各种地区网。后者包括高速计算机网、航空电子系统、卫生通讯网、高清晰度闭路电视网等。但就目前而言，激光唱机是这类器件的最大市场。其他应用包括高速打印、自由空间光通信、固体激光泵浦源、激光指示，及各种医疗应用等。晶体管利用一种称为半导体的材料的特殊性能。电流由运动的电子承载。普通的金属，如铜是电的好导体，因为它们的电子没有紧密的和原子核相连，很容易被一个正电荷吸引。其它的物体，例如橡胶，是绝缘体 --电的不良导体--因为它们的电子不能自由运动。半导体，正如它们的名字暗示的那样，处于两者之间，它们通常情况下象绝缘体，但是在某种条件下会导电。
半导体物理学的迅速发展及随之而来的晶体管的发明，使科学家们早在50年代就设想发明半导体激光器，60年代早期，很多小组竞相进行这方面的研究。在理论分析方面，以莫斯科列别捷夫物理研究所的尼古拉·巴索夫的工作最为杰出。在1962年7月召开的固体器件研究国际会议上，美国麻省理工学院林肯实验室的两名学者克耶斯（Keyes）和奎斯特（Quist）报告了砷化镓材料的光发射现象，这引起通用电气研究实验室工程师哈尔（Hall）的极大兴趣，在会后回家的火车上他写下了有关数据。回到家后，哈尔立即制定了研制半导体激光器的计划，并与其他研究人员一道，经数周奋斗，他们的计划获得成功。像晶体二极管一样，半导体激光器也以材料的p-n结特性为敞弗搬煌植号邦铜鲍扩基础，且外观亦与前者类似，因此，半导体激光器常被称为二极管激光器或激光二极管。早期的激光二极管有很多实际限制，例如，只能在77K低温下以微秒脉冲工作，过了8年多时间，才由贝尔实验室和列宁格勒（现在的圣彼得堡）约飞（Ioffe）物理研究所制造出能在室温下工作的连续器件。而足够可靠的半导体激光器则直到70年代中期才出现。半导体激光器体积非常小，最小的只有米粒那样大。工作波长依赖于激光材料，一般为0.6～1.55微米，由于多种应用的需要，更短波长的器件在发展中。据报导，以Ⅱ～Ⅳ价元素的化合物，如ZnSe为工作物质的激光器，低温下已得到0.46微米的输出，而波长0.50～0.51微米的室温连续器件输出功率已达10毫瓦以上。但迄今尚未实现商品化。光纤通信是半导体激光可预见的最重要的应用领域，一方面是世界范围的远距离海底光纤通信，另一方面则是各种地区网。后者包括高速计算机网、航空电子系统、卫生通讯网、高清晰度闭路电视网等。但就目前而言，激光唱机是这类器件的最大市场。其他应用包括高速打印、自由空间光通信、固体激光泵浦源、激光指示，及各种医疗应用等。晶体管利用一种称为半导体的材料的特殊性能。电流由运动的电子承载。普通的金属，如铜是电的好导体，因为它们的电子没有紧密的和原子核相连，很容易被一个正电荷吸引。其它的物体，例如橡胶，是绝缘体 --电的不良导体--因为它们的电子不能自由运动。半导体，正如它们的名字暗示的那样，处于两者之间，它们通常情况下象绝缘体，但是在某种条件下会导电。
半导体射线探测器最初约年研究核射线在晶体上作用, 表明射线的存在引起导电现象。但是, 由于测得的幅度小、存在极化现象以及缺乏合适的材料, 很长时间以来阻碍用晶体作为粒子探测器。就在这个时期, 气体探测器象电离室、正比计数器、盖革计数器广泛地发展起来。年, 范· 希尔顿首先较实际地讨论了“ 传导计数器” 。在晶体上沉积两个电极, 构成一种固体电离室。为分离人射粒子产生的载流子, 须外加电压。许多人试验了各种各样的晶体。范· 希尔顿和霍夫施塔特研究了这类探测器的主要性质, 产生一对电子一空穴对需要的平均能量, 对射线作用的响应以及电荷收集时间。并看出这类探测器有一系列优点由于有高的阻止能力, 人射粒子的射程小硅能吸收质子, 而质子在空气中射程为, 产生一对载流子需要的能量比气体小十倍, 在产生载流子的数目上有小的统计涨落, 又比气体计数器响应快。但是, 尽管霍夫施塔特作了许多实验,使用这种探侧器仍受一些限制, 像内极化效应能减小外加电场和捕捉载流子, 造成电荷收集上的偏差。为了避免捕捉载流子, 需外加一个足够强的电场。结果, 在扩散一结, 或金属半导体接触处形成一空间电荷区。该区称为耗尽层。它具有不捕捉载流子的性质。因而, 核射线人射到该区后, 产生电子一空穴载流子对, 能自由地、迅速向电极移动, 最终被收集。测得的脉冲高度正比于射线在耗尽层里的能量损失。要制成具有这种耗尽层器件是在年以后, 这与制成很纯、长寿命的半导体材料有关。麦克· 凯在贝尔电话实验室, 拉克· 霍罗威茨在普杜厄大学首先发展了这类探测器。年, 麦克· 凯用反偏锗二极管探测“ 。的粒子, 并研究所产生的脉冲高度随所加偏压而变。不久以后, 拉克· 霍罗威茨及其同事者测量一尸结二极管对。的粒子, “ , 的刀粒子的反应。麦克· 凯进行了类似的实验, 得到计数率达, 以及产生一对空穴一电子对需要的能量为土。。麦克· 凯还观察到,加于硅、锗一结二极管的偏压接近击穿电压时, 用一粒子轰击, 有载流子倍增现象。在普杜厄大学, 西蒙注意到用粒子轰击金一锗二极管时产生的脉冲。在此基础上, 迈耶证实脉冲幅度正比于人射粒子的能量, 用有效面积为二“ 的探测器, 测。的粒子, 得到的分辨率为。艾拉佩蒂安茨研究了一结二极管的性质, 载维斯首先制备了金一硅面垒型探测器。年以后, 许多人做了大量工作, 发表了广泛的著作。沃尔特等人讨论金一锗面垒型探测器的制备和性质, 制成有效面积为“ 的探测器, 并用探测器, 工作在,测洲的粒子, 分辨率为。迈耶完成一系列锗、硅面垒型探测器的实验用粒子轰击。