小学数学建模论文40篇

小学数学建模论文40篇

　　数学建模随着人类的进步，科技的发展和社会的日趋数字化，应用领域越来越广泛，人们身边的数学内容越来越丰富。强调数学应用及培养应用数学意识对推动素质教育的实施意义十分巨大。数学建模在数学教育中的地位被提到了新的高度，通过数学建模解数学应用题，提高学生的综合素质。本文将结合数学应用题的特点，把怎样利用数学建模解好数学应用问题进行剖析，希望得到同仁的帮助和指正。

　　一、数学应用题的特点
　　我们常把来源于客观世界的实际，具有实际意义或实际背景，要通过数学建模的方法将问题转化为数学形式表示，从而获得解决的一类数学问题叫做数学应用题。数学应用题具有如下特点：
　　第一、数学应用题的本身具有实际意义或实际背景。这里的实际是指生产实际、社会实际、生活实际等现实世界的各个方面的实际。如与课本知识密切联系的源于实际生活的应用题；与模向学科知识网络交汇点有联系的应用题；与现代科技发展、社会市场经济、环境保护、实事政治等有关的应用题等。
　　第二、数学应用题的求解需要采用数学建模的方法，使所求问题数学化，即将问题转化成数学形式来表示后再求解。
　　第三、数学应用题涉及的知识点多。是对综合运用数学知识和方法解决实际问题能力的检验，考查的是学生的综合能力，涉及的知识点一般在三个以上，如果某一知识点掌握的不过关，很难将问题正确解答。
　　第四、数学应用题的命题没有固定的模式或类别。往往是一种新颖的实际背景，难于进行题型模式训练，用“题海战术”无法解决变化多端的实际问题。必须依靠真实的能力来解题，对综合能力的考查更具真实、有效性。因此它具有广阔的发展空间和潜力。
　　二、数学应用题如何建模
　　建立数学模型是解数学应用题的关键，如何建立数学模型可分为以下几个层次：
　　第一层次：直接建模。
　　根据题设条件，套用现成的数学公式、定理等数学模型，注解图为：
　　将题材设条件翻译
　　成数学表示形式

　　应用题 审题 题设条件代入数学模型 求解
　　选定可直接运用的
　　数学模型
　　第二层次：直接建模。可利用现成的数学模型，但必须概括这个数学模型，对应用题进行分析，然后确定解题所需要的具体数学模型或数学模型中所需数学量需进一步求出，然后才能使用现有数学模型。
　　第三层次：多重建模。对复杂的关系进行提炼加工，忽略次要因素，建立若干个数学模型方能解决问题。
　　第四层次：假设建模。要进行分析、加工和作出假设，然后才能建立数学模型。如研究十字路口车流量问题，假设车流平稳，没有突发事件等才能建模。
　　三、建立数学模型应具备的能力
　　从实际问题中建立数学模型，解决数学问题从而解决实际问题，这一数学全过程的教学关键是建立数学模型，数学建模能力的强弱，直接关系到数学应用题的解题质量，同时也体现一个学生的综合能力。
　　3．1提高分析、理解、阅读能力。
　　阅读理解能力是数学建模的前提，数学应用题一般都创设一个新的背景，也针对问题本身使用一些专门术语，并给出即时定义。如1999年高考题第22题给出冷轧钢带的过程叙述，给出了“减薄率”这一专门术语，并给出了即时定义，能否深刻理解，反映了自身综合素质，这种理解能力直接影响数学建模质量。
　　3．2强化将文字语言叙述转译成数学符号语言的能力。
　　将数学应用题中所有表示数量关系的文字、图象语言翻译成数学符号语言即数、式子、方程、不等式、函数等，这种译释能力是数学建成模的基础性工作。
　　例如：一种产品原来的成本为a元，在今后几年内，计划使成本平均每一年比上一年降低p%，经过五年后的成本为多少?
　　将题中给出的文字翻译成符号语言，成本y=a(1-p%)5
　　3．3增强选择数学模型的能力。
　　选择数学模型是数学能力的反映。数学模型的建立有多种方法，怎样选择一个最佳的模型，体现数学能力的强弱。建立数学模型主要涉及到方程、函数、不等式、数列通项公式、求和公式、曲线方程等类型。结合教学内容，以函数建模为例，以下实际问题所选择的数学模型列表：
　　函数建模类型 实际问题
　　一次函数 成本、利润、销售收入等
　　二次函数 优化问题、用料最省问题、造价最低、利润最大等
　　幂函数、指数函数、对数函数 细胞分裂、生物繁殖等
　　三角函数 测量、交流量、力学问题等

