离散数学第一章小论文

离散数学第一章小论文

逻辑--研究--推理 研究推理过程是否正确 研究语句之间的联系

下面的语句中，哪一个是真的或者假的(但不能二者都是)? (a)能整除7的整数只有1和7本身。 (b)在宇宙中，地球是唯一有生命的星球。 (c)请买两张星期五音乐会的票! 命题的定义：一个语句，如果或真或假(但不是既真又假），称为一个命题。

p,q命题 p and q,p∧q,合取 (并且) p or q,p∨q, 析取 （或者） 复合命题p∧q的真值由下列 真值表 来表示:

复合命题p∨q的真值由下列 真值表 来表示:

p的否定，表示为：¬p，是命题 非p的意思。 真值表 为：

例：如果数学系得到额外的2万元,就再聘用一个教师。 如果 p 则q 称为条件命题并表为p→q 命题 p 称为 假设 (或前件)，命题q称为 结论 (或后件)。 p：数学系得到额外的两万块钱 q：数学系再聘用一个教师 条件命题的真值由下面的 真值表 定义

例：当A，B。 A→B，A是B的充分条件 B→A，A是B的必要条件 A←→B，A是B的充分必要条件

命题：p→q，q→p则称为逆命题。读作：p蕴含q， p当且仅当q称为双条件命题,表示为：

设复合命题p和q是由p1 ... pn组成,如果不管p1 ... pn取什么值,p和q总是同时为真或同时为假，就说p和q逻辑上是等价的,表为 p≡q 。 德·摩根定律 ¬(p∨q)≡(¬p)∧(¬q) 和 ¬(p∧q)≡(¬p)∨(¬q)

常用表：

—个条件命题 p→q 的逆反式(或转置）是命题 (¬q)→(¬p) 。 条件命题 p→q 的逆反式 (¬q)→(¬p) 是逻辑等价的。

例: p: n是一个奇数，p不是一个命题。因为真假值取决于n 。

令p(x)为包括变量x的语句,令D是一个集合。 如果对于D中的每一个x，p(x)是一个命题，我们称p是一个 命题函数 （对于D,而称D是p的个体域(定义域)。

命题函数,本身既不为真，也不为假,而对于每个个体×,p(×)是一个命题。

语句:所有x, p(x)可以写为 ∀ x，p(x) 语句:存在x, p(x)可以写为 ∃ x，p(x)

语句:对于每个实数x,x²>=0，是一个全称量词语句。 个体域是实数集合。该语句为真。 语句：对于每一个实数×，如× >1,则×＋1 >1。该语句为真。 语句：对于 某些 正整数n，如n是素数,则n+1，n+2,n+3,n+4都不是素数。该语句为真。 例：命题p：对于所有的实数x,x²-1 >0 ，那么x=1呢? 要证明对于所有的x,p(×)为假。找出一个或一些x使 p不满足就可以了。

* ∃ x P(×) =F ≡ 不存在 x,P(×) ≡ ∀ x，P(×)

如：p 是一个命题函数,(a)和(b)中的每一对命题总有同样的真假值(即同为真或同为假）。 (a) ¬(∀ x，P(×))；∃ x, ¬P(×)。 (b) ¬(∃ x, ¬P(×))；∀ x，P(×)。

设个体域是实数集合,语句 对于每个x，存在y，x十y=0为真 而把语句倒过来 存在y，对于每个x，X十y=0为假 不可随意更换位置

数学系统 公理----定义----未定义项 论证一个定理为真的过程称为证明 定理的通常形式为: 对于所有的x1,X×n，如 p(x1,×,----n),则q(x1,×r------n)

必须看到三步，归纳基础，归纳假设，归纳证明。 设对于每个正整数n，我们有一个陈述s(n)，假设s(1)为真; 如对于所有的i

例：用归纳法证明5 n-1 能被4整除。 n=1时显然为真，设5 n-1 可被4整除 5 n+1 -1=5·5 n-1 =(5 n-1 )＋4- 5 n 可被4整|除 所以对于n=1,2... ,5n-1能被4整除。 对任意的自然数×和n,x n-1 能被×-1除尽