年, 联合国和欧洲的一些实验室,制备和研究这类探测器。在华盛顿、加丁林堡、阿什维尔会议上发表一些成果。如一结和面垒探测器的电学性质, 表面状态的影响, 减少漏电流, 脉冲上升时间以及核物理应用等等。这种探测器的发展还与相连的电子器件有很大关系。因为, 要避免探测器的输出脉冲高度随所加偏压而变, 需一种带电容反馈的电荷灵敏放大器。加之, 探测器输出信号幅度很小, 必需使用低噪声前置放大器, 以提高信噪比。为一一满足上述两个条件, 一般用电子管或晶体管握尔曼放大器, 线幅贡献为。在使用场效应晶体管后, 进一步改善了分辨率。为了扩大这种探测器的应用, 需增大有效体积如吸收电子需厚硅。采用一般工艺限制有效厚度, 用高阻硅、高反偏压获得有效厚度约, 远远满足不了要求。因此, 年, 佩尔提出一种新方法, 大大推动这种探测器的发展。即在型半导体里用施主杂质补偿受主杂质, 能获得一种电阻率很高的材料虽然不是本征半导体。因为铿容易电离, 铿离子又有高的迁移率, 就选铿作为施主杂质。制备的工艺过程大致如下先把铿扩散到型硅表面, 构成一结构, 加上反向偏压, 并升温, 锉离一子向区漂移, 形成一一结构, 有效厚度可达。这种探测器很适于作转换电子分光器, 和多道幅度分析器组合, 可研究短寿命发射, 但对卜射线的效率低, 因硅的原子序数低。为克服这一点, 采用锉漂移入锗的方法锗的原子序数为。年, 弗莱克首先用型锗口,按照佩尔方法, 制成半导体探测器,铿漂移长度为, 测‘“ 、的的射线, 得到半峰值宽度为直到年以前, 所有的探测器都是平面型, 有效体积受铿通过晶体截面积到“和补偿厚度的限制获得补偿厚度约, 漂移时间要个月, 因此, 有效体积大于到” 是困难的。为克服这种缺点, 进一步发展了同轴型探测器。年, 制成高分辨率大体积同轴探测器。之后, 随着电子工业的发展而迅速发展。有效体积一般可达几十“ , 最大可达一百多“ , 很适于一、一射线的探测。年以后广泛地用于各个部门。最近几年, 半导体探测器在理论研究和实际应用上都有很大发展。
研究人员在康奈尔和康奈尔两维物质之间发现了一个奇异的绝缘体。
通过这样做，他们实现了一个难以捉摸的模型，这个模型是十多年前首次提出的，但科学家们一直未能证明，因为似乎不存在合适的材料。现在研究人员已经建立了正确的平台，他们的突破可能会导致量子器件的进步。
该小组的论文“来自相互缠绕的莫尔带的量子反常霍尔效应”，发表于12月22日 自然 共同的主要作者是前博士后研究员李婷欣和姜胜伟，博士生沈博文和麻省理工学院研究员杨张。
该项目是文理学院物理系副教授麦金辉和工程学院应用与工程物理教授单杰（音译）共享实验室的最新发现。两位研究人员都是康奈尔大学卡夫利纳米科学研究所的成员；他们是通过教务长的纳米科学和微系统工程（NEXT Nano）计划来到康奈尔大学的。
他们的实验室专门研究二维量子材料的电子特性，通常是通过堆叠超薄的半导体单分子膜，使它们稍微不匹配的重叠产生莫尔晶格图案。在那里，电子可以沉积并相互作用，从而表现出一系列的量子行为。
在这个新项目中，研究人员将二碲化钼（MoTe）配对2)含二硒化钨（WSe2)，将它们以180度的角度扭转，这就是所谓的AB堆栈。
在施加电压后，他们观察到了一种称为量子反常霍尔效应的现象。这源于一种称为霍尔效应（Hall effect）的现象，这种现象最早在19世纪末被观察到，在这种现象中，电流流过一个样品，然后被以垂直角度施加的磁场弯曲。
1980年发现的量子霍尔效应是一种超大型的量子霍尔效应，在这种效应中，施加了一个更大的磁场，从而引发了更奇怪的现象：大块样品的内部变成了绝缘体，而电流则沿着外边缘单向移动，电阻量子化为宇宙中基本常数定义的值，而不考虑材料的细节。
量子反常霍尔绝缘体于2013年首次被发现，达到了同样的效果，但没有任何磁场的干预，电子沿着边缘加速，就像在高速公路上一样，没有耗散能量，有点像超导体。
马克说：“很长一段时间以来，人们认为量子霍尔效应需要磁场，但实际上并不需要磁场。”。“那么，磁场的作用是什么来代替的呢？事实证明是的磁性你必须使材料具有磁性。"
微粒2/WSe公司2stack现在加入了为数不多的几种已知的量子反常霍尔绝缘体的行列。但这仅仅是其吸引力的一半。
研究人员发现，只要调整电压，他们就可以半导体堆积成二维拓扑绝缘体，这是量子反常霍尔绝缘体的近亲，只是它存在重复。在一个“副本”中，电子高速公路沿边缘顺时针方向流动，而在另一个“副本”中，则是逆时针方向流动。
物质的这两种状态以前从未在同一体系中得到证明。
在与麻省理工学院合作者梁福（音译）领导的合作者进行磋商后，康奈尔大学的研究小组得知，他们的实验实现了2005年宾夕法尼亚大学物理教授查尔斯·凯恩（Charles Kane）和尤金·梅勒（Eugene Mele）首次提出的石墨烯玩具模型。Kane-Mele模型是第一个二维拓扑绝缘体的理论模型。
“这对我们来说是个惊喜，”麦说。“我们刚刚制造了这种材料并进行了测量。我们看到了量子反常霍尔效应和二维拓扑绝缘体，然后说‘哦，哇，太棒了。’然后我们和麻省理工学院的理论朋友梁福谈了谈。他们进行了计算，发现这种材料实际上实现了一种长期以来人们所追求的凝聚态物质模型。我们从未进行过实验我是说这个。"
像石墨烯云纹材料2/WSe公司2他们在一系列量子态之间进行转换，包括从金属到Mott绝缘体的转变，这是研究小组报告的一个发现 自然 九月。