　　3．4加强数学运算能力。
　　数学应用题一般运算量较大、较复杂，且有近似计算。有的尽管思路正确、建模合理，但计算能力欠缺，就会前功尽弃。所以加强数学运算推理能力是使数学建模正确求解的关键所在，忽视运算能力，特别是计算能力的培养，只重视推理过程，不重视计算过程的做法是不可取的。
　　利用数学建模解数学应用题对于多角度、多层次、多侧面思考问题，培养学生发散思维能力是很有益的，是提高学生素质，进行素质教育的一条有效途径。同时数学建模的应用也是科学实践，有利于实践能力的培养，是实施素质教育所必须的，需要引起教育工作者的足够重视。

　　加强高中数学建模教学培养学生的创新能力

　　摘要：通过对高中数学新教材的教学，结合新教材的编写特点和高中研究性学习的开展，对如何加强高中数学建模教学，培养学生的创新能力方面进行探索。
　　关键词：创新能力；数学建模；研究性学习。
　　《全日制普通高级中学数学教学大纲（试验修订版）》对学生提出新的教学要求，要求学生：
　　（1）学会提出问题和明确探究方向；
　　（2）体验数学活动的过程；
　　（3）培养创新精神和应用能力。
　　其中，创新意识与实践能力是新大纲中最突出的特点之一，数学学习不仅要在数学基础知识，基本技能和思维能力，运算能力，空间想象能力等方面得到训练和提高，而且在应用数学分析和解决实际问题的能力方面同样需要得到训练和提高，而培养学生的分析和解决实际问题的能力仅仅靠课堂教学是不够的，必须要有实践、培养学生的创新意识和实践能力是数学教学的一个重要目的和一条基本原则，要使学生学会提出问题并明确探究方向，能够运用已有的知识进行交流，并将实际问题抽象为数学问题，就必须建立数学模型，从而形成比较完整的数学知识结构。
　　数学模型是数学知识与数学应用的桥梁，研究和学习数学模型，能帮助学生探索数学的应用，产生对数学学习的兴趣，培养学生的创新意识和实践能力，加强数学建模教学与学习对学生的智力开发具有深远的意义，现就如何加强高中数学建模教学谈几点体会。
　　一．要重视各章前问题的教学，使学生明白建立数学模型的实际意义。
　　教材的每一章都由一个有关的实际问题引入，可直接告诉学生，学了本章的教学内容及方法后，这个实际问题就能用数学模型得到解决，这样，学生就会产生创新意识，对新数学模型的渴求，实践意识，学完要在实践中试一试。
　　如新教材“三角函数”章前提出：有一块以O点为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD辟为绿册，使其册边AD落在半圆的直径上，另两点BC落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a，如何选择关于点O对称的点A、D的位置，可以使矩形面积最大？
　　这是培养创新意识及实践能力的好时机要注意引导，对所考察的实际问题进行抽象分析，建立相应的数学模型，并通过新旧两种思路方法，提出新知识，激发学生的知欲，如不可挫伤学生的积极性，失去“亮点”。
　　这样通过章前问题教学，学生明白了数学就是学习，研究和应用数学模型，同时培养学生追求新方法的意识及参与实践的意识。因此，要重视章前问题的教学，还可据市场经济的建设与发展的需要及学生实践活动中发现的问题，补充一些实例，强化这方面的教学，使学生在日常生活及学习中重视数学，培养学生数学建模意识。
　　2．通过几何、三角形测量问题和列方程解应用题的教学渗透数学建模的思想与思维过程。
