集群系数与度同类性之间的依赖关系分析

　　复杂网络的研究和发展以图论作为重要基础，图论的大量知识在网络研究过程中得到了广泛的应用。如在复杂网络研究中，提出了各种描述和表征网络特性的统计量，包括网络的距离分布、集群系数、度与度分布、同类性、群落、层次等。
　　1 集群系数
　　集群系数，用c表示，是复杂网络研究中的一个重要的统计性质，也是网络研究中的重要概念，用来表示网络中某一节点的邻点之间联系的紧密程度。一般地，假设网络中的一个节点i有条边将它和其他节点相连，显然，在这个节点之间最多可能有（-1）/2条边，我们将它们之间实际存在的边数记为Ei。则节点i的集群系数定义为：
　　整个网络的集群系数c就是网络中所有节点的集群系数的平均值，即：
　　其中，N为该网络的节点总数。很明显，0≤c≤1。c=0时，说明网络中所有节点均为孤立节点，即没有任何连边；c=1时，说明网络中的任意两个节点都直接相连。通常情况下，c的取值是介于0～1之间的某个中间值。
　　2 度同类性
　　顶点度，是复杂网络研究中的另一个基本又重要的统计性质。节点i的度定义为与该节点相连接的其他节点的数目，即节点i的邻点个数。从直观上看，一个节点的度越大意味着这个节点在某种意义上越“重要”。
　　同类性，可以分为群落同类性和度同类性。与群落同类性相比度同类性是较常用的，也称为度相关性，用r表示，定义为：
　　其中，表示连接剩余度（）为j、k顶点的边的概率，，。由r的定义式可知，r的值介于-1～1之间。若r>0，则说明网络中度的连接是正相关的，即度大的节点倾向于和度大的节点相连，度小的则和度小的相连。反之，若r<0，则说明度是负相关的，即度大的节点倾向于和度小的节点相连。
　　3 一些实际网络的集群系数c与度同类性r之间的依赖关系
　　集群系数c和度同类性r都是网络研究中的重要统计量，从不同的角度反映节点之间的连接情况，那么我们很容易联想到这两个统计量之间是否也存在一定的依赖关系？我们做了大量的实证调研，得到了十九个实际系统的集群系数c和度同类性r的值。
　　表1列出了各实际系统的节点、项目定义及数据来源，表1第5、6列为各系统的度同类性值、平均集群系数。由表1可知，度同类性最大的是物理图书借阅网，说明在该网中，度大的节点在很大程度上倾向于和度大的节点相连，这是符合实际情况的。（见表1）
　　图1为这十九个实际系统的集群系数与度同类性之间的依赖关系，在单对数坐标上呈一条较好的直线，说明对于相当一部分网络，集群系数对顶点度是指数衰减的关系，即近似为。直观地说，网络的集群系数越大，其度同类性反而越小。（见图1）
　　4 小结与讨论
　　该文主要研究了集群系数与度同类性之间的依赖关系，通过大量的实证统计我们发现集群系数对度同类性的依赖关系满足指数函数关系，至少对于相当一部分网络是成立的。我们期望能通过构造合适的模型，来解析的解释我们得到的结论，这将是我们下一步工作的目标。
　　参考文献
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