现在，马克和山的实验室正在研究这种材料的全部潜力，方法是将它与超导体耦合，并用它来建造量子反常霍尔干涉仪，而这两种方法又可以产生量子反常霍尔干涉仪量子比特，量子计算的基本元素。马克也希望他们能找到一种方法来显著提高量子反常霍尔效应发生时的温度，这个温度大约为2开尔文，从而产生高温无耗散导体。
合著者包括博士生李立中、醉涛；以及麻省理工学院和日本筑波国立材料科学研究所的研究人员。
半导体中的电子状态 电子状态指的是电子的运动状态又常简称为电子态，量子态等。半导体之所 以具有异于金属和绝缘体的物理性质是源于半导体内的电子运动规律。 半导体内 的电子运动规律又是由半导体中的电子状态决定的。 晶体是由周期性地排列起来的原子所组成的。 每个原子又包含有原子核和电 子。本章的目的就是研究这些粒子的运动状态。 1.1 周期性势场 晶体中原子的排列是长程有序的，这种现象称为晶体内部结构的周期性。晶体内部 结构的周期性可以用晶格来形象地描绘。 晶格是由无数个相同单元周期性地重复排列组 成的。这种重复排列的单元称为晶胞。晶胞的选取是任意的，其中结构最简单，体积最 小的晶胞叫做原胞。三维晶格的原胞是平行六面体。二维晶格的原胞是平行四边形。一 维晶格的原胞是线段。原胞只含有一个格点，格点位于元胞的顶角上。 （例：二维晶格 和一维晶格的原胞） a r b Rm r′ a2 a1 c d 。。 二维晶格元胞 Rm=3a1+ a2 以任一格点为原点，沿原胞的三个互不平行的边，长度分别等于三个边长的一组矢 量称为原胞的基矢量，简称为基矢。记作 a1 , a2 , a3 。 晶格可以用基矢量来描述。矢量 1 Rm = m1a1 + m2 a2 + m3 a3 = ∑ mi ai i =1 3 ( m1，m2，m3 是任意整数 ) （1-1） 确定了任一格点的位置，称为晶格矢量。 r 和 r = r + Rm 为不同原胞的对应点。二者相 ' 差一个晶格矢量。可以说不同原胞的对应点相差一个晶格矢量。反过来也可以说相差一 个晶格矢量的两点是不同原胞的对应点。通过晶格矢量的平移可以定出所有原胞的位 置，所以 Rm 也叫做晶格平移矢量，晶体内部结构的周期性也叫做晶体的平移对称性。 晶体内部结构的周期性意味着晶体内部不同原胞的对应点处原子的排列情况相同， 晶体的微观物理性质相同。因此，不同原胞的对应点晶体的电子的势能函数相同，即 V (r ) = V (r ' ) = V (r + Rm ) （1-2） 式（1-2）是晶体的周期性势场的数学描述。图 1-1 给出一维周期性势场的示意图。 V1 , V2 , V3 …，分别代表原子 1，2，3，…，的势场，V 代表叠加后的晶体势场。周期性势场中的电子可以有两种运动方式，一是在一个原子的势场中运动，二是 在整个晶体中运动。比如具有能量 E1 或 E2 的电子在可以在原子 1 的势场中运动，根据 量子力学的隧道效应，它还可以通过隧道效应越过势垒 V 到势阱 2，势阱 3，…，中运 动。换言之，周期性势场中，属于某个原子的电子既可以在该原子附近运动，也可以在 其它的原子附近运动， 即可以在整个晶体中运动。 通常把前者称为电子的局域化运动 （相 应的电子波函数称为原子轨道） ，而把后者称为共有化运动（相应的电子波函数称为晶 格轨道） 。局域化运动电子的电子态又称为局域态。共有化运动的电子态又称为扩展态。 晶体中的电子的运动既有局域化的特征又有共有化特征。 如果电子能量较低， 例如图 1-1 中的 E2，在该能态电子受原子核束缚较强，势垒 V－E2 较大。电子从势阱 1 穿过势垒进 入势阱 2 的概率就比较小。对于处在这种能量状态的电子来说，它的共有化运动的程度 就比较小。但对于束缚能较弱的状态 E1，由于势垒 V－E1 的值较小，穿透隧道的概率就 比较大。因此处于状态 E1 的电子共有化的程度比较大。价电子是原子的最外层电子， 受原子的束缚比较弱，因此它们的共有化的特征就比较显著。在研究半导体中的电子状 态时我们最感兴趣的正是价电子的电子状态。 2 V1 V2 V1 V3 V2 V3 V E1 V V V E2 1 2 3 原子 图 1.1a 周期势场示意图 -2 -a 0 a 2 图 1.1b 周期为 a 的一维周期性势场 图 1.1 周期势场示意图 1.2 周期性势场中电子的波函数 布洛赫（Bloch）定理 布洛赫（ ） 布洛赫定理给出了周期性势场中电子的运动状态， 提供了研究晶体中电子运动的理 论基础。 1.2.1 单电子近似（哈崔 福克 Hartree-Fock 近似） 单电子近似（哈崔-福克 近似） 晶 体 是 由 规 则 的 ，周 期 性 排 列 起 来 的 原 子 所 组 成 的 ，每 个 原 子 又 包 含 有 原子核和核外电子。原子核和电子之间、电子和电子之间存在着库仑作用。 因 此 ，它 们 的 运 动 不 是 彼 此 无 关 的 ，应 该 把 它 们 作 为 一 个 体 系 统 一 地 加 以 考 虑 。也 就 是 说 ，晶 体 中 电 子 运 动 的 问 题 是 一 个 复 杂 的 多 体 问 题 。为 使 问 题 简 化 ，可 以 近 似 地 把 每 个 电 子 的 运 动 单 独 地 加 以 考 虑 ，即 在 研 究 一 个 电 子 的 运 动 时 ，把 在 晶 体 中 各 处 的 其 它 电 子 和 原 子 核 对 这 个 电 子 的 库 仑 作 用 ，按 照 它 们 的 几 率 分 布 ，平 均 地 加 以 考 虑 。