　　学习几何、三角的测量问题，使学生多方面全方位地感受数学建模思想，让学生认识更多现在数学模型，巩固数学建模思维过程、教学中对学生展示建模的如下过程：
　　现实原型问题
　　数学模型
　　数学抽象
　　简化原则
　　演算推理
　　现实原型问题的解
　　数学模型的解
　　反映性原则
　　返回解释
　　列方程解应用题体现了在数学建模思维过程，要据所掌握的信息和背景材料，对问题加以变形，使其简单化，以利于解答的思想。且解题过程中重要的步骤是据题意更出方程，从而使学生明白，数学建模过程的重点及难点就是据实际问题特点，通过观察、类比、归纳、分析、概括等基本思想，联想现成的数学模型或变换问题构造新的数学模型来解决问题。如利息（复利）的数列模型、利润计算的方程模型决策问题的函数模型以及不等式模型等。
　　3．结合各章研究性课题的学习，培养学生建立数学模型的能力，拓展数学建模形式的多样性式与活泼性。
　　高中新大纲要求每学期至少安排一个研究性课题，就是为了培养学生的数学建模能力，如“数列”章中的“分期付款问题”、“平面向是‘章中’向量在物理中的应用”等，同时，还可设计类似利润调查、洽谈、采购、销售等问题。设计了如下研究性问题。
　　例1根据下表给出的数据资料，确定该国人口增长规律，预测该国2000年的人口数。
　　时间(年份)
　　人中数(百万) 39 50 63 76 92 106 123 132 145
　　分析：这是一个确定人口增长模型的问题，为使问题简化，应作如下假设：（1）该国的政治、经济、社会环境稳定；（2）该国的人口增长数由人口的生育，死亡引起；（3）人口数量化是连续的。基于上述假设，我们认为人口数量是时间函数。建模思路是根据给出的数据资料绘出散点图，然后寻找一条直线或曲线，使它们尽可能与这些散点吻合，该直线或曲线就被认为近似地描述了该国人口增长规律，从而进一步作出预测。
　　通过上题的研究，既复习巩固了函数知识更培养了学生的数学建模能力和实践能力及创新意识。在日常教学中注意训练学生用数学模型来解决现实生活问题；培养学生做生活的有心人及生活中“数”意识和观察实践能力，如记住一些常用及常见的数据，如：人行车、自行车的速度，自己的身高、体重等。利用学校条件，组织学生到操场进行实习活动，活动一结束，就回课堂把实际问题化成相应的数学模型来解决。如：推铅球的角度与距离关系；全班同学手拉手围成矩形圈，怎样围使围成的面积最大等，用砖块搭成多米诺牌骨等。
　　四、培养学生的其他能力，完善数学建模思想。
　　由于数学模型这一思想方法几乎贯穿于整个中小学数学学习过程之中，小学解算术运用题中学建立函数表达式及解析几何里的轨迹方程等都孕育着数学模型的思想方法，熟练掌握和运用这种方法，是培养学生运用数学分析问题、解决问题能力的关键，我认为这就要求培养学生以下几点能力，才能更好的完善数学建模思想：
　　（1）理解实际问题的能力；
　　（2）洞察能力，即关于抓住系统要点的能力；
　　（3）抽象分析问题的能力；
　　（4）“翻译”能力，即把经过一生抽象、简化的实际问题用数学的语文符号表达出来，形成数学模型的能力和对应用数学方法进行推演或计算得到注结果能自然语言表达出来的能力；
　　（5）运用数学知识的能力；
　　（6）通过实际加以检验的能力。
　　只有各方面能力加强了，才能对一些知识触类旁通，举一反三，化繁为简，如下例就要用到各种能力，才能顺利解出。
　　例2：解方程组