前n个自然数之和为n(n+1)/2。证明:对n进行归纳。 当n=1时，有S(1)=1=1×(1+1)/2，故命题成立。 假设前n个自然数之和S(n)为n(n+1)/2。接着证前n＋1个自然数之和S(n+1)=(n+1)(n+2)/2。 根据S(n)的定义，有S(n+1)=S(n)+n+1， 又由假设S(n)= n(n+1)/2， 于是可以推得S(n+1)=n(n+1)/2+n+1=(n+2)(n+1)/2，命题得证。

离散数学第一章---集合(一)

  集合是数学中的一个最基本的概念，就像公理一样，我们通常只是给予一种描述。
即：当把一些确定的、彼此不同的事物作为一个整体来考虑时，这个整体便称为一个集合。

集合中所包含的个体，称为元素。

这里的确定性是指元素只能包含或不包含于集合中，不存在模棱两可的状态，
互异性是指集合中的元素不相同，
无序性是指集合中元素的排列方式不影响集合的同异。

无序性是指元素的排列顺序不影响集合，不同排列顺序下集合仍然是这一个，但是，如果是有序数组，则会影响。如果有n个元素，则称为有序n元组。

互异性是指集合中的元素互不相同，但是，在实际情况下，会出现相同元素的情况，这时引入了多重集合，这在后面会讲到。

设集合A，集合A中元素的个数记作#A，即A的基数 。
根据集合的个数，将集合分为有限集和无限集，
空集是指集合中没有元素的集合，现在一般认为空集是有限集，
有限集的定义，是指集合中的元素是有限的，更精确的定义是不可与其自身的 真子集 对等的非空集合，以及 空集 。

有限集个数的比较是简单的，直接比较个数的大小即可，
对于无限集合，可以采用元素的对应方式来获得，
例如正整数集和从0到1的开区间中所有数这两个集合，

首先，建立对应关系，
从2到正无穷,对应1/n，n是从2到正无穷的整数，显然1/n是在这个开区间内的，
而根据无理数的定义，无理数不可由分数表示，故任取一个无理数：根号二分之一，来对应1,
则开区间内仍有元素无法与正整数集中的元素匹配，故开区间(0,1)比正整数集的元素多。

列举法是用花括号弧将元素逐个列举出来，例如A={a,b,c},
而描述法，则是借用某种规则，将所有的元素限定对应，例如B={x|1<x<2}。

设集合A={x|1<x<5}, 则若元素a=3,b=6,则a在集合中而b不在，
可表示为a∈A, b∉A。

离散数学

好兴奋哦，不知你会给我几分，先回答你的问题吧。
在接下来的过程里先阐明一下我的写法
ˉA表示对A的否定，
〓表示两个命题的等价关系啦，
当有q←→s时，我们在证明的过程中可以用s来代替q，也可以用q来代替s
你也应该知道ˉp∨(p∧q)〓ˉp∨q
p→q〓ˉp∨q
对偶定理
先提个醒，在下面的命题中我都将用到上述的说明
第一题，(p→q)→（p→(p∧q)）
〓（ˉp∨q）→（ˉp∨（p∧q))
〓（ˉp∨q）→（ˉp∨q)
当然是对的咯，自己可以证明自己嘛。
第二题，等价命题我会在证明中使用
（q→p）∧（ s∧r）→（p∧q∧s∧r）
〓ˉ((ˉq∨p)∧(s∧r))∨(p∧q∧s∧r)
〓(q∧ˉp)∨ˉs∨ˉr∨(p∧q∧s∧r)
〓(q∧ˉp)∨ˉs∨ˉr∨(p∧q）
〓(s∧ˉp)∨ˉs∨ˉr∨(p∧s）
〓ˉp∨ˉs∨ˉr∨p
〓1
证明完毕，很简单吧，我刚才看了一下离散数学的第一章我就会证明了。你应该也可以的。