也 就 是 说 ，其 它 电 子 和 原 子 核 对 这 个 电 子 3 的 作 用 是 为 这 个 电 子 提 供 了 一 个 势 场 。这 种 近 似 称 为 单 电 子 近 似 。单 电 子 近 似 方 法 也 被 称 之 为 哈 崔 -福 克 方 法 。 这 样 ， 一 个 电 子 所 受 的 库 仑 作 用 仅 随 它 自 己 的 位 置 的 变 化 而 变 化 。或 者 说 ，一 个 电 子 的 势 函 数 仅 仅 是 它 自 己 的 坐 标 的 函 数 。于 是 它 的 运 动 便 由 下 面 仅 包 含 这 个 电 子 的 坐 标 的 波 动 方 程 式 所 决 定 2 2 + V (r )ψ (r ) = E ψ (r ) 2m 式中 2 2 — 电子的动能算符 2m （ 1-3） V (r ) — 电子的势能算符，它具有晶格的周期性 — 电子的能量 — 电子的波函数 E ψ (r ) = h ， 2π h 为普朗克常数， 称为约化普朗克常数 1.2.2 布 洛 定 理 布 洛 定 理 指 出 ： 如 果 势 函 数 V (r ) 有 晶 格 的 周 期 性 ， 即 V (r ) = V (r + Rm ) 〔 公 式 （ 1-2） 〕则 方 程 式 （ 1-3） 的 解 ψ (r ) 具 有 如 下 形 式 ψ k (r ) = eik r uk (r ) 式 中 函 数 u k (r ) 具 有 晶 格 的 周 期 性 ， 即 （ 1-4） uk (r + Rm ) = uk (r ) 以上陈述即为布洛定理。 （ 1-5） 布 洛 定 理 中 出 现 的 矢 量 Rm 为 式 （ 1-1） 所 定 义 的 晶 格 平 移 矢 量 。 矢 量 k 4 称 为 波 矢 量 ，是 任 意 实 数 矢 量 。 k = 2π λ 称为波数， λ 为电子波长。 k 是标志 电 子 运 动 状 态 的 量 。 由 式 （ 1-4） 所 确 定 的 波 函 数 称 为 布 洛 赫 函 数 或 布 洛 赫 波。 由于 ψ k (r + Rm ) = eik (r +R )uk (r + Rm ) m = = 即 eik Rm eik r uk (r ) eik Rmψ k (r ) ψ k (r + Rm ) = eik R ψ k (r ) m （ 1-6） 式 （ 1-6） 是 布 洛 赫 定 理 的 另 一 种 表 述 。 式 （ 1-6） 说 明 ， 晶 体 中 不 同 原 胞 对 应点处的电子波函数只差一个模量为 1 的因子 e ik Rm 也就是说，在晶体中各 个 原 胞 对 应 点 处 电 子 出 现 的 概 率 相 同 ，即 电 子 可 以 在 整 个 晶 体 中 运 动 — 共 有 化运动。 我 们 现 在 考 察 波 矢 量 k 和 波 矢 量 k = k + Kn 标 志 的 两 个 状 态 。 ' 式中 K n = n1b1 + n2b2 + n3b3 = ∑ ni bi i =1 3 (1-7) 叫 做 倒 格 矢 （ reciprocal lattice vector） b1 ， b2 ， b3 叫 做 与 基 矢 a1 ， a 2 ， 。 a3 相 应 的 倒 基 矢 。 n1 ， n2 ， n3 为 任 意 整 数 。由 b1 ， b2 ， b3 所 构 成 的 空 间 称 为倒 空 间 (reciprocal space)或 倒 格 子 （ reciprocal lattice） b1 ， b2 ， b3 与 。 a1 ， a 2 ， a3 之 间 具 有 如 下 的 正 交 关 系 2π , i = j bi a j = 2πδ ij = 0, i ≠ j 且 （ i, j = 1， 2， 3） b1 = 2π (a 2 × a3 ) 5 b2 = b3 = 式中 2π (a3 × a1 ) 2π (a1 × a 2 ) = a1 ( a 2 × a 3 ) 为晶格原胞的体积。 （举例：晶格常数为 a 的一维晶格和它的倒格子： b = 2π / a 。 a ≈ 0.5nm, b ≈ 108 cm 1 ）晶 格 平 移 矢 量 Rm 和 倒 格 矢 K n 之 间 满 足 如 下 关 系 eiKn Rm = 1 利用上式，有 i k + K n Rm e ( ) = eiKn Rm eik Rm = eik Rm 由 于 波 矢 量 k 是 标 志 电 子 状 态 的 量 ，可 见 ，相 差 倒 格 矢 K n 的 两 个 k 代 表 的 是 同 一 个 状 态 。 举 例 ：倒 空 间 一 维 波 矢 量 ） （ 。因 此 ，为 了 表 示 晶 体 中 不 同 的 电 子态只需要把 k 限制在以下范围 0 ≤ k1 < 0 ≤ k2 < 0 ≤ k3 < 2π a1 2π a2 2π a3 即可。为对称起见，把 k 值限制在 6 或写作 π a1 ≤ k1 < ≤ k2 < ≤ k3 < π a1 π a2 π a2 π a3 π a3 π ≤ k i ai < π （ 1-8） 公 式 （ 1-8） 所 定 义 的 区 域 称 为 k 空 间 的 第 一 布 里 渊 （ 1st Brillouin Zone） 区。 布里渊区是把倒空间划分成的一些区域。