　　x+y+z=1 (1)
　　x2+y2+z2=1/3 (2)
　　x3+y3+z3=1/9 (3)
　　分析：本题若用常规解法求相当繁难，仔细观察题设条件，挖掘隐含信息，联想各种知识，即可构造各种等价数学模型解之。
　　方程模型：方程（1）表示三根之和由（1）（2）不难得到两两之积的和（XY+YZ+ZX）=1/3，再由（3）又可将三根之积（XYZ=1/27），由韦达定理，可构造一个一元三次方程模型。（4）x,y,z 恰好是其三个根
　　t3-t2+1/3t-1/27=0 (4)
　　函数模型：
　　由（1）（2）知若以xz(x+y+z)为一次项系数，（x2+y2+z2）为常数项，则以3＝（12＋12＋12）为二次项系数的二次函f(x)=(12+12+12)t2-2(x+y+z)t+(x2+y2+z2)=(t-x)2+(t-y)2+(t-z)2为完全平方函数3(t-1/3)2，从而有t-x=t-y=t-z，而x=y=z再由(1)得x=y=z=1/3，也适合（3）
　　平面解析模型
　　方程（1）（2）有实数解的充要条件是直线x+y=1-z与圆x2+y2=1/3-z2有公共点后者有公共点的充要条件是圆心(O、O)到直线x+y的距离不大于半径。
　　总之，只要教师在教学中通过自学出现的实际的问题，根据当地及学生的实际，使数学知识与生活、生产实际联系起来，就能增强学生应用数学模型解决实际问题的意识，从而提高学生的创新意识与实践能力。

　　数学建模随着人类的进步，科技的发展和社会的日趋数字化，应用领域越来越广泛，人们身边的数学内容越来越丰富。强调数学应用及培养应用数学意识对推动素质教育的实施意义十分巨大。数学建模在数学教育中的地位被提到了新的高度，通过数学建模解数学应用题，提高学生的综合素质。本文将结合数学应用题的特点，把怎样利用数学建模解好数学应用问题进行剖析，希望得到同仁的帮助和指正。

　　一、数学应用题的特点
　　我们常把来源于客观世界的实际，具有实际意义或实际背景，要通过数学建模的方法将问题转化为数学形式表示，从而获得解决的一类数学问题叫做数学应用题。数学应用题具有如下特点：
　　第一、数学应用题的本身具有实际意义或实际背景。这里的实际是指生产实际、社会实际、生活实际等现实世界的各个方面的实际。如与课本知识密切联系的源于实际生活的应用题；与模向学科知识网络交汇点有联系的应用题；与现代科技发展、社会市场经济、环境保护、实事政治等有关的应用题等。
　　第二、数学应用题的求解需要采用数学建模的方法，使所求问题数学化，即将问题转化成数学形式来表示后再求解。
　　第三、数学应用题涉及的知识点多。是对综合运用数学知识和方法解决实际问题能力的检验，考查的是学生的综合能力，涉及的知识点一般在三个以上，如果某一知识点掌握的不过关，很难将问题正确解答。
　　第四、数学应用题的命题没有固定的模式或类别。往往是一种新颖的实际背景，难于进行题型模式训练，用“题海战术”无法解决变化多端的实际问题。必须依靠真实的能力来解题，对综合能力的考查更具真实、有效性。因此它具有广阔的发展空间和潜力。
　　二、数学应用题如何建模
　　建立数学模型是解数学应用题的关键，如何建立数学模型可分为以下几个层次：
　　第一层次：直接建模。
　　根据题设条件，套用现成的数学公式、定理等数学模型，注解图为：
　　将题材设条件翻译
　　成数学表示形式