布里渊区是这样划分的：在 倒 空 间 ，作 原 点 与 所 有 倒 格 点 之 间 连 线 的 中 垂 面 ，这 些 平 面 便 把 倒 空 间 划 分 成 一 些 区 域 ，其 中 ，距 原 点 最 近 的 一 个 区 域 为 第 一 布 里 渊 区（ 1stBZ）,距 原 点 次 近 的 若 干 个 区 域 组 成 第 二 布 里 渊 区 ，以 此 类 推 。这 些 中 垂 面 就 是 布 里 渊 区的分界面。 在 布 里 渊 区 边 界 上 的 k 的 代 表 点 ， 都 位 于 到 格 矢 Kn 的 中 垂 面 上 ， 它 们 满足下面的平面方程： k (Kn / Kn ) = 即 1 Kn 2 k Kn = 1 2 Kn 2 （ 1-9） k 取遍 k 空间除原点以外的所有所有 k 的代表点。可以证明，这样划分的布里渊区，具有以下特性： 1.每 个 布 里 渊 区 的 体 积 都 相 等 ， 而 且 就 等 于 一 个 倒 原 胞 的 体 积 。 7 2. 每 个 布 里 渊 区 的 各 个 部 分 经 过 平 移 适 当 的 倒 格 矢 K n 之 后 ，可 使 一 个 布 里 渊区与另一个布里渊区相重合。 3. 每 个 布 里 渊 区 都 是 以 原 点 为 中 心 而 对 称 地 分 布 着 而 且 具 有 正 格 子 和 倒 格 子的点群对称性。布里渊区可以组成倒空间的周期性的重复单元。 根 据 以 上 分 析 ，对 于 周 期 为 a 的 一 维 晶 格 ，第 一 布 里 渊 区 为 [ 第二布里渊区为[ π π 2π π π 2π , ）和[ , ） 余此类推。 。 a a a a , ） 。 a a 值得注意的是布里渊区边界上的两点相差一个倒格矢，因此代表同一个 状态。 常见金刚石结构和闪锌矿结构具有面心立方晶格，其第一布里渊区如图 1-2 所 示 。布 里 渊 区 中 心 用 Γ 表 示 。六 个 对 称 的 <100>轴 用 表 示 。八 个 对 称 的 <111>轴 用 ∧ 表 示 。 十 二 个 对 称 的 <110>轴 用 ∑ 表 示 。 符 号 X、 L、 K 分 别 表 示 <100>、 <111>、 <110>轴 与 布 里 渊 区 边 界 的 交 点 。 其 坐 标 分 别 为 X: 2π 2π 1 1 1 (1, 0, 0) , L: ( , , ) a a 2 2 2 K: 2π 3 3 ( , , 0) a 4 4 在六个对称的 X 点中，每一个点都与另一个相对于原点同它对称的点相 距 一 个 倒 格 矢 ，它 们 是 彼 此 等 价 的 。不 等 价 的 X 点 只 有 三 个 。同 理 ，在 八 个 对称的 L 点中不等价的只有四个。 L Γ Χ ky K kx 8 图 1-2 面 心 立 方 格 子 的 第 一 布 里 渊 区 图 下面我们来证明布洛赫定理。 引入电子的哈蜜顿算符 H=- 2 2 + V (r) 2m 则 波 动 方 程 （ 1-3） 可 以 简 写 成 Hψ (r) = Eψ (r) （ 1-10） 引 入 平 移 算 符 T （ Rm ， 其 定 义 为 ， 当 它 作 用 在 任 意 函 数 f（ r ） 上 后 ， 将 函 Rm） 数 中 的 变 量 r 换 成 （ r +Rm ,得 到 r 的 另 一 函 数 f（ r +Rm ,即 Rm） Rm） Rm Rm Rm)f(r )=f（ r +Rm Rm） T (Rm Rm r Rm (1-11) 平 移 算 符 彼 此 之 间 可 以 交 换 。 对 于 任 意 两 个 平 移 算 符 T (Rm Rm)和 T (Rn Rn)， Rm Rn 有 =T(Rm+Rn) T(Rm)T(Rn) =T(Rn)T(Rm) =T(Rm Rn) 证明如下： T(Rm)T(Rn)f(r)=T(Rm)f(r T(Rm)T(Rn)f(r)=T(Rm) (r＋ Rn) (r =f(r +Rn Rm r Rn Rm) Rn+Rm =T (r +Rn Rm T r Rn Rm)f（ r ） Rn+Rm (1-12) 9 =T (r +Rm Rn T r Rm Rn)f（ r ） Rm+Rn =T (Rn T Rn Rn)f(r ＋ Rm r Rm) ＝ T （ Rn T （ Rm f(r ) Rn） Rm） r 这 说 明 两 个 平 移 操 作 接 连 进 行 的 结 果 ，不 依 赖 于 它 们 的 先 后 次 序 ，即 平 移 算 符彼此之间是可以交换的。 在 周 期 性 势 场 中 运 动 的 电 子 的 势 函 数 V(r ) 具 有 晶 格 的 周 期 性 [ 公 式 r （ 1-2） ]因 而 有 2 2 T(R m )Hψ (r) = (∑ ) + V (r + R m ) ψ (r + R m ) 2 2m j ( x j + m j a j ) 2 2 = + V (r) ψ (r + R m ) 2m = HT(R m )ψ (r) 上 式 表 明 ， 任 意 一 个 晶 格 平 移 算 符 T (Rm Rm)和 电 子 的 哈 密 顿 算 符 H 彼 此 间 两 两 Rm 可交换，即 Rm)H HT Rm) HT(Rm T (Rm H =HT Rm Rm (1-13) 根据量子力学的一个普遍定理，这些线性算符可以有共同的本征函数。 或者说，存在这样的表象，在此表象中，这些算符的矩阵元素同时对角化。 容易说明，为了选择 H 的本征函数，使得它们同时也是所有平移算符的 本 征 函 数 ， 只 需 要 它 们 是 三 个 基 本 平 移 算 符 T (a 1 ) ,T （ a 2 ), T (a 3 )的 本 征 a T a 函 数 就 够 了 。 也 就 是 说 ， 如 果 ψ ( r ) 是 基 本 平 移 算 符 T （ a j ） ,T （ a 2 ), T (a 3 ) T a 的 本 征 函 数 ， 则 它 也 是 平 移 算 符 T (Rm Rm)的 本 征 函 数 。 证 明 如 下 ： 选 择 （ 1-3） Rm 10 的 解 ψ (r ) 是 基 本 平 移 算 符 的 本 证 函 数 ， 即 T(a1 )ψ (r) = ψ (r + a1 ) = C (a1 )ψ (r) T (a2 )ψ (r ) = ψ (r + a2 ) = C (a2 )ψ (r ) T (a3 )ψ (r ) = ψ (r + a3 ) = C (a3 )ψ (r ) 或 T (a j )ψ (r ) = ψ (r + a j ) = C (a j )ψ (r ), ( j = 1, 2,3) 其 中 C ( a1 ), C ( a2 ), C ( a3 ) 分 别 是 三 个 基 本 平 移 算 符 的 本 征 值 。 T ( Rm )ψ (r ) = m1a1 + m2 a2 + m3 a3 )ψ (r ) T( ＝ ψ ( r + Rm ) ＝ T ( a1 ) 1 T ( a2 ) 2 T ( a3 ) 3 ψ (r ) m m m ＝ C ( a1 ) 1 C ( a2 ) 2 C ( a3 ) 3ψ ( r ) m m m =λ ψ ( r ) （ 1-14） 可 见 ， 若 C ( a1 ), C ( a2 ), C ( a3 ) 分 别 是 三 个 基 本 平 移 算 符 的 本 征 值 。 则 λ = C ( a1 ) 1 C ( a2 ) 2 C ( a3 ) 3 就 是 平 移 算 符 T (Rm Rm)的 本 征 值 。 因 此 ， 若 ψ ( r ) 是 三 个 Rm m m m 基 本 平 移 算 符 T (a 1 ) ,T （ a 2 ), T (a 3 )的 本 征 函 数 ， 则 它 也 是 平 移 算 符 T (Rm Rm) a T a Rm 的 本 征 函 数 。 我 们 就 这 样 来 选 择 波 动 方 程 （ 1-3） 的 解 ， 使 它 们 同 时 也 是 所 有 平 移 算 符 的 本 征 函 数 。或 者 说 通 过 寻 找 平 移 算 符 的 本 征 函 数 去 找 到 波 动 方 程 （ 1-3） 的 解 。 11 由 于 平 移 算 符 T (Rm Rm)和 H 可 以 交 换 ，所 以 若 ψ ( r ) 是 H 的 本 征 函 数 ，则 经 Rm 过 平 移 后 的 函 数 ψ ( r + Rm ) 一 定 也 都 是 H 的 本 征 函 数 。 求 这 些 函 数 都 要 满 足 要 归 一 化 条 件 ， 因 而 它 们 之 间 的 比 例 系 数 的 绝 对 值 必 须 等 于 1， 即 C (a1 ) m1 C (a2 ) m2 C (a3 ) m3 该式成立的充分必要条件是 =1 （ m1 , m2 , m3 是任意整数） C (a1 ) = 1, C (a2 ) = 1, C (a3 ) = 1 。 即要求这三个常数只可能是模量为 1 的复数。它们一般可以写成 C (a1 ) = ei 2πβ1 ， C (a2 ) = ei 2πβ2 ， C (a3 ) = ei 2πβ3 或者 C (a j ) = e 这里 i 2πβ j （ j=1， 2， 3） （ 1-15） β1 , β 2 , β3 为 三 个 任 意 实 数 。 以 这 三 个 实 数 为 系 数 ， 把 三 个 倒 基 矢 线 性 组 合 起 来 ， 得 到 一 个 实 数 矢 量 K: k = β1b1 + β 2b2 + β 3b3 根据正基矢与倒基矢之间的正交关系 3 (1-16) k a j = ∑ βi bi a j = 2πβ j i =1 可 以 把 式 （ 1-15） 改 写 成 C (a1 ) = eik a1 ， C (a2 ) = eik a2 ， C (a3 ) = eik a3 或者 12 C (a j ) = e 代替 ik a j （ 1-17） β1 , β 2 , β3 ， 引 入 了 矢 量 K 。 在 量 子 力 学 中 ，如 果 算 符 代 表 一 定 的 物 理 量 ，其 本 征 值 是 实 数 ，相 应 的 算 符 为 厄 米 算 符 。平 移 算 符 只 是 一 种 对 称 操 作 ，不 代 表 物 理 量 ，不 具 有 厄 米 算 符的性质，因此其本征值可以是复数。 将 （ 1-17） 代 入 （ 1-14） 得 到 ， ψ (r + Rm ) = eik R ψ (r ) m （ 1-18） 式 （ 1-18） 即 为 式 （ 1-6） 是 布 洛 赫 定 理 的 另 一 种 形 式 。 ， 利 用 波 函 数 ψ ( r ) ， 可 以 定 义 一 个 新 的 函 数 u (r ) ， u (r ) = e ik rψ (r ) （ 1-19） 根 据 波 函 数 的 性 质 式 （ 1-18） 容 易 看 出 ， 函 数 u (r ) 具 有 晶 格 的 周 期 性 ： ， u (r + Rm ) = e ik ( r + Rm )ψ (r + Rm ) = e ik rψ ( r ) = u (r ) （ 1-20） 于 是 ， 由 式 （ 1-19） 可 以 将 周 期 性 势 场 中 电 子 的 波 函 数 表 示 为 ， ψ (r ) = eik r u (r ) 其 中 u (r ) 具 有 晶 格 的 周 期 性 。 