　　应用题 审题 题设条件代入数学模型 求解
　　选定可直接运用的
　　数学模型
　　第二层次：直接建模。可利用现成的数学模型，但必须概括这个数学模型，对应用题进行分析，然后确定解题所需要的具体数学模型或数学模型中所需数学量需进一步求出，然后才能使用现有数学模型。
　　第三层次：多重建模。对复杂的关系进行提炼加工，忽略次要因素，建立若干个数学模型方能解决问题。
　　第四层次：假设建模。要进行分析、加工和作出假设，然后才能建立数学模型。如研究十字路口车流量问题，假设车流平稳，没有突发事件等才能建模。
　　三、建立数学模型应具备的能力
　　从实际问题中建立数学模型，解决数学问题从而解决实际问题，这一数学全过程的教学关键是建立数学模型，数学建模能力的强弱，直接关系到数学应用题的解题质量，同时也体现一个学生的综合能力。
　　3．1提高分析、理解、阅读能力。
　　阅读理解能力是数学建模的前提，数学应用题一般都创设一个新的背景，也针对问题本身使用一些专门术语，并给出即时定义。如1999年高考题第22题给出冷轧钢带的过程叙述，给出了“减薄率”这一专门术语，并给出了即时定义，能否深刻理解，反映了自身综合素质，这种理解能力直接影响数学建模质量。
　　3．2强化将文字语言叙述转译成数学符号语言的能力。
　　将数学应用题中所有表示数量关系的文字、图象语言翻译成数学符号语言即数、式子、方程、不等式、函数等，这种译释能力是数学建成模的基础性工作。
　　例如：一种产品原来的成本为a元，在今后几年内，计划使成本平均每一年比上一年降低p%，经过五年后的成本为多少?
　　将题中给出的文字翻译成符号语言，成本y=a(1-p%)5
　　3．3增强选择数学模型的能力。
　　选择数学模型是数学能力的反映。数学模型的建立有多种方法，怎样选择一个最佳的模型，体现数学能力的强弱。建立数学模型主要涉及到方程、函数、不等式、数列通项公式、求和公式、曲线方程等类型。结合教学内容，以函数建模为例，以下实际问题所选择的数学模型列表：
　　函数建模类型 实际问题
　　一次函数 成本、利润、销售收入等
　　二次函数 优化问题、用料最省问题、造价最低、利润最大等
　　幂函数、指数函数、对数函数 细胞分裂、生物繁殖等
　　三角函数 测量、交流量、力学问题等

　　3．4加强数学运算能力。
　　数学应用题一般运算量较大、较复杂，且有近似计算。有的尽管思路正确、建模合理，但计算能力欠缺，就会前功尽弃。所以加强数学运算推理能力是使数学建模正确求解的关键所在，忽视运算能力，特别是计算能力的培养，只重视推理过程，不重视计算过程的做法是不可取的。
　　利用数学建模解数学应用题对于多角度、多层次、多侧面思考问题，培养学生发散思维能力是很有益的，是提高学生素质，进行素质教育的一条有效途径。同时数学建模的应用也是科学实践，有利于实践能力的培养，是实施素质教育所必须的，需要引起教育工作者的足够重视。

跪求数学建模小论文

摘要

本文采用k-NN法，从2491个网格点的预报雨量得到91个站点预报雨量的估计值，并与对应的实测雨量进行统计对比分析。我们建立了平均绝对误差、模糊评分、面雨量三个模型，对两种雨量预报方法进行比较评价，最后为了在评价方法中考虑公众的感受，我们还构造了一个新的评价模型。结果表明方法I和方法II具有较好的晴雨预报能力，但总体上方法I的准确性高于方法II。在上述两种雨量预报方法的基础上,我们还可采用动态权重系数法对其进行综合集成，形成一种新的预报方法，该方法的可靠性要好于每种单独的预报方法。