根 据 以 上 分 析 ，周 期 性 势 场 中 电 子 的 波 函 数 可 以 表 示 成 一 个 平 面 波 和 一 13 个 周 期 性 因 子 的 乘 积 。 平 面 波 的 波 矢 量 为 实 数 矢 量 k， 它 可 以 用 来 标 志 电 子 的 运 动 状 态 。不 同 的 k 代 表 不 同 的 电 子 态 ，因 此 k 也 同 时 起 着 一 个 量 子 数 的 作 用 。 为 明 确 起 见 ， 在 波 函 数 上 附 加 一 个 指 标 k ,写 作 ψ k (r ) = eik r uk (r ) 至此，布洛赫定理得证。 相 应 的 本 征 值 — 能 量 谱 值 为 E=E（ k ） 。 根 据 公 式 （ 1-21） 可 以 看 出 : （ 1-21） 1. 波 矢 量 k 只 能 取 实 数 值 ,若 k 取 为 复 数 ,则 在 波 函 数 中 将 出 现 衰 减 因 子 , 这样的解不能代表电子在完整晶体中的稳定状态。 2.平 面 波 因 子 e ik r 与自由电子的波函数相同， 描述电子在各原胞之间的 它 运动—共有化运动。 3.因 子 uk ( r ) 则 描 述 电 子 在 原 胞 中 的 运 动 — 局 域 化 运 动 。它 在 各 原 胞 之 间 周期性地重复着。 4.根 据 式 (1-18), ψ k (r + Rm ) 2 = ψ k (r ) 2 (1-22) 这说明电子在各原胞的对应点上出现的概率相等. 需 要 指 出 的 是 , 由 于 晶 体 中 电 子 的 波 函 数 不 是 单 纯 的 平 面 波 ,而 是 还 乘 以一个周期性函数。 以它们的动量算符 所 与哈密顿算符 H 是不可交换的。 i 因 此 , 晶 体 中 电 子 的 动 量 不 取 确 定 值 。由 于 波 矢 量 k 与 约 化 普 朗 克 常 数 的 乘 积 是 一 个 具 有 动 量 量 纲 的 量 ， 对 于 在 周 期 性 势 场 中 运 动 的 电 子 ,通 常 把 14 p = k (1-23) 称 为 晶 体 动 量 crystal momentum） 或 电 子 的 准 动 量 (quasimomentum)” “ （ ” “ . 1.3 周 期 性 边 界 条 件 （ 玻 恩 - 卡 曼 边 界 条 件 ） 在 讨 论 电 子 的 运 动 情 况 时 ，我 们 没 有 考 虑 晶 体 边 界 处 的 情 况 ，就 是 说 我 们 把 晶 体 看 作 是 无 限 大 的 。对 于 实 际 晶 体 ，除 了 需 要 求 解 波 动 方 程 之 外 ，还 必 须 考 虑 边 界 条 件 。根 据 布 洛 赫 定 理 ，周 期 场 中 的 电 子 的 波 函 数 可 以 写 成 一 个 平 面 波 与 一 个 周 期 性 因 子 相 乘 积 。平 面 波 的 波 矢 量 k 为 任 意 实 数 矢 量 。当 考虑到边界条件后，k 要受到限制，只能取分立值。本节我们将根据晶体的 周期性边界条件，对 k 作一些更深入的讨论。 实 际 的 晶 体 其 大 小 总 是 有 限 的 。电 子 在 晶 体 表 面 附 近 的 原 胞 中 所 处 的 情 况 与 内 部 原 胞 中 的 相 应 位 置 上 所 处 的 情 况 不 同 ，因 而 ，周 期 性 被 破 坏 ，给 理 论 分 析 带 来 一 定 的 不 便 。 为 了 克 服 这 一 困 难 ， 通 常 都 采 用 玻 恩 -卡 曼 的 周 期 性边界条件。 玻 恩 -卡 曼 的 周 期 性 边 界 条 件 的 基 本 思 想 是 ，设 想 一 个 有 限 大 小 的 晶 体 ， 它 处 于 无 限 大 的 晶 体 中 ，而 无 限 晶 体 又 是 这 一 有 限 晶 体 周 期 性 重 复 堆 积 起 来 的 。由 于 有 限 晶 体 是 处 于 无 限 晶 体 之 中 ，因 而 ，电 子 在 其 界 面 附 近 所 处 的 情 况 与 内 部 相 同 ，电 子 势 场 的 周 期 性 不 致 被 破 坏 。假 想 的 无 限 晶 体 只 是 有 限 晶 体 的 周 期 性 重 复 ，只 需 要 考 虑 这 个 有 限 晶 体 就 够 了 ，并 要 求 在 各 有 限 晶 体 的 相 应 位 置 上 电 子 运 动 情 况 相 同 。或 者 说 ，要 求 电 子 的 运 动 情 况 ，以 有 限 晶 体 为 周 期 而 在 空 间 周 期 性 地 重 复 着 。于 是 ，问 题 便 得 到 了 解 决 。这 就 是 所 谓 周 期性边界条件。 设 想 所 考 虑 的 有 限 晶 体 是 一 个 平 行 六 面 体 ， 沿 a1 方 向 有 N1 个 原 胞 ， 沿 a2 方 向 有 N2 个 原 胞 ， 沿 a3 方 向 有 N3 个 原 胞 ， 总 原 胞 数 N 为 N=N 1 N 2 N 3 . （ 1.24） 15 周 期 性 边 界 条 件 要 求 沿 aj 方 向 上 ， 由 于 以 N ja j 为 周 期 性 ， 所 以 ψ k (r + N j a j ) = ψ k (r ). （ j=1， 2， 3） （ 1.25） 将 晶 体 中 的 电 子 波 函 数 公 式 （ 1.21） 代 入 这 一 条 件 后 ， 则 要 求 e ik ( r + N j a j ) uk (r + N ja j ) = eik r uk (r ). 