一． 问题重述

我国某地气象台和气象研究所正在研究6小时雨量预报方法，即每天晚上20点预报从21点开始的4个时段（21点至次日3点，次日3点至9点，9点至15点，15点至21点）在某些位置的雨量，这些位置位于东经120度、北纬32度附近的53×47的等距网格点上。同时设立91个观测站点实测这些时段的实际雨量，由于各种条件的限制，站点的设置是不均匀的。

气象部门希望建立一种科学评价预报方法好坏的数学模型与方法。气象部门提供了41天的用两种不同方法的预报数据和相应的实测数据。

雨量用毫米做单位，小于0.1毫米视为无雨。

(1) 请建立数学模型来评价两种6小时雨量预报方法的准确性；

(2) 气象部门将6小时降雨量分为6等：0.1—2.5毫米为小雨，2.6—6毫米为中雨，6.1—12毫米为大雨，12.1—25毫米为暴雨，25.1—60毫米为大暴雨，大于60.1毫米为特大暴雨。若按此分级向公众预报，如何在评价方法中考虑公众的感受？

二． 符号说明

: 表示第 天，第 个时段，第 个观测站点雨量的实测值（

=1,2,3,4； ）

: 表示用第一种雨量预报方法测得第 天，第 个时段，第 个观测站点雨量的

预测值（ =1,2,3,4； ）

: 表示用第二种雨量预报方法测得第 天，第 个时段，第 个观测站点雨量的

预测值（ =1,2,3,4； ）

：表示第 天，第 个时段，第 个观测站点的实测雨级（ =1,2,3,4； ）

：表示用第一种预报方法测得第 天，第 个时段，第 个观测站点的预报雨级（ =1,2,3,4； ）

：表示用第二种预报方法测得第 天，第 个时段，第 个观测站点的预报雨级（ =1,2,3,4； ）

: 表示对第 种雨量预报方法在第 天，第 个时段，第 个观测站点的预测值的模糊评分（ =1,2,3,4； ）

：表示公众对用第c种预报方法测得的第 天，第 个时段，第 个观测站点的预报雨级的满意度（ =1,2,3,4； ）

三． 问题分析与数据处理

要评价两种雨量预报方法的准确性，就要在相同地点，相同时段对雨量的实测值和预测值进行比较。由于已知数据给出的91个观测站点的地理位置并不在用来预报的2491个网格点位置上，为了使得数据采集的地理位置相同，有两种思路对数据进行处理。一是把91个站点的实测数据扩充到2491个网格点上；二是利用2491个网格点的预报值给出91个站点的预报值。显然，第一种数据处理方式损失的信息比较多，而且是把预报值和处理过的实测值进行比较，其结果难以令人信服。第二种数据处理方式在保持91个观测站点的实测数据不被处理（从而保持实测数据真实可靠）的前提下，利用2491个网格点处的预报值来估计91个站点处的预报值；再对两种不同预报方法给出的预报值和实测到的数据分别进行比较。第二种方式虽然只在91个地点进行比较，但要比第一种方式更加有说服力。所以我们采取第一种数据处理方式，首先要利用2491个网格点的预报值给出91个站点的预报值。

有以下三种方法可以用来给出91个站点处的预报值。

1．k-最近邻居法（k-NN法）[1][2]

给定某个观测站点的位置后，从2491个网格点中找出距离这个站点最近的k个网格点，把这k个网格点处的预报值的平均值作为这个站点处的预报值。k的大小可以根据实际需要进行调整。

2．邻域平均法

对每个观测站点取相同的球形邻域或者正方形邻域，把邻域内网格点处的预报值的平均值作为站点处的预报值（邻域内的网格点的数目不一定相同）。当然邻域的大小可以根据实际情况进行调整。

3．二维插值法

可参见计算数学方面的参考书。

需要说明的是：二维插值法计算程序相对复杂，计算量也较大。k-NN法与邻域平均法都是利用站点周围网格点处的预报值的均值作为这个站点处的预报值。这两种方法计算相对简洁，同时也具有很高的精度。如果假设预报值在整个预报区域内是连续的话，在适当的条件下，k-NN法给出的估计将收敛到真实预报值（参见文献[1]，[2]等）。

进一步，可以认为距离站点近的网格点对站点的影响要大些，距离站点远的网格点对站点的影响要小些，因此可以根据这些影响的不同而赋予不同的权重。

本文采用3-NN法计算，以距离第 个观测站点最近的3个网格点的预报值的加权均值作为该观测站点的预报值(程序见附录)。

四． 问题（1）模型建立及求解

1．模型I

为了比较两种预报方法的预报质量，我们对其进行绝对误差值检验分析。误差值为预测值与实测值之差，绝对误差即对误差取绝对值。

第一种雨量预测方法在第 时段的平均绝对误差 = ;

第二种雨量预测方法在第 时段的平均绝对误差 =

结果如表1所示：

表1 两种预报方法的平均绝对误差

平均绝对误差

预测方法I
预测方法II

时段1(21点至次日3点)
1.8780
1.8712

时段2(次日3点至9点)
2.4936
2.4880

时段3(9点至15点)
2.1391
2.1426

时段4(15点至21点)
2.0347
1.9124

由表中得到以下结论：

两种预报方法的平均绝对误差都在2.5mm以内，但方法I和II的预报质量差距并不太大，在第一、二、四时段，方法I的平均绝对误差略小于方法II的平均绝对误差。

进一步我们还给出了两种预报方法的预报-实测相关图(图1)。图中落在斜率为1的直线上的点为实测结果，预测点则落在该直线附近，其偏离直线越远表示预报误差越大。从图中可以看出，这两种雨量预测方法的共同点是：在各个时段对实测雨量较大的预报，大多数均变小。这说明实况出现大雨时预报水平较差。

图1 两种预报方法的预报-实测相关图

2．模型II

为了较客观地评定两种预报方法，我们利用模糊数学中的模糊综合评判方法。模糊数学的创立者 L. 为了描述和处理事物的模糊关系，把“属于”关系进一步数量化，即集合A 中的某个元素ui 对A 不是要么“属于”要么“不属于”关系而是可以不同程度的“属于”和不同程度的“不属于”，这个程度叫做隶属度。隶属度的范围在0 与1 之间,即ui 的隶属度值域是[0 ,1 ]。“属于”关系用函数关系表示,将论域与值域相对应,故形成子集合A 唯一确定的一个映射,它们一一对应。其特点是在众多的“属于”关系的评价指标基础上进行加权平均,得出一个无量纲的综合评价值,然后比较综合评价值的大小,对受到多个因素制约的事物或对象作出一个总的评价,这就是所谓的综合评判问题[6 ,7 ] 。根据所给的条件,给每个对象赋予一个评判指标,称之为模糊评分。

第 天，第 个时段，第 个观测站点的预测值的模糊评分为

（1）

式(1) 中第一项是预报基础分，规定为60 分；第二项为强度(量级)预报的加权分。当预报雨量与实况一致时(即预报与实况误差为0)，该预报评分为100。当预报有误差时,按其误差大小给分，误差越大，分值越低，相反分值越高，预报值越接近于实测值。可以看出,根据误差大小计算的模糊评分,能够很好地表征预报贴近实况的程度,从而较好地检验两种预报方法的预报水平[3]。

为了便于比较，我们给出了在各个时段的模糊评分公式。方法I和II在第 时段的模糊评分为

=1,2,3,4

=1,2,3,4

结果见表2。由表2可以看出，两种方法的模糊评分都在80分以上，预报质量都比较稳定，但在第一、二、四时段，方法I的模糊评分都高于方法II的模糊评分。由此可见，在对雨量预报的准确程度上，方法I高于方法II。