考 虑 到 函 数 uk ( r ) 是一个具有晶体周期性的函数，因而，要上式成立，只需 ik N j a j e =1 即要求 k N j a j 为 2π的整数倍。 将波矢量 k 的表示式 k = β1b1 + β 2b2 + β 3b3 代入上式， 并利用正交关系 biaj=2πδij ，上面的条件可改写为 k N j a j = β j N j 2π = l j 2π , (l j 为任意整数）或者 β j = l j / N j , ( j = 1, 2, 3) 即 β1 = l1 / N1 , β 2 = l2 / N 2 , β3 = l3 / N 3 ，（ l1 l2 l3 为任意整数） （1.26） 由于 l j 为整数，所以 β j 只能取分立值。将式（1.26）代入式（1.16） ，则发现在周期性 边界条件限制下，波矢量 k 只能取分立值， 3 l l l1 l j b1 + 2 b2 + 3 b3 = ∑ b j N1 N2 N3 j =1 N j k= （1.27） 16 （ l1 l2 l3 为任意整数） 。 而与这些波矢量 k 相应的能量 E （k）也只能取分立值，这给理论分析上带来很大 的方便。 在倒空间中每个倒原
AAU3D打印很高兴为您解答本科的时候接触过一段时间微生物燃料电池，给一点个人建议，仅供参考，可能很多表述不够专业，请见谅关键词：半导体、微生物、光催化意思大概是微生物燃料电池中，将光催化与微生物催化耦合在一起，促使微生物光电系统产生电子转移并产氢。针对微生物燃料电池处理废水产电的优点，以及光催化技术在制氢过程中效率低和需要添加牺牲剂的缺点，提出一种新的低成本、无污染的微生物光电化学系统产电制氢技术，阴极光生电子与阳极生物氧化产生的电子在还原制氢中的协同作用机制。
电子型半导体和空穴型半导体，都是不带电。电子型半导体是以电子为多数载流子的半岛材料，它是通过引入式主型杂质而形成的。空穴型半导体是指以带正电的空穴导电为主的半导体。半导体中掺入微量杂质时，杂质原子附近的周期势场受到干扰并形成附加的束缚状态，在禁带中产生附加的杂质能级。能提供电子载流子的杂质称为施主(Donor)杂质，相应能级称为施主能级，位于禁带上方靠近导带底附近。例如四价元素锗或硅晶体中掺入五价元素磷、砷、锑等杂质原子时，杂质原子作为晶格的一分子，其五个价电子中有四个与周围的锗（或硅）原子形成共价键，多余的一个电子被束缚于杂质原子附近，产生类氢浅能级—施主能级。施主能级上的电子跃迁到导带所需能量比从价带激发到导带所需能量小得多，很易激发到导带成为电子载流子，因此对于掺入施主杂质的半导体，导电载流子主要是被激发到导带中的电子，属电子导电型，称为N型半导体。n型半导体是指在本征半导体中加入五价元素，每一个五价元素原子与四个四价半导体元素原子形成四对共用电子对（每一对电子对由半导体元素原子与该五价元素原子各提供一个电子），这样五价元素原子因四对八个共用电子而达到最外层电子稳定，于是多出来的一个电子（因为形成共用电子对时五价元素原子只贡献了4个电子）就成为自由电子，这就是n型半导体的多数载流子。
区别就是导体能导电的，半导体是单方向的，绝缘体是不导电的 导体可以制作电线，半导体可以制作二极管，绝缘体可以制作电线的漆包线
导体具有好的导电性，用来传递电能或信号；绝缘体的导电性很弱，用来阻碍电的传导；半导体一般本身不导电，在某种情况下导电，主要用来作晶体管。
题目： 新型扳手星期天，我和哥哥一起去换自行车外胎，让店主帮他换，修理的工人拿来一个，工具包里放着许多扳手，又从中找出M8、M6、M5、M4的扳。应为自行车结构复杂所以用扳手松紧螺丝非常麻烦，白来白去，弄了半天，还是有几颗上的不紧，看得我们都着急。修理工人只好又费力的加工了一番，终于完成了，可是他已经满头大汗了。我见后，思考着有没有一种改变扳手的使用原理，使它更方便，而又能配有多样的扳头呢？我又查了许多关于扳手的知识，忽然，一个发明的火花闪过我的脑海：如果做出一种多用扳手，在活动手柄和扶手上旋转多种规格的扳头可以选择，可以旋转和垂直使用，多好呢！这种半首的制作方法很简单，找4个所需要的扳头，用铁环固定在活动手柄和扶手上。四种扳头就可以自由旋转，手柄可以垂直放置了。这样，旋转速度快而且省时，又可以水平放置，使用时扭力又大，多方便啊！这个作品的用法也很简单：垂直放置，当放进螺丝钉或放松开螺丝钉旋出时，这时用力不大，可以转动活动手柄垂直放置，一手夹住扶手，一手可以快速旋转，这时用力最小，可以在顷刻之间快速旋转下螺丝钉；水平放置，用力不变的情况，力聚改变——加长，可以使扭力工具增大，用于夹紧或夹紧后用力松开螺丝钉的一刻；还有四种规格可以选择，不需要更换，只需要旋转至所需要的规格即可。四种规格连在一个整体上，不容易丢失。这种扳手出来后，只要轻轻松松的就解决辛苦的上下螺丝麻烦了。希望大家能够在生活中多思考，多长一双发现创新的眼睛，相信将来你也可以创造出一些有帮助人们的想法。(这是以前自己修改的一片科技小论文，希望能帮上你。）
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