表2 两种方法的预报模糊评分

方法

时段
时段1
时段2
时段3
时段4

预报方法I
84.2593
83.8684
82.3264
80.1272

预报方法II
84.1566
83.6940
82.2567
80.5580

3．模型III

由于91个观测站点的设置是不均匀的，它们较集中地分布在53×47的矩形网格的中央区域内，而面雨量能够更真实地反映平面区域降水的总状况，因此我们用其作为评价这两种方法预报好坏的另一个标准。面雨量是单位面积上的降水量, 实际上为某一特定区域或流域的平均降水状况，它有多种计算方法，如算术平均法、泰森多边形法、逐步订正格点法、三角法、等雨量线法等[4]。

这里我们采用算术平均法计算面雨量：其计算公式如下：

第 种预报方法在第 时段的面雨量 ，

第 时段的实测面雨量

结果见表3。由表3可以看出，无论哪个时段，方法I的面雨量都比方法II更接近实测

值，由此可见，方法I的预报效果好于方法II。

表3 实测及两种方法的面雨量

面雨量

方法I
方法II
实测情况

时段1
1.1167
1.1029
1.4827

时段2
1.5837
1.5498
2.1179

时段3
1.3144
1.3128
1.8007

时段4
1.2437
1.0887
1.6362

五． 对问题2建模及求解

1．模型I

雨量按无雨、小雨、中雨、大雨、暴雨、特大暴雨定义为0～ 6 级，见表4 ;

表4 雨量等级划分表

雨量（mm）
<0.1
0.1-2.5
2.6-6
6.1-12
12.1-25
25.1-60
>60.1

名称
无雨
小雨
中雨
大雨
暴雨
大暴雨
特大

暴雨

雨级
0
1
2
3
4
5
6

在此基础上，我们可将预测雨量与实测雨量转化为相应的雨级，并计算出第 天，第 个时段，第 个观测站点的预测雨级的模糊评分为

（2）

同样我们也可得到方法I和II在第 时段的雨级模糊评分，结果见表5。

表5 两种方法的预报模糊评分（雨级）

方法

时段
第1时段
第2时段
第3时段
第4时段

方法I
86.1192
85.8709
84.5196
82.5788

方法II
85.9831
85.6847
84.4693
82.88772

从表5中我们也发现总体上方法I的预报能力优于方法II。

2．模型II

在评定两种方法的预报质量同时，我们需要考虑公众的感受，由于公众对雨量预报的感受都具有一定的模糊性，可以用{很满意，比较满意，基本满意，不满意}来代替。对此我们有两种方法：

（1） 若预报雨级与实测雨级一致，观众很满意，评分为100；若预报雨级与实测雨级相差一级，观众比较满意，评分为80；若预报雨级与实测雨级相差两级，评分为60；若预报雨级与实测雨级相差两级以上，观众不满意，评分为0。

（2） 采用模糊数学中的隶属函数来处理公众的感受。在隶属函数的选取上，在此这里选用偏大型中升岭形分布函数为隶属函数来处理公众的感受。升岭形函数公式为：

其中 是预报雨级与实测雨级差的绝对值[5]。

用上述两种方法都可以求出公众对第 天，第 个时段，第 个观测站点的预测雨

级的满意度 ，在此我们选取了方法(2)。最后把模糊评分和公众满意度的权重分配分

别确定为0.6和0.4，得到一个新的评价指标 为

=0.6 +0.4

对第 时段关于41天、91个站点求和平均得到预报方法I和II在这个时段的评价指标 ，结果见表6。

表6 两种方法的预报模糊评分（雨级）

方法\时段
第1段
第2段
第3段
第4段

方法I
86.2715
85.2865
84.5318
83.1993

方法II
86.2219
85.2148
84.5096
83.5206

由表6可见，考虑公众感受以后，总体上仍然是方法I优于方法II。

你可以根据自己的水平加以改写